1、第 32 讲 图形的相似陕西中考说明陕西20122014 年中考 试题分析考点归纳 考试要求 年份 题型 题号 分值 考查内容 分值比重图形的相似1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；2. 通过具体实例认识图形的相似，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；3.了解两个三角形相似的概念；4. 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小； 5.通过图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度) ；6.探索相似图形的性质；7.探索两个三角形相似的条件2014解答题 20 8相似三角形的实际应用解答题 23
2、(2) 4第 2 问中涉及相似三角形2013解答题 20 8相似三角形的实际应用解答题 24 3二次函数与三角形结合，涉及相似三角形的性质2012选择题 5 3 相似三角形的性质解答题 18(2) 3相似三角形的判定和性质解答题 25(1) 2以三角形和正方形为基础图形，以问题探究的性质综合考查利用尺规作 图、正方形性质及其最值问题，涉及到位似8.6%本节考查内容有：1.相似三角形的判定及性质，有单独考查的，如 2012 年第 5 题，还有一种考查形式是与圆的切线、三角形与四边形结合、二次函数等有关证明和计算相结合在一起；2.相似三角形的实际应用，将相似三角形与实际问题结合考查，大多以考查学生
3、对实际问题的理解及将生活问题转化为数学问题的处理能力，这也是陕西中考的一个亮点，常涉及测量问题，一般出现在解答题第 20 题，分值为 8 分，对于位似虽然未单独考查过，但在解答题第 25 题第 1 问有所涉及，故考生在复习时不容忽视，预计 2015 年中考在选择( 填空 )题中考查相似三角形的性质与判定，也可能在解答题中考查相似三角形的判定及性质或实际应用1比和比例的有关概念(1)表示两个比相等的式子叫做_比例式_，简称比例(2)第四比例项：若 或 abcd，那么 d 叫做 a，b ，c 的_第四比例项_ab cd(3)比例中项：若 或 abbc，那么 b 叫做 a，c 的_比例中项_ab b
4、c(4)黄金分割：把一条线段(AB) 分成两条线段，使其中较长线段 (AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段_黄金分割_即AC2_ ABBC_，AC_ _AB_0.618_AB. 一条线段的黄金分割点有_两_5 12个2比例的基本性质及定理(1) adbc；ab cd(2) ；ab cd abb cdd(3) (bdn0) .ab cd mn a c mb d n ab3平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成_比例_；(2)平行于三角形一边截其他两边( 或两边的延长线)，所得的对应线段成_比例_；(3)如果一条直线截三角形的两边( 或两
5、边的延长线)，所得的对应线段成_比例_，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边( 或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做_相似三角形_相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的_相似比_5相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
6、两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似6相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方7相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：将实际问题转化为相似三角形的问题；找出一对相似三角形；根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解(2)运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度同一时刻，物高与影长成正比例，有 .身 高影 长 建 筑 物 的 高 度建 筑 物 的
7、影 长8射影定理：如图，ABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的高，则有下列结论(1)AC2 ADAB；(2)BC2BDAB；(3)CD2 ADBD；(4)AC2 BC2ADBD；(5)ABCDACBC.9相似多边形的性质(1)相似多边形对应角_相等_，对应边_成比例_(2)相似多边形周长之比等于_相似比_，面积之比等于_ 相似比的平方_10位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅_相似_，而且对应顶点的连线相交于 _一点_，这样的图形叫做位似图形这个点叫做_位似中心_(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_位似比_(3)利用位似图形将一个图形放大或缩小，其步骤为：
8、确定位似中心； 确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点；描出新图形两个注意(1)求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位如果单位不同，那么必须先化成同一单位，且两条线段的比是一个实数，没有单位(2)四条线段成比例与它们的排列顺序有关，线段 a，b，c，d 成比例表示成 ，而ab cd线段 b，a，c，d 成比例则表示成 .ba cd“三点定形”法证明比例式或等积式的方法主要有“三点定形”法：(1)横向定形：欲 证 ，横向ABDE BCEF观察，比例式中分子的两条线段是 AB 和 BC，三个字母 A，B，C 恰为ABC 的顶点；分母的两条线段是 DE 和 EF，三个字母 D，E，F 恰为D
9、EF 的三个顶点因此只需证ABCDEF ；(2)纵向定形：欲证 ， 纵向观察，比例式中左边的两条线段 AB 和 BC 中的三个ABBC DEEF字母 A，B ，C 恰为ABC 的顶点；右边的两条线段 DE 和 EF 中的三个字母 D，E，F 恰为DEF 的三个顶点因此只需 证ABCDEF；(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况 ，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换 后，再考虑运用三点定形法 寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法在证明比例式 时，常常要用到中间比四个解题技巧判定两个三角形相似的常规思考过程是：(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；(2)
10、若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否 对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形五种基本思路(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角( 用判定定理 1)或再找夹边成比例(用判定定理 2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边 、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等 ，或找底和腰对应成比例1(2012陕西)如图，在ABC 中，AD，BE 是两条中线，则
11、SEDC S ABC ( D )A12 B23C13 D142(2014陕西)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸 )小明在 B 点面向树的方向站好 ，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离 AB1.7 米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外 ，其他姿态均不变) ，这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE9.6 米，小明的眼睛
12、距地面的距离 CB1.2 米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米？解：由题意得，BADBCE，ABDCBE 90，BADBCE， ，即 ，解得 BD13.6 米答：河宽 BD 是 13.6 米BDBE ABCB BD9.6 1.71.23(2013陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的高度，如图，当李明走到点 A 处时， 张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB1.25 m已知李明直立时的身高为 1.75 m，求路灯的高 CD
13、 的长(结果精确到 0.1 m)解：如图，设 CD 长为xm，AM EC，CDEC，BNEC ，EAMA，MACD，BNCD，ECCDx，ABNACD， ，即 ，解得 x6.1256.1，所以路灯高BNCD ABAC 1.75x 1.25x 1.75CD 约为 6.1 米相似三角形综合问题【例 1】 (2014安顺)如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，弦 EDAB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 的直线与 ED 的延长线交于点 P，PC PG.(1)求证：PC 是O 的切线；(2)当点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若 BG2BF BO.求证：点 G 是 BC
14、的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB 10，ED4 ，求 BG 的长6解：(1)证明：连 OC，如图， ED AB，FBGFGB90，又PC PG，12，而2FGB，4FBG ，1490，即OCPC，PC 是O 的切线(2)证明：连 OG，如图，BG 2BFBO ，即 BGBO BFBG，而FBG GBO，BGO BFG，OGB BFG 90，即OGBG ，BGCG ，即点 G 是 BC 的中点 (3)解：连 OE，如图，ED AB，FEFD ，而 AB10，ED 4 ，EF2 ，OE 5，在 RtOEF 中，6 6OF 1，BF514， BG2BFBO，BG 2BFBOOE2 EF2 5
15、2 （26）245，BG2 5【点评】 本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用1(2014绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC120 mm，高 AD80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为 48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 ，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是
16、一个矩形，如图，这样 ，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长解：(1)设矩形的边长 PN2y mm，则 PQy mm，由条件可得APN ABC， ，即 ，解得 y ，PN 2 (mm)，答：这个矩PNBC AEAD 2y120 80 y80 2407 2407 4807形零件的两条边长分别为 mm， mm (2)设 PNx mm，由条件可得APN2407 4807ABC， ，即 ，解得 PQ80 x.SPNPQx(80 x)PNBC AEAD x120 80 PQ80 23 23 x280x (x60) 22 400，S 的最大值为 2
17、400 mm2，此时 PN60 23 23mm，PQ80 6040(mm )23相似三角形的实际应用【例 2】 我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁 1.60 米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部 A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置 E 处，且与 AD 垂直已知装饰画的高度 AD 为0.66 米求：(1)装饰画与墙壁的夹角CAD 的度数(精确到 1)；(2)装饰画顶部到墙壁的距离 DC(精确到 0.01 米)解：AD0.66，AE AD0.33，在 RtABE 中，12sin ABE ， ABE12，CAD DAB90，AEA
18、B 0.331.6ABEDAB90， CADABE12.镜框与墙壁的夹角CAD 的度数约为 12 (2) CADABE，ACD AEB90，ACDBEA， CDAE， ，CD0.14.镜框顶部到墙壁的距离 CD 约是 0.14 米ADAB CD0.33 0.661.6【点评】 本题考查相似三角形性 质的应用解 题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题2(2014牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB2 m，它的影子 BC1.6 m， 木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM1.2 m，MN0.8 m，则木竿 PQ 的长
19、度为_2.3 _m.试题 如图，在 RtABC 与 RtADC 中，ACBADC90，AC ，AD2，问：当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？6错解 在 RtADC 中，AC ，AD2，CD .要使这两个三6 AC2 AD2 2角形相似，有 ，AB 3.故当 AB 的长为 3 时，这两个直角三角形ACAD ABAC AC2AD （6）22相似剖析 (1)此题中，Rt ABC 与 RtADC 中， ACBADC90，B 可能与ACD相等，也可能与CAD 相等 ，三角形ABC 与ADC 相似可能是 ABCACD 或ABCCAD.根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论(2)分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知 识结构贯穿了分类讨论的思想方法(3)在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的 过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现正解 在 RtADC 中，AC ，AD2，CD .要使这两个三6 AC2 AD2 2角形相似，有 或 ，AB 3，或 AB 3 .ACAD ABAC ACCD ABAC AC2AD （6）22 AC2CD （6）22 2故当 AB 的长为 3 或 3 时， 这两个直角三角形相似2
