1、第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则的元素的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】因为，故 ，应选答案 C。2. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知为“理想复数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以由题设中定义的心概念可得，即 ，应选答案 A。3. 已知角的终边经过点 ，若 ，则 的值为（ ）A. 27 B. C. D. 【答案】B4. 已知 为奇函数，当 时， ，其中 ，则的概率为（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】D【解析】当 时，则 ，所以 ，即，所以 ，则，所以 ，由几何概型的计算公式可得 ，应选答案 D。5. 若直线 与抛物线 相交于 两点，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B6. 数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为 的 满足，试用以上给出的公式求得 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A
3、【解析】由正弦定理及题设可设三角形的三边分别为，由题意，则 ，故由三角形的面积公式可得： ，应选答案 A。7. 某程序框图如图所示，其中 ，该程序运行后输出的 ，则的最大值为（ ）A. B. C. 2058 D. 2059【答案】C【解析】由题设中提供的算法流程图可知：当 时， ；当 时， ；当 时，；当 时，；此时 被输出，运算程序结束，应选答案 C。8. 已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 的图象的一个对称中心可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以函数 ，由题设可知：，则其对称中心的横坐标是，即 ，应选答案 D。9. 设 ，若关于 的不等式组 ，表示的
4、可行域与圆存在公共点，则 的最大值的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出不等式组 表示的区域如图，若可行域与圆 存在公共点，则两直线 的交点 必满足 ，即 ，也即 ，结合图形可知当动直线 经过点时，在轴上的截距 最大，即 ，所以 ，即 ，应选答案 D。点睛：本题将线性规划的有关知识与直线与圆的位置关系有机地结合在一起，旨在考查化归转化的数学思想及数形结合的思想和意识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。求解时充分借助题设中的条件，数形结合使得问题简捷、巧妙地获解。10. 过双曲线 的右焦点作轴的垂直，交双曲线于 两点.为左顶点，设 ，双曲线的离心率为 ，则
5、等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 代入双曲线方程可得 ，则，即 ，所以，则 ， ，所以，应选答案 A。11. 某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为 2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设中提供的三视图中图形信息与数据信息可以推知该几何体是一个上面是一个圆柱中挖去一个四分之一半球、下面是半球的组合体，因此其体积，应选答案 B。12. 若函数 在 上存在两个极值点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因 ，故问题转化为在区间 有两个实数根，即 在区间 有两个实数根，也即 在区间 只有一个实数根，所
6、以 ，令 ，由于 ，所以 ，即 ，又 时， ，故所求实数的取值范围是 ，应选答案 D。点睛：等价转化与化归的数学思想是中学数学中的重要数学思想与方法之一。解答本题的关键是要依据题设条件中的问题特征，先对函数进行求导，将问题进行逐步等价转化为在区间 只有一个实数根，再令函数 ，通过求导从而将问题转化为求函数 值域问题，体现了等价转化与化归的数学思想的灵活运用。第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在 的展开式中，常数项为_【答案】点睛：解答本题的关键是要依据题设条件中的问题特征，先将问题进行等价转化，即，从而将问题转化为分别求出的展开式中 的系数和常数项的问题
7、，体现了等价转化与化归的数学思想的灵活运用。14. 某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表：使用年数（单位：年） 2 3 4 5 6维修总费用（单位：万元）根据上表可得回归直线方程为 .若该设备维修总费用超过 12 万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用_年【答案】9【解析】因 ，故代入回归方程可得，所以线性回归方程为 ，当 时，解得，应填答案。15. 设向量 满足 ， ，则 的取值范围为_【答案】【解析】 由题设可得 ，即 ，所以 ，因为，即 ，又因为 ，即 ，所以 ，从而 ，即 ，应填答案 。16. 在底面是菱形的四棱锥 中， 底面 ， ，点为棱的中点，点在棱 上，平面 与
8、 交于点，且 ， ，则点到平面 的距离为_【答案】【解析】如图，延长 交 的延长线于点，则由 可得 ，又，再由 可得，应填答案 。点睛：本题旨在考查空间的点线面之间的位置关系与点面距离的计算问题，求解时先运用平面的性质，计算出线段 的长度，再将点面距离转化为点线之间的距离进行求解，从而使得问题获解。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前项和为 ，数列 是公差为 1 的等差数列，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前项和 .【答案】（1） ；（2） .【解析】试题解析：解：（1） ， ， ， ， ， .
9、（2） ， ， ， ，即，故 .18. 以下是新兵训练时，某炮兵连 8 周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这 8 周中总的命中频率 ，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的 作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射 3 次，记命中的次数为，求的数学期望；（3）以（1）中的 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过 ？（取 ）【答案】（1）第 8 周的命中频率最高；（2） ；（3）至少要用 6 枚.【解析】试题分析：试题解析：解：（1）这 8 周总命中炮数为 ，总未
10、命中炮数为 ， . ，根据表中数据易知第 8 周的命中频率最高.（2）由题意可知 ，则的数学期望为 .（3）由 即 得 ， ，故至少要用 6 枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过 .19. 如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， 为正三角形， ，点， 分别为线段 、 的中点，、分别为线段 、 上一点，且 ， .（1）确定点的位置，使得 平面 ；（2）试问：直线 上是否存在一点，使得平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，若存在，求 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在点，且 .（2）取 中点，连接 ，因为 为正三角形，所以 ，又侧面 底面，所以 底面
11、 ，以 为轴， 的中垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，则， ，设 ，则 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得平面 的一个法向量为 .易得平面 的一个法向量为 ，所以 ，解得 ，故存在点，且 .20. 已知焦距为 2 的椭圆 的左、右顶点分别为 ，上、下顶点分别为 .点 为椭圆 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积为.（1）求椭圆 的标准方程；（2）如图所示，点 是椭圆 上两点，点与点关于原点对称， ，点在轴上，且 与轴垂直，求证： 三点共线.【答案】（1） ；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程组，通过解方程组使得问题获解；（2）借
12、助直线与椭圆的位置关系，运用斜率相等进行分析推证：试题解析：解：（1）由题可得 ， ， ，点 为椭圆 上不在坐标轴上任意一点， ， ， ， .又 ， ， ，故椭圆 的标准方程为 .（2）证明：设 ， ，则 ， ，都在 上， ， ，即 ，又 ， ，即 ， ， ，又 ， ， 三点共线.点睛:圆锥曲线是平面解析几何中重要内容之一，也是高考重点考查的知识点之一。求解本题的第一问时，依据题设建立方程组，同解方程组使得问题获解；求解第二问时，则借助直线与椭圆的位置关系，运用斜率相等进行分析推证，从而将问题 进行等价转化与化归，最终使得问题巧妙获解。21. 已知函数 ，.（1）若曲线 仅在两个不同的点 ，
13、处的切线都经过点，求证： ，或 ；（2）当 时，若 恒成立，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，再借助导数的几何意义推证；（2）先将不等式进行转化，再借助导数知识求解：试题解析：（1）证明： ， ， ，则曲线 在 两点处的切线的方程分别为：，.将 代入两条切线方程，得，.由题可得方程 即有且仅有两个不相等的两个实根.设 ，.当 时， ， 单调递增，显然不成立.当 时， ，解得 或 . 的极值分别为 ， .要使得关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则 或 .（2）解： ，设 ，则 ，记 ，则 ，当 时， ，于是 在 上是减函数，从而当 时，
14、 ，故 在 上是减函数，于是 ，从而 ，所以当 时，.所以，当 时， 在 上恒成立，因此，的取值范围是 .点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值最值等方面的综合运用。求解第一问时，先运用导数的运算公式对函数的进行求导，再借助导数的几何意义建立方程组进行分析求解；第二问的求解过程中，先构造函数，再利用导数的求导法则进行求导，将问题进行等价转化，从而使得问题获解。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，曲线的方程为 .（1）写出曲线的一个参数方程；（2）在曲线上取一点，过点作轴、轴的垂线，垂足分别为
15、 ，求矩形 的周长的取值范围.【答案】（1） （为参数，且 ）；（2） .【解析】试题分析：试题解析：解：（1）由 得 ，即 ，故曲线的一个参数方程为 （为参数，且 ）.（2）由（1）可知点的坐标为 ， ，则矩形 的周长为 ， ， ， ， .23. 已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若关于的不等式 的整数解仅有 11 个，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：试题解析：解：（1） ，由不等式 ，得 或 或 ，即 或 或 ，故不等式 的解集为 .（2）由（1）知 ，当 时，不等式 的整数解为 ， ，4，5 共有 11 个，当 时，不等式 的整数解为 ， ，4，5 共有 12 个，故.
