1、- 1 -2018年江西省六校高三联考理科数学试题一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集 是实数集 ,函数 的定义域为 , ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,所以 ,选 D.2.复数 的共轭复数记作 ，已知复数 对应复平面上的点 ，复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得 z11 i，则 ，代入 z22，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z2，则答案可求【详解】解：由已知可得 z11 i，则 ，又 z22， ，| z2| 故选： A【点睛】本
2、题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举,这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样如图的程序框图源于“辗转相除法”,当输入 , 时,输出的 （ ）- 2 -A. 30 B. 6 C. 2 D. 8【答案】C【解析】执行循环得: ,结束循环,输出 ,选 C.4.下列命题中：（1） “ ”是“ ”的充分不必要条件 （2）定义在 上的偶函数 最小值为 5;（3）命题“ ，都有 ”的否定是“ ,使得 ”（4）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 正确命题的个数为（ ）A. 1个 B. 2 个
3、C. 3 个 D. 4 个【答案】C【解析】(1) ,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件;(2) 为偶函数,所以 ,因为定义区间为 ,所以 ,因此 最小值为 5;(3) 命题“ ，都有 ”的否定是“ ,使得 ”；- 3 -(4)由条件得 ；因此正确命题的个数为（1） （2） （4） ，选 C.5.在 内随机地取一个数 ，则事件“直线 与圆 有公共点”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若直线 与圆 有公共点，则 因此概率为 ，选 A6.一个四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 11 B. 12 C. 13 D. 16【答案】D【解析】几何体如图，则体积为 ，选
4、D.- 4 -点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解7.已知在各项为正数的等比数列 中， 与 的等比中项为 4，则当 取最小值时首项 等于（ ）A. 32 B. 16 C. 8 D. 4【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列 的公比为 与 的等比中项为 4当且仅当 ，即 时取等号，此时故选 A- 5 -8.设 满足约束条件 ，若
5、目标函数 的取值范围 恰好是 的一个单调递增区间，则 的一个值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：则 z的几何意义为区域内的点 D（2，0）的斜率，由图象知 DB的斜率最小，DA 的斜率最大，由 ，即 A（1，2） ，则 DA的斜率 kDA=2，由 即 B（1，2） ，则 DB的斜率 kDB=-2，则2z2，故 的取值范围是2，2，故2，2是函数的一个单增区间，故 故得到答案为 C。点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（ 型）和距离型（
6、 型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。9.若锐角 满足 ，则函数 的单调增区间为（ ）A. B. - 6 -C. D. 【答案】B【解析】 ， ，又 ， ，解得 由 ，得 ，函数 的单调递减区间为 选 B10.已知抛物线 C: ，过焦点 F且斜率为 的直线与 C相交于 P、Q 两点，且P、Q 两点在准线上的投影分别为 M、N 两点，则 SMFN =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】过焦点 F且斜率为 的直线方程为 ，与 联列方程组解得，从而 ,选 B.1
7、1.已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）个A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】C【解析】作函数 图像，有四个交点，分别为 ，根据函数图像知，方程 对应解个数为 0，1，3，2，因此零点个数为 ，选C.- 7 -点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12.已知定义在 上的函数 ，恒为正数的 符合 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. ( ) D. 【答案】D【解析】令 ，则 ，所以 ，选
8、D.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。- 8 -13.已知 ，则 的展开式中，常数项为_【答案】 【解析】，所以 ，所以，由 得 ，因此常数项为 .点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.14.双曲线 ： 的左、右焦点分
9、别为 、 ，过 的直线交双曲线左支于 、 两点，则 的最小值为_【答案】9 【解析】.15.如图，BC 是单位圆 A的一条直径，F 是线段 AB上的点，且 ，若 DE是圆 A中绕圆心 A转动的一条直径，则 的值是_- 9 -【答案】【解析】点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解16.已知直三棱柱 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2
10、的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 , , 分别交于三点 , , ,若 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为_【答案】 【解析】建立空间直角坐标系,设 当且仅当 时取等号.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.已知函数 ， .（1）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 ， ，求 的面积.【答案】 （1）最小正周期 对称轴方程为 （2） - 10 -【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、诱
11、导公式以及配角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）先求 A，再根据正弦定理将边角关系化为边的关系，最后根据三角形面积求面积.试题解析：解(1) f(x) ， 故其最小正周期 , 令 ，解得 ，即函数 图象的对称轴方程为， . （2）由（1） ，知 ，因为 ，所以 .又 ，故得 ，解得 . 由正弦定理及 ，得 . 故 . 18.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，延迟退休已成为人们越来越关心的话题.为了了解公众对延迟退休的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取 50人进行调查，将调查结果整理后制成下表：年龄人数 4 6 7
12、 5 3年龄人数 6 7 4 4 4经调查，年龄在 ， 的被调查者中赞成延迟退休的人数分别为 4和 3，现从这两组的被调查者中各随机选取 2人，进行跟踪调查. （1）求年龄在 的被调查者中选取的 2人都赞成延迟退休的概率；（2）若选中的 4人中，两组中不赞成延迟退休的人数之差的绝对值为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.- 11 -【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析: （1）利用古典概型的概率公式，求出年龄在25,30)的被调查者中选取的 2人都是赞成的概率；（2）由已知得 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列和数学期望.试题解析：() 设
13、“年龄在 的被调查者中选取的 人都是赞成”为事件 ，所以 () 的可能取值为 ， ， ，所以 ， ， 所以点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是判断取值，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是求概率，即利用排列组合，穷举法等求出随机变量每个值时的概率;第三步是写分布列，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是求期望值，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布
14、的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ，- 12 -， ， ， ， ，且 是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值的大小.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取 AD的中点 N，连接 MN、NF由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形 MNFE为平行四边形，从而得到 EMFN，结合线面平行的判定定理，证出 EM平面ADF；（2）求出平面 ADF、平面 BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小.解析：（1）解法一：取 的中点 ，连接
15、.在 中， 是 的中点， 是 的中点，所以 ，又因为 ，所以 且 .所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 平面 ，故 平面 .解法二：因为 平面 ，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .由已知可得 ，设平面 的一个法向量是 .- 13 -由 得令 ，则 .又因为 ，所以 ，又 平面 ，故 平面 .（2）由（1）可知平面 的一个法向量是 .易得平面 的一个法向量是所以 ，又二面角 为锐角，故二面角 的余弦值大小为 .20.已知椭圆 C： 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，且过点 （1）求椭圆 C的方程；（2）过 作两条直线 与圆 相切且分别交椭圆于 M、 N两点 求证：直线
16、MN的斜率为定值； 求 MON面积的最大值（其中 O为坐标原点） 【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得， （2）先根据点斜式得直线 方程，再与椭圆方程联立解得 坐标，根据直线与圆 相切，得斜率相反，同理可得 最后根据斜率公式求斜率，设直线 MN方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值.试题解析：（1）可得 ，设椭圆的半焦距为 ，所以 ， - 14 -因为 C过点 ，所以 ，又 ，解得 ， 所以椭圆方程为 （2） 显然两直线 的斜
17、率存在，设为 ， ，由于直线 与圆 相切，则有 ， 直线 的方程为 ， 联立方程组消去 ，得 ， 因为 为直线与椭圆的交点，所以 ，同理，当 与椭圆相交时， ，所以 ，而 ，所以直线 的斜率 设直线 的方程为 ，联立方程组 消去 得 ，所以 ， 原点 到直线的距离 ， 面积为 ，当且仅当 时取得等号经检验，存在 （ ） ，使得过点 的两条直线与圆 相切，且与椭圆有两个交点 M， N- 15 -所以 面积的最大值为 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后
18、借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.已知函数 ， （1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；（2）设 ，若对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，求实数的取值范围；（3）若 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得 ，解得实数 的值；（2）设 ，构造函数，则转化为 在 上为增函数，即得 在 上恒成立，参变分离得 ，最后根据二次函数最值求实数 的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数 ，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数
19、的取值范围.试题解析：解：（1）由 ，得 . 由题意， ，所以 . （2） .因为对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，设 ，则即 恒成立. 问题等价于函数 ，- 16 -即 在 上为增函数， 所以 在 上恒成立.即 在 上恒成立.所以 ，即实数 的取值范围是 . （3）不等式 等价于 ，整理得.构造函数 ，由题意知，在 上存在一点 ，使得 .因为 ，所以 ，令 ，得 .当 ，即 时， 在 上单调递增.只需 ，解得 .当 即 时， 在 处取最小值.令 即 ，可得 .令 ，即 ，不等式 可化为 .因为 ，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立 .当 ，即 时， 在 上单调递
20、减，只需 ，解得.综上所述，实数 的取值范围是 .请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 t为参数） ，在以原点 O为极点，以 轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 （1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；- 17 -（2）设 是曲线 上的一动点， 的中点为 ，求点 到直线 的最小值【答案】 （1） ， （2）【解析】试题分析：（1）根据加减消元法将直线 的参数方程化为普通方程，根据将曲线 C的极坐标方程化为直角
21、坐标方程；（ 2）先根据转移法求点 的轨迹，再根据直线与圆位置关系求最小值试题解析：（1）由 得 的普通方程 又由 ，得 ，所以，曲线 的直角坐标方程为 ，即 （2）设 ， ，则 ，由于 P是 的中点，则 ，所以 ，得点 的轨迹方程为 ，轨迹为以 为圆心，1 为半径的圆 圆心 到直线 的距离 所以点 到直线 的最小值为 23.已知 ，使不等式 成立.（1）求满足条件的实数 的集合 ；（2）若 ， ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值.【答案】(1) ;(2)18.【解析】试题分析：(1)分 三种情况去绝对值讨论,求出函数的最小值,即可得出;(2) 由(1)知, ,根据基本不等式.试题解析：(1)令 ,则 ,由于 使不等式 成立,有 .- 18 -(2)由(1)知, ,根据基本不等式 ,从而 ,当且仅当 时取等号,再根据基本不等式 ,当且仅当 时取等号.所以 的最小值为 6.点睛：本题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式的应用,考查了逻辑推理能力与分类讨论思想.- 19 -
