1、广东省 2019 届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据形如 的分式不等式的解法求集合 A，根据指数函数的性质求集合 B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由 得 ，其与不等式 为同解不等式，所以 ；则 故选 A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如 不等式的计算方法，即要遵循移项 通分 等效转化 的原则进行.2.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】C【解析】【分析】由已知条件得 ，利用复数的除法运算化简，求出 ，则共轭复数 的虚部可求.【详解】 ，共轭复数的共轭复数的虚部 1故选 C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式.3.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前 项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和 ，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得 ，再根据 ，即可求得答案.【详解】方法一：基本法， 数列 等差数列， ， ，整
3、理得 ，解得方法二：性质法， ， ，； ； 故选 D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式，考查等差数列的性质与前 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间 上随机取两个实数 ，记向量 ， ，则 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数 所在平面区域，再根据数量积的运算，将 转化为 ，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以 为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点 满足 ，组成了边长为 正方形区域， 向量 ， ，则 ，即 ，表示正方形内以坐标原点为圆心， 为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率
4、 .故选 B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线 的倾斜角为 ，直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、两点，且 、 都垂直于 轴（其中 、 分别为双曲线 的左、右焦点） ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意设点 ， ，则 ，又由直线 的倾斜角为 ，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】 直线 与双曲线的左、右两支分别交于 、 两点，且 、 都垂直于 轴，根据双曲线的对称性，设点 ， ，则 ，即 ，且 ，又 直线 的倾斜角为 ，直线 过坐标原点， ，整理得
5、，即 ，解方程得 ， （舍）故选 D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于 的齐次方程，解出 .根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助 之间的关系，得到关于 的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出 .根据题设条件，借助 表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于 的一元方程，从而解得离心率.6.在 中， 为 的中点，点 满足 ，则 （ ）A. B. C. D.
6、【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得 ， ，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】 为 的中点，点 满足 ，故选 A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
7、析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选 C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知 是函数 的最大值，若存在实数 使得对任意实数总有 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数 ，确定 ，再由题意可知 ，即可求得答案.【详解】，对任意实数 总有 成立.故选 B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着
8、重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在 上的函数 满足 及 ，且在 上有 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将 转换到 范围内，即可求出答案.【详解】 及 ，函数 为周期为 4 的奇函数.又 在 上有.故选 D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线 上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长度为 ，则点 的纵坐标的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
9、析】【分析】由题意设 ， ，直线 的方程为 ，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长 与点 的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设 ， ， ，直线 的方程为 ，联立方程 ，整理得， ， ，点 M 的纵坐标 ，弦 的长度为，即，整理得 ，即根据基本不等式， ，当且仅当 ，时取等，即 ，点 的纵坐标的最小值为 .故选 A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线
10、，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥 中， ， ， ， ，且二面角的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥 外接球的球心 在过 外接圆圆心 的法线上，设 ，由题设条件可知，外接球半径 ，由此解得 ，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设 中点为 ，过点 作 ， ，过点 作垂足为 ，交 于 ，则 为 外接圆的圆心，三棱锥 外接球球心 在直线
11、 上，设， ， ，且二面角 的大小为 ， ， ， ， ，,在 中， ；在 中， ；外接球半径 ，解得，外接球表面积故选 D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列 满足 设 ， 为数列 的前 项和若 （常数） ， ，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当 时，类比写出 ，两式相减整理得 ，当 时，求得 ，从而求得数列 和 的通项公式.；再运用错位相减法求出 ，结合 的性质，确定 的最小值.【详解】 当 时，类比写
12、出 由-得 ，即 .当 时， ，-得， （常数） ， ，的最小值是故选 C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前 n 项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列 的前 项和 与 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当 时，用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当时 的表达式； （2）当 时， 求出 ；（3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写2、错位相减法：若 ，其中 是等差数列， 是公比为 的等比数列，那么这个数列的前 项和即可用此法来求。数列前 项和
13、 ，则 ，两式错位相减并整理即得.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】25【解析】【分析】先根据约束条件绘制可行域，再根据 表示可行域内点到原点的距离的平方，在可行域内确定最长距离，即可求得答案.【详解】可行域如图， 表示可行域内点到原点距离的平方的最大值对应点 A联立 ，解得所以 的最大值为故答案为 .【点睛】本题考查线性规划的距离型问题，线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结
14、合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.若 ，则 的展开式中常数项为_【答案】240【解析】【分析】先根据定积分运算法则求出 ，再根据 展开式的通项公式，令 的指数为 ，即可求得答案.【详解】 展开式的通项公式为令 ，即 .的展开式中，常数项是故答案为 240.【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.15.已知点 及圆 ，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据反射的特征，作点 关于 轴的对称点 ，则 与圆相切， ，利用两点距离公式、圆心到直线的距离等于半径和勾股定理，即可
15、求出结果.【详解】点 关于 轴的对称点为 ，由反射的对称性可知， 与圆相切，圆 的圆心坐标为 ，半径 ；，故答案为 .【点睛】本题考查直线与圆相切，点关于直线的对称，两点间距离和点到直线距离等，解题的关键是光线反射的特征和点关于直线对称性质的合理运用.16.已知函数 满足 ，则 的单调递减区间是_【答案】(-1,3)【解析】【分析】将 与 代入已知条件，求出 ，写出函数 解析式，求导函数 ，令 ，解不等式即可求出单调递减区间.【详解】 函数 满足 ，整理得 ，即 ，解得函数解析式为 ，令 ，解得的单调递减区间是故答案为 .【点睛】本题考查运用待定系数法求函数的解析式，考查利用导数确定函数的单调
16、区间，属于基本概念和基本方法的考查.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 （1）求角 ；（2）若 ， ，求 的面积【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.（2）根据同角三角关系，确定 和 ，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定 ；再利用正弦定理确定 ，进而由 即可求得答案.【详解】解
17、：（1）因为 ，由余弦定理，得，所以 ，由正弦定理，得 ， 又 ， ，所以 ， ， 所以 （2）由 ， ，得 ， ， 所以 ， 由正弦定理 ，得， 所以 的面积为 【点睛】三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.18.如图甲，设正方形 的边长为 3，点 、 分别在 、 上，且满足 ，如图乙，将直角梯形 沿 折到 的位置，使得点 在平面 上的射
18、影 恰好在 上（1）证明： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：证明：在图甲中，易知 ,从而在图乙中有 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面解法 1、如图,在图乙中作 ，垂足为 ，连接 ，由于 平面 ，则 ，所以 平面 ，则 ，所以 平面 与平面 所成二面角的平面角，图甲中有 ，又 ，则 三点共线，设 的中点为 ，则 ，易证 ，所以， ， ；又由 ，得 ，于是， ，在 中， ，即所求二面角的余弦值为 解法 2、如图,在图乙中作 ，垂足为 ，连接 ，由于 平面 ，则 ，所以 平面 ，则 ，图甲中有 ，又 ，则 三点共线，设 的中点为 ，则
19、，易证 ，所以 ，则 ；又由 ，得 ，于是， ，在 中，作 交 于点 ，则 ，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 ，则显然， 是平面 的一个法向量，设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，不防取，则 ，设平面 与平面 所成二面角为 ，可以看出， 为锐角，所以，所以，平面 与平面 , 所成二面角的余弦值为 考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 的行业标准，予以地方财
20、政补贴其补贴标准如下表：2017 年底随机调査该市 1000 辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程 ，得到频率分布直方图如上图所示用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题： （1）求该市每辆纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计 2017 年其充电站 100 天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：辆数天数 20 30 40 10（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018 年 2 月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备现有直流、交流两种充电桩可供购置直流充电桩 5 万元/台，每台每天最多可以充电 30
21、 辆车，每天维护费用 500 元/台； 交流充电桩 1 万元/台，每台每天最多可以充电 4 辆车，每天维护费用 80 元/台 该企业现有两种购置方案：方案一：购买 100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩；方案二：购买 200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩 假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生 25 元的收入，用 2017 年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润 日收入 日维护费用） 【答案】 （1）3.95 万元（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出电动汽车地方财政补贴的分布列，根据加权平均数的计算方法，即可求得结果.（2）根据题
22、设条件分别列出两种方案的分布列，估算企业在两种方案下新设备产生的日利润.【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆） 3 4 4.5概 率 0.2 0.5 0.3纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为 (万元)（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：辆 数 6000 7000 8000 9000概 率 0.2 0.3 0.4 0.1若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆） ； 可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数 6000 6600概 率 0.2 0.8于是方案一下新设备产生的日
23、利润均值为(元） ；若采用方案二，200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆） ； 可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数 6000 7000 7600概 率 0.2 0.3 0.5于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法，正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.20.已知圆 与定点 ，动圆 过 点且与圆 相切（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；（2）若过定点 的直线 交轨迹 于不同的两点 、 ，求弦长 的最大值【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由题设可知，动圆
24、 与定圆 相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心 的轨迹方程；（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为 ，直线斜率存在时，设 坐标，直线 方程，联立椭圆与直线方程，通过 和韦达定理表示出 ，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.【详解】解：（1）设圆 的半径为 ，题意可知，点 满足：， ，所以， ， 由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且进而 ，故轨迹 方程为： （2）当直线 斜率不存在时， ， 或 ， ，此时弦长 当直线 斜率存在时，设 的方程为： ，由 消去 得： ， 由 恒成立， 设 、 ，可得：， ， ，令 8 ，则 ， ， 综上，弦长 的最大值为 【点睛】本题考查确定
25、曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.21.已知函数 （1）求函数 在 上的值域；（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）对函数 求导，确定函数在 上单调性和最值，即可求出函数 在 上的值域；（2）通过构造函数 ，将问题转化为在 区间上 问题，求导函数 ，通过分类讨论确定实数 的取值范围【详解】解：（1）易知 ，在 上单调递减， ， 时， ， 在 上的值域为 （2）令 ，则 ， 若 ，则由（1）可知， ， 在 上单调递增，与题设矛盾， 不符合要求； 若 ，则由
26、（1）可知， ， 在 上单调递减， 符合要求； 若 ，则 ，使得 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减， ，由题： ，即 ， ，即 且由（1）可知 在 上单调递减， 综上， 【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解题关键.22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 的极坐标方程为 （1）求曲线
27、的参数方程；（2）已知点 在第一象限，四边形 是曲线 的内接矩形，求内接矩形 周长的最大值，并求周长最大时点 的坐标【答案】 （1） （2） ，【解析】【分析】（1）先将曲线 化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线 的普通方程和参数方程；（2）根据题意，设点 ，则 ，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点 的坐标.【详解】解：（1）由 得将 代入，整理得曲线 的普通方程为 ， 设曲线 上的点为 ，变换后的点为由题可知坐标变换为 ，即 代入曲线 的普通方程，整理得曲线 的普通方程为 ，曲线 的参数方程为 ( 为参数). （2）设四边形 的周长为 ，设点 ，且 ， ，
28、， 且当 时， 取最大值，此时 ，所以， ， ，此时 .【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.23.已知 ， （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 ，且当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）当 时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；（2）根据 化简函数 ，将 恒成立，问题转化为 恒成立，解绝对值不等式，令 为其子集，即可求得 的取值范围.【详解】 （1）当 时，不等式 即为 ， 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，无解； 综上，不等式 的解集为 （2）当 时， ， 即为 恒成立， ，即，即 ，在 上恒成立，所以，只需 ，解得 ， 所以 的取值范围为 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用 去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如 ） ；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理。
