1、2.1.3 向量的减法【选题明细表】知识点、方法 题号基本概念 1,8向量的运算及法则 4,6,10与向量模有关的问题 2,3,5,8综合问题 7,9,111.给出以下四个命题:(1) + =0;(2)相反向量就是方向相反的向量 ;(3) = - ;(4)|a-b|a|-|b|其中假命题的个数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为 与 是相反向量, 所以 + =0,故(1)真;相反向量是长度相同、方向相反的向量,而不仅仅是方向相反的向量,故(2)假;同一始点的两个向量的差向量应该是减向量的终点指向被减向量的终点,所以 - = ,故(3)假;当|a|b|且 a、b 同向共线
2、或 b=0 时,|a-b|a|-|b|不成立,故(4)假.故选 C.2.已知 a,b 均为非零向量,则下列命题中,真命题的个数为( C )|a|+|b|=|a+b|a 与 b 方向相同|a|+|b|=|a-b|a 与 b 方向相反|a|+|b|=|a-b|a 与 b 有相等的模|a|-|b|=|a-b|a 与 b 方向相同(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:对,对,错,错,故选 C.3.在平行四边形 ABCD 中,若| + |=| - |,则必有( C ) (A) =0(B) =0 或 =0 (C)四边形 ABCD 是矩形(D)四边形 ABCD 是正方形解析:由向量加法的平行四边形法则
3、及减法的三角形法则知, + =, - = .| + |=| - |,即| |=| |. 即平行四边形 ABCD 的两对角线相等.故四边形 ABCD 是矩形.故选 C.4.若平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O,且 =a, =b,用 a,b 表示向量 为( B )(A)a+b (B)-a-b(C)-a+b (D)a-b解析: = - =- - =-a-b. 5.若向量 a,b 满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值是 , |a-b|的最大值是 . 解析:根据不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,得 4|ab|20,所以|a+b|的最小值是 4,|a-b|的最大
4、值是 20.答案:4 206.已知 =a, =b,且|a|=|b|=4,AOB=60,则|a+b|= , |a-b|= . 解析:以 , 为邻边作平行四边形 OACB,如图,则 a+b= ,a-b= , 所以|a+b|=| |=4 ,|a-b|=| |=4. 3 答案:4 437.若点 O 为ABC 的外心,且 + + =0,则ABC 的内角 C 等于( D )(A)45 (B)60 (C)90 (D)120解析:因为 + =- = , 所以四边形 OACB 为平行四边形.因为 O 为ABC 的外心,所以| |=| |=| |=| |=| |, 所以ACO=BCO=60,所以ACB=120.故
5、选 D.8.(2017山西应县一中月考)下列命题错误的是( D )(A)两个向量的和仍是一个向量(B)当向量 a 与向量 b 不共线时,a+b 与 a,b 都不同向,且|a+b| |a|+|b|(C)当非零向量 a,b 同向时,a+b 与 a,b 都同向,且|a+b|=|a|+|b|(D)当非零向量 a,b 反向时,a-b 与 a 或 b 反向,且|a-b|=|a|-|b|解析:由题 A,B,C 正确,对于 D,a-b 与 a 同向且|a-b|=|a|+|b|,不正确.故选 D.9.(2017河北衡水中学月考)一艘船从点 A 出发,以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船实际行驶速度
6、的大小为 4 km/h,则河水的流速的大小为 . 解析:如图,v 水 =v 实 -v 船 ,这是在直角三角形内,所以|v 水 |= =2.42(23)2答案:2 km/h10.已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,且 =a, =b,用向量 a,b 分别表示向量 , , , .解: = =- =-a, = =- =-b, = = - =b-a,= + =-b+(-a)=-b-a.11.如图,在ABCD 中, =a, =b, (1)用 a,b 表示 , ;(2)当 a,b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直?(3)当 a,b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?(4)a+b 与 a-b 有可能为相等向量吗?为什么?解:(1) = + =a+b, = - =a-b. (2)由(1)知 a+b= ,a-b= . 因为 a+b 与 a-b 所在的直线垂直,所以 ACBD.又因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以四边形 ABCD 为菱形,即 a,b 应满足|a|=|b|.(3)|a+b|=|a-b|,即| |=| |. 因为矩形的对角线相等,所以当 a 与 b 所在的直线垂直时,满足|a+b|=|a-b|.(4)不可能,因为ABCD 的两对角线不可能平行,因此 a+b 与 a-b 不可能为共线向量,那么就不可能为相等向量了.
