1、第 4 章 平行四边形格点多边形的面积计算【教学目标】知识与技能掌握格点多边形的概念，并会用它来判断是否是格点多边形，过程与方法通过对格点多边形面积的分析，让学生经历观察、实验、猜想、求证的数学活动，初步发展推理能力和归纳能力。情感、态度与价值观学会用实验的方法来解决一些数学问题，获得解决问题的成功经验，提高学生学好数学的自信心。【教学重难点】重点：难点：在格点多边形面积计算公式的确认过程中，运用控制变量法进行数学实验。【导学过程】【情景导入】房子外面的马赛克留下了污渍，外墙清洗工需要根据污渍的面积来购买洗涤剂，你能帮帮我们的清洗工吗？已知墙面上粘贴的马赛克的规格是 1cm*1cm，缝隙长度可
2、以忽略不计。图 1-1（设计意图：马赛克是生活中较为常见、使用较广泛的一类装修材料，选取马赛克作为本课的切入点，体现了我们的数学来源于生活。前两种情况是三角形和正方形问题，可以直接利用面积公式解决，班级学生基本上都能独立完成，第三个图虽然是个三角形问题，但是不能用面积公式来直接计算，但是也有不少学生能够想到用割补法中的补解决。第四个图形割法补法均适用。以一个简单的生活现象入手，轻松将学生带入格点多边形的面积计算。 ）【新知探究】向学生介绍格点多边形的概念：各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形，称为格点多边形。提出疑惑：1、格点多边形的面积与其覆盖的格点数目是否有关？2、多边形
3、的格点从分布位置来看有哪几类？前面所涉及的马赛克中的图形只是一种特殊的格点多边形，在此特向学生讲授格点多边形的定义，旨在让学生了解它的概念，并引导学生提出格点与面积是否有关这一问题。数学实验记格点多边形内部的格点数为 a，边界上的格点数为 b，格点多边形的面积记为 S。探究 S 与 a、b 之间的关系。再次分析马赛克问题图 1-1 内部格点数 a 来源:学优高考网边界格点数 b多边形面积 S利用前面的马赛克问题，试图研究 S 与 a、b 之间的联系，但是当存在 S、a、b 三个变量时，我们不易发现他们之间的关系。通过观察表格中的结论，引导学生发现，当 a 相等时，b 不相等，那么所得多边形的面
4、积也不一样；当 b 相等，而 a 不相等时，所得多边形的面积也不一样；只有当 a、b 均相等时，才能保证，多边形面积 S 相等。让学生感受到a、b 均是影响面积 S 的因素。因此我们要一起研究 a、b 对面积的影响，但当变量太多的时候，往往先设定其中某一个量，来寻找剩下两个量的关系。从而来确定我们的实验方法。）探究一：探究 a=0 时，格点多边形中 S 与 b 之间的关系。作图：画几个满足条件 a=0 的格点多边形列表：图形序号 内部格点数 a 来源:gkstk.Com边界格点数 b多边形面积 S再作图：利用描点法，确定当 a=0 时，S 与 b 之间的关系。探究二：探究 a=1 时，格点多边
5、形中 S 与 b 之间的关系。作图：画几个满足条件 a=1 的格点多边形列表：图形序号 内部格点数 a边界格点数 b多边形面积 S再作图：利用描点法，确定当 a=1 时，S 与 b 之间的关系。探究三：探究 a=2 时，格点多边形中 S 与 b 之间的关系。作图：画几个满足条件 a=2 的格点多边形列表：图形序号 内部格点数 a边界格点数 b多边形面积 S再作图：利用描点法，确定当 a=2 时，S 与 b 之间的关系。探究四：探究边界格点数 b=3 时，格点多边形面积 S 与内部格点数 a 之间的关系。作图：画几个满足条件 b=3 的格点多边形列表：图形序号 内部格点数 a边界格点数 b 来源
6、:学优高考网多边形面积 S再作图：利用描点法，确定当 b=3 时，S 与 a 之间的关系。探究五：探究边界格点数 b=4 时，格点多边形面积 S 与内部格点数 a 之间的关系。作图：画几个满足条件 b=4 的格点多边形来源:gkstk.Com列表：图形序号 内部格点数 a边界格点数 b多边形面积 S再作图：利用描点法，确定当 b=4 时，S 与 a 之间的关系。采取小组合作的形式，让学生独立完成以上探究活动。通过探究一、探究二、探究三的实验过程，让学生自己发现：当 a=0 时，S=1/2b-1；当 a=1 时，S=1/2b；当 a=2 时，S=1/2b+1；当 a=3 时，S=1/2b+2；从
7、而得到 S 与 a 成一次函数的关系，且 b 前的系数是1/2。通过探究四、探究五，引导学生发现：当 b=3 时，S=a+1/2；当 b=4 时，S=a+1.从而也能得到 S 与 a 之间也是一次函数的关系，并且 a 前系数是 1。教师通过归纳总结，引导学生猜想当 a、b 为变量时，可能有 S=1/2b+a-1。并且尝试验证猜想，但这里不能给出这个命题的证明，我们仅仅是通过探究，得到皮克公式。 ）得出结论：皮克公式：S=1/2b+a-1 皮克：全名 George Pick，奥地利数学家（ 18591942 年） ，这个定理是皮克在 1899 年发现，并证明的，于是被称为皮克定理。该定理被誉为有
8、史以来“最重要的 100 个数学定理之一” 。简单介绍皮克公式及皮克这个人，让学生发现大数学家通过长期发现并证明的公式，我们通过探究活动也能独立得到，增加学生数学史的知识，增强学生的数学自信心。 ）实验应用环节一：我来出题，你来算利用皮克定理，计算下面两个多边形的面积。对皮克公式的直接应用，趁热打铁加深对公式的记忆，让学生体会学习的热趣。教师补充小结，强调皮克公式的注意点，找准 a 与 b，切记不要多算、漏算 环节二：你来出题，大家算在此，教师不框限学生的思想，学生可以画自己喜欢的格点多边形，有些能力低的学生会画简单图形，而能力较强的学生则可能画一些较为复杂的格点多边形，甚至还会有学生画出的格
9、点多边形为凹多边形。给学生更加宽广的舞台，任他们自由发挥。【随堂练习】1、 如图，已知图中每个小方格的边长为 1，则点 C 到 AB 所在直线的距离等于_ （设计意图：中考真题的设计，拉近学生与中考的距离，让学生深切感受到皮克公式这一定理的工具性）【知识梳理】这节课你收获了什么？本堂课你有什么收获？（让学生自我发挥，从多个方面讲讲对课堂的掌握情况）【拓展提高】如果每相邻的三个顶点构成的小等边三角形面积是 1，那么还能用皮克公式来求格点多边形的面积吗？若不能，你能尝试归纳这类格点多边形的面积公式吗？如果每相邻的六个顶点构成的正六边形的面积是 1，那么还能用皮克公式来求格点多边形的面积吗？若不能，你能尝试归纳这类格点多边形的面积公式吗？（设计意图：学生自我探索发现了皮克公式，在课堂上经历了探究的一般步骤，课后作业布置图形类似，但又不能用皮克公式解决的问题，希望学生能利用课堂方法，在课后好好研究类似于皮克公式的公式。 ）
