1、直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略本文通过几个经典的例题说明线与圆锥曲线综合题的合理消参策略.例题 1 已知椭圆 ，过 且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 在椭2:14xCy(0,)AkCAB、 M圆上，且满足 .求 的值.32OMABk解法 1:直接求解法，适合于消参后的一元二次方程的根比较好解的情况，注意利用乘法公式化简过 且斜率为 的直线为 ，代入椭圆方程中，消去 并整理得:(0,1)Ak1ykxy，解得 ， ，注意到 ，248kx102284k(0,1)A可得 ，即 .22(,)14kB(,)1B设 ，则 ，(,Mxy)22138(,(0,)(,)4k= ， ，2431k2)(1k又 ，
2、，24xy224334(1) 1k去分母得: ，22281()()kk展开整理得: ， .461解法 2: 利用一元二次的方程的根与系数关系，注意利用整体代入.过 且斜率为 的直线为 ，代入椭圆方程中，消去 并整理得:(0,1)Akykxy，2480kx设 ，则 ，12(,(,(,)AyBMxy) 123(,)(,(,2xyxy) ， ，又 ，123xx1234 ，2211()()4y整理得: ，221 121233()()448xyxyxy注意到 ，于是上式化为 ，即 .221121230xy12240xy又 ， ，120x12284kx ，11212()()()ykxxkx ， ， .28
3、10424kk解法 3: 转化结论，间接求解，就是求出直线上两个点的坐标即可，一般不用此法，但对于本题，却是非常简单，就是充分利用题目的特殊性.设 ，又 ，于是 ，即 ，(,Bxy)(0,1)A132OMAB13(0,(,2OMxy) ，又 ， 在椭圆 上，于是3(,2M)(,Bxy)(,xy)2:4C即2221,4133()(,xy)2223(1),44132,xy消去 得: ，2xy、 0 .即 ，又 ，(,B)(,1)A 12k例题 2 双曲线 与椭圆 有相同的焦点，直线 为 的一条渐近线.C2184xy3yxC(1)求双曲线 的方程.(2)过点 的直线 交双曲线 于 、 两点，交 轴于
4、 点（ 点与 的顶(0,)PlCABxQ点不重合）.当 ，且 时，求 点的坐标.12QAB1283Q解:(1)设双曲线方程为 ( ).xyab0,b由题意: ， ， ， .284ab3ba13b双曲线 的方程为 .C21yx(2) 解法一：构造关于参数的一元二次方程由题意知直线 的斜率 存在且不为零.lk设直线 的方程为: ，则可求 .4yx4(,0)Qk设 ， ，1,()Axy2,()B ， ， ，PQ,4)k14(,)Axyk 14(),.xky11,4xy )在双曲线 上，1,(Ax2:13Cx ，2211663k .22()0k同理有: 2216163k若 ，则 ， 过顶点，不合题意，
5、 ，204l 2160k ， 是一元二次方程 的两个根，12(16)3kx ， ，验知 ， ，1238k2402k 所求 点的坐标是 .Q(,0)仔细分析上面的解法，我们发现本题中涉及 7 个未知数，它们是: .1212,xyk上面的解法先把 作为一组，构建关于 的一元二次方程，再把 作, 12,xyk为一组，构建关于 的一元二次方程，由于这两个运算过程完全相同， 两个一元二次方程也2完全相同，因此 ， 是同一个一元二次方程的两个根，然后就可以利用一元二次方程的根1与系数的关系了.解法二：利用根与系数的关系把 代入双曲线 的方程为 并整理得：4ykxC213yx，2(3)8190kx当 时，直
6、线与双曲线 只有一个交点，不合题意，故0k 230k ， .1223x123xk由已知 ， (1)12121244()()()k， (2)1212 21266()()xk又 ，1283故由(1)得: ，12294()k由(2)得: ，122680(3) ，22914(3)()kk解得： ，验知 ， ，所求 Q 点的坐标是( 2，0)0解法三：利用根与系数的关系，但是考虑结论中涉及到的 怎样用 表示，解1k法二可以演变为下面的解法： 12121244()4kxkx，212112()8()84 6x然后把 ， ，3kx293xk代入上式化简得: ，解得： ，验知 ， ，168424k02k所求 Q
7、 点的坐标是( 2，0)例题 已知椭圆 的短轴长为 ，右焦点 与抛物线2:1(0)xyCab23F的焦点重合， 为坐标原点24yxO（）求椭圆 的方程；（）设 、 是椭圆 上的不同两点，点 ，且满足 ，若 ，AB(4,0)DADB31,82求直线 的斜率 的取值范围 k解法 ， 、 、 三点共线，而 ， D AB(,)且直线 的斜率一定存在，所以设 的方程为 ，AB 4ykx与椭圆的方程 联立得 ，2143xy22(34)360k由 ，得 21()0k2设 ， ，1,()Axy2,()B122346ky又由 得， ，D12y把代入得，消去 得：224(1),36,ky2y，234k当 时， 是
8、减函数，1,81()2h， ，()924 296134k 解得 ，又 ，所以 ，21586k 25836k 的取值范围是 . 1,2解法 设 ， ，则1,()Axy,()B2134xy又 ， ，则DAB(4,0)124()xy由得 得 12,xy代入 得 ， 2223(4)()1y由 得 ，联立消去 得： 1xy2，22223(4)3这实际上是关于 的一元一次方程，解得： ，2x253x而 ， ，24yk 22241()()(4)yyk把 代入上并化简得 ，253x22 13(0304()42)k令 ，则 在 是减函数，且 ，1tt1,8257,2t而 在 是减函数，304(2)yt573,4t当 时， ，当 时， ， 5max6y2tmin2148y的取值范围是 . k515,6
