1、,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,-2-,4.1 向量组及其线性组合,三维空间的向量:有向线段。,建立标准直角坐标系后，,它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。,-3-,在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。,由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的
2、)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。,-4-,定义,n 个数组成的有序数组,称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 称为该行(列)向量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向量的全体记为 . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量.约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.,或,-5-,由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组. 如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组.,如: mn 的矩阵 A 全体列向量
3、是含 n 个 m 维列向量的向量组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A 的行组.,再如: 解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组.,定义,-6-,观察如图三维空间中的向量, 必有,再观察下面方程组增广矩阵的行组,有如下关系,这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.,-7-,对于向量组 , 表达式,称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线性组合, 即,则称向量 可由向量组 A 线性表示.,定义,-8-,(1) 向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,上面方程组有解.,另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果
4、,(按定义),(转换为方程组),(用矩阵的秩),-9-,(2) 如果向量组 中的每个向量都可由向量组线性表示, 则称向量组 B可由向量组 A 线性表示.,有解,(改写为矩阵),(转换为矩阵方程),(用矩阵的秩),-10-,(3) 如果向量组 与向量组 可以相互表示,则称这两个向量组等价.,向量组 A 与向量组 B 等价,(1) 向量组的等价是不是等价关系?,(用矩阵的秩),关于线性表示的三种情况关键是学会转换,-11-,解,记,这就是P76例12. 结论是,时,方程组无解, 不能由 A 表示.,时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.,-12-,时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种
5、表示.,通解为,所有表示方法:,其中 k 为任意实数.,即,-13-,，,向量组 A 与向量组 B 等价吗?,解法一,又易知 , 故等价.,-14-,解法二,最简阶形一样(不计零行), 故等价.,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,-16-,4.2 向量组的线性相关性,看看三维空间中的向量(如图),这三个向量任何一个都不能由其它两个,向量线性表示, 说明它们是异面的.,这三个向量在一个平面内(共面).,-17-,我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.,定义,该
6、定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导.如何改成数学表达式?,-18-,等价定义,则称该向量组线性相关. 否则,如果设,按后者不妨设 则,符合前面定义.,反之,按前者不妨设,又符合后者定义.,-19-,存在不全为零的数 使,(按定义),(转化为方程组),上面方程组有非零解.,(用矩阵的秩),-20-,(P88 例5),的线性相关.,的线性无关.,例1,-21-,t 取何值时,下列向量组线性相关 ?,解,记,当 t = 5 时, 上面向量组线性相关.,例2,-22-,A, B 为非零矩阵且 AB = O, 则,(A) A 的列组线性相关, B 的行组线性相关 (B) A 的列组线性相关, B
7、的列组线性相关 (C) A 的行组线性相关, B 的行组线性相关 (D) A 的行组线性相关, B 的列组线性相关,设 说明 Ax = 0 或 AX=O 有非零解, 故r(A)n, 从而 A 的列组相关; 考虑转置 ,同样的道理, 矩阵 列组即 B 的行组相关.,另, r(A)+r(B)n, r(A)0, r(B)0, 得 r(A)n 和 r(B)n, 从而 A 的列组和 B 的行组相关.,例3,-23-,设 线性无关, 问 满足什么时,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题, 首先要把它改写成矩阵乘积的形式.,则,例4,-24-,设,(要讨论上面方程组何时有非零解),由于 故,-25-,上
8、面方程组有非零解,当 时, 线性相关.,-26-,另证:,由于 是列满秩矩阵, 故,-27-,证明向量组 线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例5,-28-,(参见P90定理5),(1) “部分相关,则整体相关.反之”,观察知 相关, 从而 相关.,-29-,(2) “个数大于维数必相关”,A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.,-30-,则 可由 A 唯一表示.,这由,有唯一解.,又说明: 如果一个向量可用无关组表示, 则表法必然是唯一的.,为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理.,-31-,写成矩阵乘积:,从而,(4) 向量 组 B 可由向量组 A 表
9、示, 则,(后者的 A, B是矩阵),存在矩阵 C 使得 B = AC,为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式.,-32-,(5) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关.(Steinitz定理),表示, 又 mn, 则 B 必相关.,-33-,(6) “短的无关, 则长的也无关”.反之,是无关的.,也是无关的.,-34-,( P109 习题16 , P110 习题17 ),(题目看书),(16),(17),则对任一 n 维向量,必相关.,从而, 可由 线性表示( 且表法唯一).,由(16)题知它是线性无关的.,例6,(同P87 例3),-35-,重新证 P108 习题5
10、 (以前已作为例题讲过),见 P90 例7 (看书),例7,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,-37-,4.3 向量组的秩,对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示?),希望: 在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示.,这样的部分组要满足什么条件？,-38-,假设向量组 A 的部分组 A0 是所找的.首先 A0 要是线性无关的. 否则, 其中至少有一个向量可由其余的向量表示,
11、 这说明 A0 中向量个数不是最少的;其次 A0 中无关向量个数还要是最多的. 否则, 如果还有无关的部分组 B0 所含向量个数比 A0 多, 那么因 B0 可由 A0 表示, B0 必相关, 这就矛盾了.反之如果 A0 满足上面两个条件, 则 A0 必可表示 A 中所有的向量. 因为把 A 中任一向量合并到 A0 中必相关, 由唯一表示定理知这个向量可由 A0 唯一表示.,-39-,(1) 线性无关,(2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关.,定义1,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,(P91 定义5),(2
12、) A 中任一向量都可由 A0 表示.,(P92 等价定义),定义2,(1) 线性无关,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,-40-,定义,向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r (显然是唯一的)称为向量组 A 的秩. 仍记为 r(A). 只含零向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为0.,-41-,回答:,(1) 向量组的最大无关组唯一吗? (2) 如果向量组的秩为 r ,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗?(3) 向量组与其任一最大无关组等价吗?(4) 向量组的任意两个最大无关组等价吗? (5) 等价向量组的秩相等
13、吗?,-42-,求向量组,的一个最大无关组和该向量组的秩.,同理, 等也是最大无关组.,易求得,说明 A 中有一个 2 阶子式不为零. 如取前两列前两行:,那么 , 从而 线性无关.,再看 A 的任意三列 , 因为,所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组,-43-,( P91 定理6 ),-44-,求向量组,的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.,接例1, 已求得一个最大无关组为,要求 用 表出, 这相当于要解方程组,-45-,-46-,(P94 例11),向量用该最大无关组表出.,矩阵的秩=,线性无关吗?,是最大无关组吗?,-47-,-48-,再深入:,说明: 矩
14、阵的初等行变换不改变列之间的线性关系.,前面的做法,也可依此理论为依据(本质一样).,-49-,右边的最大无关组,左边的最大无关组,-50-,为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混用同一符号,有了三秩相等定理就能理解了.,但是,如果向量组是无穷向量组符号就不能混用了.有限向量组中的有关结论都可推广到无穷向量组.这部分内容请同学们自学.见P93定理3和P94例题10.,说明:,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,-52-,4.4 线性方程组解的结构,本节主要讨论,(2) 解集的秩
15、是多少?,(3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求?,(1) 解集的特点?,-53-,首先回答第一问题(P96性质1和性质2),记 Ax = 0 的解集为,(1) N(A) 对线性运算封闭.,证,-54-,证,记,设 , 由于 是 N(A) 的最大无关组,从而,由(1) x 是解,从而,-55-,通过下面的例子, 针对一般的方程组,回答所提问题.,再讨论第(2)和第(3)个问题,-56-,可知道矩阵 A 的秩 r ，又说明原方程组只有 r 个独立的方程且 B 的前 r 行对应的方程组是与原方程同解的“最简”方程组.,第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化最简阶梯形 B,最简阶梯形说明了
16、什么？,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,n r (未知数的个数减独立方程的个数),-57-,是解吗?,线性无关吗?,任一解都 可由 表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所含向量的个数 = ?,n r (自由变量的个数),第四步:写出基础解系,-58-,再来分析一下基础解系的由来:,第二步的同解方程组为,第三步的通解为,就是,类似的,-59-,这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,必然是线性无关的, 从而也是基础解系.,由此得到下面的解法二.,-60-,第一步:同前,第
17、二步:同前,第三步: 令,第四步:写出通解,-61-,(P98 定理7),齐次方程组 的基础解系所含向量个数为,设一个基础解系为,则通解为,-62-,(P101例13),设 ,证明,证,因此,移项,-63-,(P101例15),证明,设 , 首先证明,利用这一结论,注:第二个结论决不是同理可证!,证,-64-,(P101 习题27),设 A 为 n 阶方阵 , 证明,(1),(2),(3),证,-65-,下面讨论:非齐次方程组 解的结构,以下总假设,有解, 而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,-66-,性质,(P102 性质3 , 性质4),(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则
18、仍是(1)的解.,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,-67-,设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为,-68-,即得方程组的一个解,(P102 例16),解,-69-,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,-70-,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,-71-,设 是非齐次 Ax = b 的两个不同的解,其对应的齐次方程组的基础解系,则 Ax = b 的通解是(多选),-72-,(P111 习题29),设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方
19、程组的通解.,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组的通解为,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,-74-,4.5 向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,-75-,证明下列集合是向量空间,证,所以 构成了向量空间.,-76-,证(以前的),证明齐次方程组的解集,是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间.,-77-,证明非齐次方程组的解集,不是向量空间.,证,设 , 而,S 对加法运算不封闭.,或,S 对数乘运
20、算不封闭.,-78-,是向量空间.,证,-79-,定义,设 是一向量组, 称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,特别地, 由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为 A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A),-80-,设向量组 与向量组 等价,(P105 例23),证明,同理,证,-81-,向量空间 V 的一个最大无关组, 又称 V 的一个基(或坐标系). 基所含向量的个数 r 又称为 V 的维数.记为 dim(V) = r . 此时称 V 是 r 维的向量空间.,设有向量空间 及 ，若 ，就称 是 的子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，则,定义,定义,齐次方程组 的基础解系就是解空间的一个基. 解空间的维数是 n - r(A).,-82-,定义,设向量空间 V 的一个基为 ,则对 V 中的任一向量 可唯一地表示为,数组 或向量 称为向量 在基 下的坐标.,的一个基显然就是向量组 的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。,-83-,证明,都是 V 的基. dim( V ) = ?, 并求向量,在这两个基下的坐标.,证,显然线性无关, 又 V 中的任一向量,V 中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基,-84-,所以 在基 下的坐标为 (3 , 5),为求 在基 下的坐标, 需解方程组,求得坐标为 ( 1 , 2 ).,
