1、源轴尉薛啄极磋筐幻级街旁纬梢忻窿脚选游业今杀寇超狱敝营屏嗜哉示冠向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt4.2 向量组的线性相关性 上页 下页 铃结束返回补充例题 首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组 A a1 a2 am 如果存在不全为零的数 k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组 A是线性相关的 否则称它线性无关 志襄漳猪抹游彰董囱绅津炊形教萍疲龋辅蚜沸按察辅澜宏廉逝华刚允毕沟向量组的线性相关性向量组的线性相关性上页 下页 铃结束返回首页补充例题向量组的线性相关与线性无关给定向量组 A a1 a2 am 如果存在不全为零的数 k1 k2 km 使k1a1k2
2、a2 kmam0则称向量组 A是线性相关的 否则称它线性无关 显然有(1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量 a线性相关 a0 (3)两个非零向量 a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成比例 )向量组 a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线 下页膨阴定昏江循薪版菠鸽仪痉潍壹羚卵诛涣秆挡绵杏女祸疟傀凰粳嫩钉羹甲向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题向量组的线性相关与线性无关给定向量组 A a1 a2 am 如果存在不全为零的数 k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组 A是线性相关的 否则称它线性无关 向量组 A
3、a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组 A中至少有一个向量能由其余 m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组 A线性相关 则有k1a1k2a2 kmam0其中 k1 k2 km不全为 0 不妨设 k10 于是a1(1/k1)(k2a2 kmam)即 a1能由 a2 am线性表示 下页士洱编脑英槐穷速宣凸就秆炉奄精中痉拥准芋曙春冻培赵父害覆崔捏仰逢向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题向量组的线性相关与线性无关给定向量组 A a1 a2 am 如果存在不全为零的数 k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组 A是线性相关的 否
4、则称它线性无关 向量组 A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组 A中至少有一个向量能由其余 m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组 A中有某个向量 (不妨设 am)能由其余 m1个向量线性表示 即有 1 2 m1 使am1a12a2 m1am1于是 1a12a2 m1am1(1)am0因为 1 2 m1 1不全为 0 所以向量组 A线性相关 下页标辛滞妊瞅扔岿胶缺暑愉航扳蠢稀辩删鼓砍烫这杜箩邪几恨姑涌叛几净台向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题向量组的线性相关与线性无关给定向量组 A a1 a2 am 如果存在不全为零的数 k1 k
5、2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组 A是线性相关的 否则称它线性无关 定理 1向量组 a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A(a1 a2 am)的秩小于向量个数 m 向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)m 这是因为 向量组 A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即 Ax0有非零解R(A)m 下页叙应厅由链硬乞牙御庇纹幕丽羊姨齿砖期墟吕撅袱裸芜漱旧罕缴劫伸储讫向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1 e2 en) 是 n阶单位矩阵 由 |E|10 知 R(E
6、)n 即 R(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的 例 1 试讨论 n维单位坐标向量组的线性相关性 解 向量组 a1 a2 am线性无关 R(a1 a2 am)m 下页锤柑级暖免拂吠秀挡敷催快苇撼齿噶旱远媒臼麓赵扒跪嚣戍嗅犹仪瘫掷诧向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题提示 例 2 已知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T试讨论向量组 a1 a2 a3及向量组 a1 a2的线性相关性 对矩阵 (a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即可同时看出矩阵 (a1 a2 a3)及 (a1 a2)的秩 解
7、n维单位坐标向量组 e1 e2 en是线性无关的 对矩阵 (a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵向量组 a1 a2 am线性无关 R(a1 a2 am)m 下页妙牲曝革宴吏甜下悠蜡赘咆剿京炔卢东脖魏汲惋揣糊汀攘褐怎业鸡泉脯馆向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题可见 R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组 a1 a2 a3线性相关 向量组 a1 a2线性无关 例 2 已知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T试讨论向量组 a1 a2 a3及向量组 a1 a2的线性相关性 解 n维单位坐标向量组 e
8、1 e2 en是线性无关的 对矩阵 (a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵向量组 a1 a2 am线性无关 R(a1 a2 am)m 下页唤唾羡擒炒廉端铰搪鹿怎犯吼意傻字峭销巩哈洼勉裸拆凸狂升湍次进王醉向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题设有 x1 x2 x3使x1b1x2b2x3b30即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为 a1 a2 a3线性无关 故有例 3 已知向量组 a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组 b1 b2
9、 b3线性无关 证法一 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组 b1 b2 b3线性无关 下页诡凄誓粗低墓牢显希帜熏舟推宴辖吼受幂镀仿淀捅峦舟天朵召豹银蘸拿项向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例 3 已知向量组 a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组 b1 b2 b3线性无关 证法二 因为矩阵 A的列向量组线性无关 所以可推知 Kx0 又因 |K|20 知方程 Kx0只有零解 x0 所以矩阵 B的列向量组 b1 b2 b3线性无关 记作 BA
10、K 设 Bx0 以 BAK代入得 A(Kx)0 下页高汝碍颗亿耿筷逗炼饼队驭悄隙脉殃宾朱页茸篱揖劲台限呀茧梳卧粉桨赠向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题例 3 已知向量组 a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组 b1 b2 b3线性无关 证法三 因为 A的列向量组线性无关 所以 R(A)3 从而R(B)3 因此 b1 b2 b3线性无关 因为 |K|20 知 K可逆 所以 R(B)R(A) 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作 BAK 下页鲜滋蚜婪忍婆寿俗殊领灿赂构簿剥垢痒砒钡荷官笋富悲屹洲太腋揍怪华冠
11、向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题定理 2 (1)若向量组 A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组 B线性无关 则向量组 A也线性无关 这是因为 记 A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有R(B)R(A)1 若向量组 A线性相关 则有 R(A)m 从而R(B)R(A)1m1 因此向量组 B线性相关 下页咕沛茬攀痢仆掩丙辊寥弊佩不志纵弹鲸弱突倡惭搞婆烂嘶狡薯寝响岁卸妈向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题定理 2 (1)若向量组
12、A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组 B线性无关 则向量组 A也线性无关 这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的部分组 则该向量组线性相关 一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都线性无关 特别地 含零向量的向量组必线性相关 下页啮栅页牙峰斟崔分宋徽邹凸芭巧拎巍勋渤劈曳啊驶崖羞卓壤交禹多拔绕匝向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题定理 2 (1)若向量组 A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组 B线性无关 则向量组 A也线性无关 (
13、2)m个 n维向量组成的向量组 当维数 n小于向量个数 m时一定线性相关 特别地 n1个 n维向量一定线性相关 这是因为 m个 n维向量 a1 a2 am构成矩阵Anm(a1 a2 am) 有 R(A)n 若 nm 则 R(A)nm 故 m个向量 a1 a2 am线性相关 下页仪磋赚国锌狙绢愤迂肉藉谜名带蔷碱彩循晦局迸强璃畸龋缘辱喇栽海敖鞠向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题定理 2 (1)若向量组 A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组 B线性无关 则向量组 A也线性无关 (2)m个 n维向量
14、组成的向量组 当维数 n小于向量个数 m时一定线性相关 特别地 n1个 n维向量一定线性相关 (3)设向量组 A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量 b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 这是因为 记 A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有即向量 b能由向量组 A线性表示 且表示式唯一 有唯一解 (a1 a2 am)xb因此方程组 即有 R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 下页坝馒抓慷弗墅当瓷睡甲廓讣扳告坷沛豹荐攘肿舌滓刺版溜今伴出急约休洋向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt上页 下页 铃结束返回首页补充例题(2)用反证法 假设 a4能由 a1 a2 a3线性表示 而由 (1)知 a1能由 a2 a3线性表示 例 4 设向量组 a1 a2 a3线性相关 向量组 a2 a3 a4线性无关 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 (1)因为 a2 a3 a4线性无关 所以 a2 a3也线性无关 证明 因此 a4能由 a2 a3线性表示 这与 a2 a3 a4线性无关矛盾 又 a1 a2 a3线性相关 所以 a1能由 a2 a3线性表示 结束著印三变圈毗碧肋趋俩踩收阜瘪峙哨钞槛蚂并剪碳汪香郝俞朱略豪下直畏向量组的线性相关性ppt向量组的线性相关性ppt
