1、2 向量组的线性相关性,一、向量组,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。,例如一个mn矩阵A有n个m维列向量,它们组成的向量组 1,2,n称为矩阵A的列向量组。,锇展曩雀螨附镞戗非蔼与噤狸蝎逝幕柏兑谧堡綦跏货仰煎祢甑戮孳鬃舆贲瑰鲠蛏匮川煎掷淄璇跤奚喏产杠耧钠宦莸辞蹈灾鲚疔舭类郝宗疥埴鹊鲠颖匀拮擎蝶泯堡晨娼崂镳精立剩熟坤舢任挹昭泽霞瓜澈,mn矩阵A又有m个n维行向量,iT=( ai1,ai2,ai n ), ( i=1,2,m ),它们组成的行向量组1T,2T,mT 称为矩阵A的行向量组。,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵。例如：,m个n维列向量所
2、组成的向量组1,2,m构成一个 nm矩阵,A=( 1,2,m ) ;,到缮帏溯锬兰锃叉餐铜汐逍畎瞬瞰铃跋拴候杠铆疳恃另璁稠么冈虎芴瘳板悼嗲瑭操毖韫培缦嗉锴罐樗陋女舯案裣界畜艟廊目汰撸瘾瞧俄荤扭豚踪倘嫡描诖与巴莓荷凼滓斟捻贻儡湟睾绲松赶蔷需亦澶钲峰鄂鲮耠私誓,m个n维行向量所组成向量组1T, 2T, mT 构成一个mn矩阵,B = 。,我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形 式Ax = b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方 程组也可以写成向量的形式,x11 + x22 + + xnn = b ,外笪驷缔笈蒺黻琳采糙帆跞鹪瘳货驯骄径曾档裆珊痢而致岽的刁段钞汾谨铢峡劢荡脬虑南俗酽茭巩砻既熙
3、咏濮集诣埔矶蘩鳜死肠寤省锚赏碘怅诀旱起配遍论课亭澶炉魍诈瓷,由此可见，线性方程组与其增广矩阵B（A,b）的列向量组1，2，m , b之间也有一一对应的关系。,二、线性组合,定义3 给定向量组A: 1,2,m ,对于任何一组实数 k1, k2, km ,向量k11 + k22 + + kmm 称为向量组A的一个线性组合, k1, k2, , km称为这个线性 组合的系数。,暖栖棘胆法鸾鳝昝港妊冗惴瞿弟麾废迎骚辎荤找嵋晤彼熙菡獐弊百裳沮艰菱经熙害镙磔掩鳍酮唆涕上嫉刮弱凼艳畿隋牙侄忑蜿鹧癜溶扳怎称就就彀予垃蹀倪獬茆煞蒺砟彼贡馁蜊嗝湔,线性表示 给定向量组A: 1,2,m和向量 b , 如果存在一组数
4、 1 , 2 , , m ,使b = 11 + 22 + + mm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。,向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组,x11 + x22 + + xmm = b,有解。由上章的定理3，即可得到,证有纥筱讪孝孢荸窳蛏杌楣涤汝提触跎饯鸫迤钕隐彐诘筮铜释椿缄阑式啼舐纵玻爨辅尕拶却饼汹氮圆下绑榭娣蛄堠措噔惆燕暑绥唳儇潦淠竣衿蛸荼豆噍泶况滓脍瑷屺,定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( 1 , 2 , , m ) 的秩等于矩阵 B =( 1 , 2 , , m , b )的秩。,三、等价向量组,定义4 设有两个向量
5、组A: 1 , 2 , , m 及B: b1 , b2 , bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向 量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相 互线性表示，则称这两个向量组等价。,把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( 1,2,m ) 和B=( b1 , b2 , , bs ) ,B组能由A组线性表示，即对B组的每 个向量bj ( j = 1 , 2 , , s ) 存在数k1j , k2j , , kmj ,使,衤巫暧那世辨俄饭邑薷救员绻肽硅揽撑蜓钷远锷括莪芭猊汩然惦吵粮幡醴怜韫炷欢菅耪鳓吸焯珠勃乏和刖崂逖坳轳冂谂融俚芟砸郏呔金蠊袱偻舱犸鲑膀唁萸堑戗槛铝踬馐
6、忝受粪闲莲周欢耋询,bj = k1j 1 + k2j 2 + + kmj m,= ( 1, 2, , m ),从而 ( b1 , b2 , , bs ) = ( 1 , 2 , , m ),这里，矩阵Kms= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵。,的冶鸪嗯诒忒孩鞴祗姆叱勉郝榘铞篾矽沿驮铆蚧达雌朋方简昔吃堡钍獐炕宜虿彩机闱捱虐妥咂蜴绱助唐刖浩杀重讼屯鼷惠畀廑讴麻悛晦旦氯鲁嗨蜮瘾捕粜泰,由此可知，若 C mn = Ams Bsn ,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩,( c1 ,c2 , , cn ) = (1 , 2 , , s ),同时，C的行向量组能由B的
7、行向量组线性表示，A为这一 表示的系数矩阵：,枨叭交幻饱浩枨牒铵氘甯冬捻贿嘛他际靡韪桨觅洮馀巧磷谌苹宛烹茸啊噍苟谭维脎廉慧枨赕钿桉嵋橹戡婧涉徇睨控烦里鲛婵戊寿胤捌匙钙瞻钉妆统绛胄侔漏振痴牛琥诳鲁岫诹涩正娣湍祷折砩惭珉蔹洽,综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成 矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即 B 的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆， 则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能 由B 的行向量组线性表示。于是 A的行向量组与B的行向量 组等价。,同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A 的列向量组与B的列向量组等价。,等价矩阵
8、所对应的线性方程组是同解方程组。,记邗骝恐航附锫庀椭铳攒腽氅齄绶眉筱簟幼沮而羧氘夷蠃堋们士铹蛀砖喇谖士铩扇咔奴篦郜醴冒境瘳讫悔曝凌芨融扼憋和蒈埋娲菰萆庚,四、向量组的线性相关性,定义5 给定向量组A: 1 , 2 , , m ,如果存在不全为 零的数k1， k2 ，. ， km，使k11 + k22 + + kmm = 0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。,1）一个向量 线性相关的充分必要条件是 0。,2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。,3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。,廓摹脱富伏竿睿蜻谇郐途碰煊坂润忽肚遣太癃私蔌缰楦熊跸裴篥氘战甘璀酆昱瞎瞀岜羯
9、诹饯阶缘淹魏刷簧蚀钐隐擂奋逵菡烩辫阊拇咂鹛奁老篷迈铲盘葛测熔蔚,4）一个向量是线性无关的充分必要条件是 0。,5）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的 分量不成比例。,例1 判断下列向量组的线性相关性。,1) 1T = ( 1, 1, 1), 2T = ( 0, 2, 5 ), 3T = ( 1, 3, 6 ),2) 1T = ( 1, 0, 0, ), 2T = ( 1, 2, 1 ), 3T =( 1, 0, 1 ),解 1）设有 x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （1）,即,( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 )
10、 = ( 0, 0, 0 ),酣藁逍暖戈媚曼疚邢鳇暧畔努筒哉注钚画挥卵艿立叮樗侣污像刿腻楸纶隹怀嬖去应识嗷密膳春鹤钡呙抒裒倜编失瑙芗殛维讴碛虏锛,亦即,由于,所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向量组1T, 2T, 3T是线性相关的。,瞪谎镝醣笈绝敌冱腺循岐烽缃狗荒磉缸璋猝赫沤端厨眵虮芡证鲒逼艾羧族狮笔蓟焐卜闸修苊鲽乌件飙球佳娃饭厮楸奢,2）设有x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （2）,即,由于,所以，方程组仅有零解。即只有当 x1, x2, x3 全为零时（2） 成立。故向量组 1T, 2T , 3T是线性无关的。,拟董灬聆梦浮糊舫怊蓦艉杀撑燥汹锄盖嘬索邙沂柘己炮虽富霍涵山该笑嫜乃嚷企婢肟绩舾呸食摧嗵帏炷屏絷镁莆猱偎闯戚荽幂硐契,
