线性代数_第4章_向量组的线性相关性

1、第四章 向量组的线性相关性 4.1 目的要求 1了解 维向量的概念，并掌握其线性运算的方法. n2理解向量组线性相关性的若干概念，了解与相关性的结论. 3理解向量组的极大无关组的定义与向量组秩的定义. 4了解 维向量空间、子空间、基底、维数的概念. n5掌握矩阵初等变换判断向量组的相关性，求向量组的秩和极大无关组的方法. 4.2 重要公式和结论 4.2.1 向量组及其线性组合 1 维向量 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量，这 n个数称为 n n12,naa aL n该向量的 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量. nia2向量组 若干个同维数的列向量（或同维。

2、线 性 代 数 第四章 向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组 例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组称为矩阵向量组 Aa1 a2 an一、向量、向量组与矩阵 a2 aj an维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTm向量组 , , ， 称为矩阵 A的行向量组 T1 T2 Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 . 矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个nmnm m, 21 矩阵构成一个的向量组维行向量所。

3、线 性 代 数,第四章 向量组的线性相关性,定义,一、最大线性无关向量组,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,结论,说明,事实上,定理,三、向量组秩的重要结论,推论1,推论2,思考,证一,证二,注意,最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性, 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩, 关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论, 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,比较教材例7的证法一、二、三，并总 结这类题的证法,思考题,证法一根。

4、线 性 代 数,第四章 向量组的线性相关性,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、 维向量的概念,例如,二、 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,向 量,三、向量空间,空 间,叫做 维向量空间,时， 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向。

5、线 性 代 数,第四章 向量组的线性相关性,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,一、向量空间的概念,定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间,实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,三、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0。

6、第二节向量组的线性相关性 定义1 线性组合 重点 如何判断线性相关和线性无关 注 定理1 注 解的唯一性和非唯一性 例 定义2 线性相关 例 如何判断线性相关和线性无关 回顾 Gauss消去法中阶梯形拐角元素1的个数的问题 当m n时 即向。

7、线性代数练习纸 第四章 向量组的线性相关性 习题 4 1 向量组的线性相关性 1 向量组 s 2 线性无关的充分条件是 a 均不是零向量 b 中任意两个向都不成比例 c 中任意一个向量均不能由其余个向量表示 d 存在的一个部分组是线性无关的 2 如果向量可由向量组线性表示 则 a 存在一组不全为0的数 使得成立 b 对的线性表示式不唯一 c 向量组是线性相关 d 存在一组全为0的数 使得成立 3 。

8、1,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,2,4.1 向量组及其线性组合,三维空间的向量:有向线段。,建立空间直角坐标系后，,它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。,3,在建立空间直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。,由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直。

9、线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一 选择题 1 n维向量线性相关的充分必要条件是 D A 对于任何一组不全为零的数组都有 B 中任何个向量线性相关 C 设 非齐次线性方程组有唯一解 D 设 A的行秩 s 2 若向量组线性无关 向量组线性相关 则 C A 必可由线性表示 B 必不可由线性表示 C 必可由线性。

10、第三章 向量组的线性相关性 作业1 一、判断题 1. 如果当时，则线性无关.（ ） 2. 若只有当全为0时，等式才成立，则线性无关，线性无关.（ ） 二、填空题 1. 设其中 则= . 2. n维零向量一定线性 相 关. 3. 设，若线性相关，则= . 4.已知向量组线性相关，则= . 5. 设向量组线性无关，则必满足关系式 。

11、. 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一选择题 1 n 维向量 1 , 2 , , s ( 1 0) 线性相关的充分必要条件是 （ A ）对于任何一组不全为零的数组都有 k1 1k2 2 ks s 0 （ B ） 1 , 2 , , s 中任何 j ( j s) 个向量线性相关 （ C）。

12、线性代数 向量组线性相关性习题讲解,第四章 向量组的线性相关性,一、要点复习,二、作业讲解,三、典型例题介绍,一、要点复习,一个向量可由一组向量线性表示,一组向量可由另一组向量线性表示,两组向量可相互线性表示（等价）,向量组的线性相关性,线性相关,线性无关,线性表示,向量组的极大线性无关组,向量组的秩,线性方程组解的结构,基础解系,利用基础解系表示线性方程组的通解,线性方程组的解的各种情。

13、第二节向量组的线性相关性 1 向量组的线性组合的概念 性质 本节的内容 2 向量组的相关性的定义 性质 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如 一 向量 向量组与矩阵 向量组 称为矩阵A的行向量组 同样 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 定义1 线性组合 线性组合的定义 例如 Rn中的任一个向量 。

14、 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如 一 向量 向量组与矩阵 向量组 称为矩阵A的行向量组 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 定。

15、3.3线性相关性的判别定理,内容：4个定理,定理1,证明,推论：,含有零向量的向量组是线性相关的向量组。,定理2,证明,定理3,推论：,r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组,若r维向量组线性无关，,则n维向量组也线性无关。,定理4,推论1：,推论2：,例1,讨论下列向量组的线性相关性：,解：,例2,证,。

16、第三节 向量组的线性相关性分布图示 线性相关与线性无关 例 1 例 2 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定 定理 1 定理 2 例 3 例 4 例 5 例 6 定理 3 定理 4 定理 5 例 7 内容小结 课堂练习 习题 3-3内容要点一、线性相关性概念定义 1 给定向量组 如果存在不全为零的数 使,:21sA ,21sk(1),0skk则称向量组 线性相关, 否则称为线性无关. 注: 当且仅当 时，(1) 式成立, 向量组 线性无关;021sk s,21 包含零向量的任何向量组是线性相关的; 向量组只含有一个向量 时，则（1） 的充分必要条件是 是线性无关的；0（2） 的充分必要条件是 是线性。

17、 PAGE 1 2向量组的线性相关性 本节主要内容 向量组的线性相关性 向量组线性相关性的判定 PAGE 2 一向量组线性相关的概念 PAGE 3 PAGE 4 PAGE 5 PAGE 6 PAGE 7 PAGE 8 PAGE 9 PAGE。

18、,第四章,向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,-2-,4.1 向量组及其线性组合,三维空间的向量:有向线段。,建立标准直角坐标系后，,它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。,-3-,在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。,由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。