1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第二节 行列式的定义,行列式的定义,用定义计算特殊类型行列式,一. 行列式的定义,n个竖行的方形表格，两边再用竖线围起，就得到n,阶行列式的记号：,元素,第一个下标表示它,所在的行数，,在第1行,在第n列,第二个下标表示它所在的列数，,第2行第1列的元素,就是,第i行第j列的元素。,左上到右下的对角线称为主对角线，,主对角线,副对角线,右上到左下的对,角线有时称为副对角线。,n阶行列式是由代数和组成的一个数，,其定义如下：,表示对所有n!个排列求和。,上述定义说明n阶行列式是含有n！项的代数和，其,中每一项是不同行不同列的n个元素的乘积。,定义
2、：,n阶行列式为,列标的每个排列对应一项，列标可以形成n!个排列，所以这里有n!项相加。,列标排列,当把这个n元素按行标从小到大的顺序排列时，其,项冠以“+”号，,若为奇数，这项冠以“”号。,根据行列式的定义，,一、二、三阶行列式可以计算,如下：,一阶行列式：,例如：,注意：行列式的符号和以前学过的绝对值符号形,式上是没有区别的，我们可以结合上下文来判断。,二阶行列式：,列标排列12,列标排列21,二阶行列式的列标1，2可以形成两个排列12和21，,所以,二阶行列式是两项的代数和，,排列的奇偶性决定。,这两项前面的符号由列标,三阶行列式：,三阶行列式的列标1、2、3可以形成,6个排列,所以三阶
3、行列式是6项的代数和：,每一项前面的符号由列标排列的奇偶性决定。,三阶行列式的计算也可以使用下述方法：,利用这个图形，很容易写出三阶行列式的6项代数和。,注意：这个图形对四阶以上的行列式不适用。,例1、,计算以下两个行列式。,（1）,（2）,解：,（1）,（2）,四阶行列式有4！=24项，要写出并计算这24个乘积,的代数和是很麻烦的。,对于三阶以上的高阶行列式，,一,般要利用下节要介绍的行列式的性质进行计算。,思考,二. 用定义计算特殊类型的行列式,例2、利用行列式的定义计算下列行列式,1.,这个行列式的特点是，对角线上方的元素全为0，以后称这种行列式为下三角行列式。,2.,这个行列式的特点是
4、，对角线下方的元素全为0，以后称这种行列式为上三角行列式。,上、下三角行列式统称三角行列式。,主对角线上元素的乘积。,它们的值等于,3.,这个行列式除对角线上的元素之外全为0，称为对角行列式，它是三角行列式的特殊情况。,解：,以上说明三角行列式及对角行列式的值都等于主,对角线上元素的乘积。,4.,副对角线上方的元素全为0。,例3、,设,，其中各元素,都,是可导函数。,试证,下面的定理是对行列式定义的另一种说法。,定理：,对于上述行列式定义中的任意一项,变,为乘积,，则有,不是按行标从小到大的自然顺序排列，而是任意排列,成,本 节 完,证明：,根据行列式定义，有,证明：,因,，故只需证明,则行标排列1 2n经过k次交换 ,，,成为排列,，列,成为排列,，根据,第一节性质1，,若k为奇数，,则行标排列与列标排列都同,时改变奇偶性，,因而,若k为奇数，,则行标排列与列标排列的奇偶性都不变，,故,不论k是哪一种情况，都有,因为,解：,根据定义，行列式是由不同行不同列元素的乘,积的代数和，,因为含0元素的项必为0，只要考察不含0,元素的项。,设这种项为：,一行，,，所以,，依此类,因此，,。,即下三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积。,解：,所以：,解：,有,因为,所以,
