1、分析 用消元法解下列方程组的过程 引例 求解线性方程组 3 1矩阵的初等变换 本章先讨论矩阵的初等变换 建立矩阵的秩的概念 并提出求秩的有效方法 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件 并介绍用初等变换解线性方程组的方法 内容丰富 有一定难度 一 消元法解线性方程组 解 用 回代 的方法求出解 于是得解 其中x3可以任意取值 或令x3 c 方程组的解可记作 1 上述解方程组的方法称为消元法 2 始终把方程组看作一个整体变形 用到如下三种变换 2 其中c为任意常数 或 归纳以上过程 3 一个方程加上另一个方程的k倍 2 以不等于0的数k乘
2、某个方程 1 交换方程次序 由于三种变换都是可逆的 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的 故这三种变换是同解变换 3 上述三种变换都是可逆的 因为在上述变换过程中 未知量并未参与本质性运算 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 只因某未知量前的系数化为0 而不显含该未知量 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B 方程组 1 的增广矩阵 的变换 二 矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 1 对调两行 对调i j两行 记作ri rj 2 以非零数k乘以某一行的所有元素 第i行乘k 记作ri k 3 把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去 第j行的k倍加到第i行
3、上去 记作ri k rj 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同 ri rj的逆变换为rj ri ri k的逆变换为ri 1 k 或ri k ri k rj的逆变换为ri k rj 或ri k rj 定义3 如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B 则称矩阵A与矩阵B等价 记作A B 具有以下三条性质的关系 称为等价关系 1 自反性 A A 2 对称性 若A B 则B A 3 传递性 若A B 且B C 则A C 矩阵的等价 满足等价关系的定义 两个同解线性方程组具有等价关系性质 因
4、此也称两个同解线性方程组为等价的 用矩阵的初等行变换解方程组 1 B6对应的方程组为 或令x3 c c为任意常数 方程组的解可记作 矩阵B5和B6都称为行阶梯形矩阵 特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 特点 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线上的第一个元素为非零元 即非零行的第一个元素为非零元 注意 行最简形矩阵是由矩阵 方程组 唯一确定的 行阶梯形矩阵的行数也是由矩阵 方程组 唯一确定的 行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵 即非零行的第一个非零元为1 且这些非零元所在的列的其它元素都为零 行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形 B6 对任何矩阵Am n 总可以经过
5、有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 矩阵F称为矩阵B的标准形 特点 标准形F的左上角是一个单位矩阵 其余元素全为零 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵 任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形 标准形由m n r三个数唯一确定 其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数 1 初等行 列 变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 3 矩阵等价具有的性质 自反性 对称性 传递性 三 小结 1 ri rj ci cj 2 ri k ci k 3 ri k rj ci k cj 思考题 已知四元齐次方程组 元齐次方程组 2 的通解为 及另一四 问 方程组 1 与 2 是否有非零公共解 若有 请求出来 否则 请说明理由 或表示为 思考题解答 将 2 的通解代入 1 得 故方程组 1 与 2 有非零公共解 1 与 2 的所有非零公共解为
