1、线性代数试题（二）一、 填空（每题 2 分，共 20 分） 1. 设 D 为一个四阶行列式，第三行元素分别为-1，2，0，1，其余子式分别为5，3，-7 ，4，则 D= 。2. 2. k 时，齐次线性方程组 0321kx仅有零解。 3. 3. 如果 D= 32311a=1,则 D1= 323214aa= 。4. 4. n 阶矩阵 A= na2可逆的充要条件是 ，且其逆矩阵 A-1= 。5. 5. 43211= ， 43214= 。6. 6. 设向量组 21,线性无关，向量组 321,线性相关，则向量 3一定可由 。7. 7. 设 A 三阶矩阵，若 A=3，则 *= ,又若 r(A)=1,则 r
2、(A*)= 。 8. 8. n 阶可逆矩阵 A 的行向量组为 n,21，则 r( n,21)= 。9. 9. 若 n 阶矩阵 A 满足 A2=0,则 A 的特征值为 。10. 10. 若 Q 为正交矩阵，则 Q-1= 。二、单项选择题（10 分，每题 2 分）1.设 A 为 n 阶矩阵，且 ，则行列式 的值为（ ） 。(a) 2 (b) 4 (c) 2 1n (d) 2 n2. A,B,C 为 n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）(a) AB=BA (b) AB=0,则 A=0 或 B=0 (c) （ A+B） （ A-B） =A2-B2 d) AC=BC 且 C 可逆,则 A=B3. 若 n
3、 阶矩阵 A 满足 A2-A-3I=0,，则 A （ ）(a) (a) 不可逆(b) (b) 可逆，且 A-1=A-I (c) (c) 可逆，且 A-1= 31(A-I)(d) (d) 以上结论都不对4. 设矩阵 A=(aij) nm，AX=0 仅有零解的充要条件是（ ）(a) (a) A 的行向量组线性无关(b) (b) A 的行向量组线性相关(c) (c) A 的列向量组线性无关(d) (d) A 的列向量组线性相关5. 下述命题正确的是（ ）(a) (a) 一个特征值只对应一个特征向量(b) (b) 一个特征向量只对应一个特征值(c) (c) 一个 n 阶矩阵必有 n 个不同的特征值(d
4、) (d) 一个 n 阶矩阵必有 n 个线性无关的特征向量三、判断题（正确的划，错误的划 ，共 10 分，每题 2 分）11如果 A 与 B 相似，则 BIAI。 （ ）22A,B 为对称矩阵，则 A+B 仍为对称矩阵。 （ ）33 s,21线性相关，则其中的任意一个部分组都线性相关。 （ ）44n 阶方阵 A 与对角阵相似的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 （ ）55Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。 （ ）四、计算题1.计算 n 阶行列式（10 分）baabaa 2设矩阵 A,B 满足关系式 AB=A+2B,其中 A= 4013,求矩阵 B。(10 分)3判断向量组
5、 ),312,(1),210(26,12),3(是否线性相关，若相关，求一组相关系数。(10 分)4用基础解系表示下列齐次线性方程组的全部解。 （10 分）024321xx5. 若实对称矩阵 A= 1，求正交阵 Q,使 Q-1AQ 为对角矩阵。 （10 分）五、证明题 (从下列四题中任选两道。)（10 分）1 1 设 为方阵 A 的特征值，则 2为 A2-A 的特征值。 （5 分）22设 为 n 维列向量，A 为 n 阶正交矩阵，证明： 。 （5 分）33设 21,分别是 A 的不同特征值 21,的特征向量，试证明：不是 A 的特征向量。 （5 分）44A,B 是同阶对称矩阵，证明：AB 为对
6、称矩阵的充要条件是 A 与 B可交换。 （5 分）线性代数试题（二）答案一 (1). 15 (2). 1，-2 (3). -12 (4) 021na. naa112(5). 30 1628493(6). 线 性 表 出21,(7) 9, 0 (8) n (9) 0 (10) TQ 二(1)C (2)A (3)C (4)C (5)B三(1). (2) (3) (4). (5) 四(1) 1)()1(nabnb (2) 2013B(3) 线性相关， 243(4) TTcc)()0(1 (5) 36031263Q, 031AQ五略线性代数试题（07）一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1设
7、,ABC均为 n阶方阵， ,ABCA，则 B (A) ； (B) ； (C) ； (D) CA2设12133a，21223133aa，10P，210P，则必有 (A) 12AB； (B) 21APB； (C) 12PAB； (D) P3设向量组 12345,满足：（1） 1231234,R；（2） 1235,R。则向量组 12345,的秩为 (A)3； (B)4； (C)5； (D)前三个都不对4设 A是 5矩阵且 ()RA，则下列说法错误的是 (A)齐次线性方程组 0X有无穷多解；(B)非齐次线性方程组 b的增广矩阵 A的行所成的向量组线性无关；(C)非齐次线性方程组 一定有无穷多解；(D)
8、非齐次线性方程组 A可能无解5设 A是 n阶实对称矩阵，则下列说法正确的是 (A) 一定有 个线性无关的特征向量； (B) A的特征值一定为正；(C) 的任意两个不同的特征向量一定是正交的； (D) 一定有 n个不同的特征值二、填空题（每小题 4 分，共计 20 分）1已知102354D，则 41243AA . 2若向量组1231104 , ,8a线性相关，则 a_3设 A是 n阶方阵，若有非零矩阵 B使 0A，则 _4设 是 阶矩阵且 0A， 3是 的一个特征值，则 13A必有一个特征值是_5若 n阶矩阵 的特征值为 ,12,n ，矩阵 B与 相似，则 BE 三、计算题（共计 39 分）1
9、（13 分）设 X满足 2AB，其中3014A，1203B求2 （13 分）设非齐次线性方程组 1232 4314321axxb问： a、 b取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解3 （13 分）设二次型 3231212321 xbaxxf 通过正交变换xPy化成标准形 y，求 b、的值并求出该正交变换四、 （共计 26 分）1 （6 分）设 A为 n阶矩阵，且满足 TAE， 1问：矩阵 AE是否可逆？证明你的结论2 （6 分）设 是 阶可逆矩阵 )2(n， 是 的伴随矩阵。求：)1( 1； (3 （6 分）设三阶方阵 A的特征值为 123,，对应的特征向量分别
10、为 10p，21，30p。 又设向量1，求 nA4 （4 分）设 n阶矩阵 A的每行元素之和为 ，求矩阵 的一个特征值和特征向量5 （4 分）设 是 阶正定矩阵， B是 n阶反对称矩阵，即 TB，问：2AB是否是正定矩阵？证明你的结论 线性代数试题大题 一 二 三 四 五 六 七 八得分一. 填空题（每小题 3 分，共 30 分）1. 已知 3 阶方阵 A的行列式 0|a，则行列式 |2|A .2. 已知 3 阶方阵 ),(321B，其中 321,为 B的列向量组，若行列式 |，则行列式 |,| .3. 已知 n阶方阵 A，满足 02E， 为单位阵，则 1A .4设矩阵 103， 为 A的伴随
11、阵，则 1)( _ .5设 231tA，若 3 阶非零方阵 B满足 0，则 t _ .6. 设向量组： T1)0,(， T2)4,(， T3),1(线性相关，则 t _.7. 设 21,是 n维向量，令 121， 21， 21，则向量组 3,的线性相关性是 .8. 设 A为 4的矩阵且秩为 2，又 3 维向量 21,是方程组 bAx的两个不等的解，则对应的齐次方程组 0Ax的通解为 .9. 设 3 阶可逆方阵 有特征值 2，则方阵 )(必有一个特征值为 .10. 若二次型 212321321 )(),( xxxf 为正定二次型，则的取值范围是 _ _ .二. (8 分 )已知方阵yxxyA32
12、，试求行列式 |A.三. (12 分) 设方阵 201,012B，又已知 BX，求XA ,1以及 5.四. (12 分) 讨论 为何值时，方程组 321)(0)(xx(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.五. (10 分) 设向量组：T1),(， T2),43(， T3)0,4(， T41,(，试求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.六. (12 分) 用正交变换化二次型 32321321),( xxxf 为标准型，并求出所用的正交变换及 的标准型. 七. (8 分) 设方阵 A为 n阶正交阵且 0|A， E为 n阶单位阵，试求
13、行列式.|EA八. (8 分) 设两向量组： 321,)I(， 4321,)I(的秩为 3)I(r，证明： 4可由向量组 ,线性表出.全国 2009 年 7 月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T表示矩阵 A 的转置矩阵；A *表示 A 的伴随矩阵；R（A ）表示矩阵 A 的秩；| A|表示 A 的行列式；E 表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设 A，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（
14、）A （A+B ） T=AT+BT B|AB |=|A|B|CA（B+C）= BA+CA D （AB） T=BTAT2已知 =3，那么 =（ ）32311a323121aaA-24 B-12C-6 D123若矩阵 A 可逆，则下列等式成立的是（ ）AA= A* B|A |=0|1C （A 2） -1=（A -1） 2 D （3A ） -1=3A-14若 A= ，B= ，C = ，则下列矩阵运算的结果为 32 的513134210矩阵的是（ ）AABC BAC TBTCCBA DC TBTAT5设有向量组 A： ，其中 1， 2， 3 线性无关，则（ ）4321,A 1， 3 线性无关 B 1，
15、 2， 3， 4 线性无关 C 1， 2， 3， 4 线性相关 D 2， 3， 4 线性无关6若四阶方阵的秩为 3，则（ ）AA 为可逆阵 B齐次方程组 Ax=0 有非零解C齐次方程组 Ax=0 只有零解 D非齐次方程组 Ax=b 必有解7已知方阵 A 与对角阵 B= 相似，则 A2=（ ）20A-64E B-EC4E D64E8下列矩阵是正交矩阵的是（ ）A B10 102C Dcosini 36102329二次型 f=xTAx(A 为实对称阵) 正定的充要条件是（ ）AA 可逆 B|A |0CA 的特征值之和大于 0 DA 的特征值全部大于 010设矩阵 A= 正定，则（ ）42kAk0
16、Bk0Ck 1 Dk1二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设 A=（1，3，-1 ） ，B =（2，1） ，则 ATB=_.12若 =0，则 k=_.20k13若 adbc，A= ，则 A-1=_.dcba14已知 A2-2A-8E=0，则（A +E） -1=_.15向量组 1=（1，1，0，2） ， 2=（1，0，1，0） ， 3=（0，1，-1，2）的秩为_.16两个向量 =（a,1,-1）和 =（b,-2,2）线性相关的充要条件是_.17方程组 的基础解系为_.0321x18向量 =（3，2，t,1） =(
17、t,-1,2,1)正交，则 t=_.19若矩阵 A= 与矩阵 B= 相似，则 x=_.401xab320二次型 f(x1,x2,x3)= 对应的对称矩阵是_.312321三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算三阶行列式 .14222已知 A= ，B= ，C = ，D= ，矩阵 X 满足方程013212021102AX+BX=D-C，求 X.23设向量组为 1=（2，0，-1 ，3） 2=（3，-2，1，-1） 3=（-5，6，-5，9） 4=（4，-4，3，-5）求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组.24求 取何值时，齐次方程组0543)(21xx有非零解？并
18、在有非零解时求出方程组的结构式通解.25设矩阵 A= ，求矩阵 A 的全部特征值和特征向量 .4603526用 正 交 变 换 化 二 次 型 f(x1,x2,x3)= 为 标 准 形 ， 并 求 所 用 的 正 交 矩 阵 P.3221x四、证明题（本大题共 1 小题，6 分）27若 n 阶方阵 A 的各列元素之和均为 2，证明 n 维向量 x=(1,1,1)T 为 AT 的特征向量，并且相应的特征值为 2.线性代数试题一、填空题1.行列式 的值为 410322.设 a b 为实数，则当 a= 且 b= 时， =010ab3. 中， 的一次项系数是 10)(xxf4.已知矩阵 A32 B23
19、 C33 ，则 为 矩阵BA5. 为 n 阶方阵，且 ，则 = dK二、选择题1.下列各式中 的值为 0行列式 D 中有两列对应元素之和为 0 行列式 D 中对角线上元素全为 0 行列式 D 中有两行含有相同的公因子 D 中有一行与另一行元素对应成比例2.设 ，则下列 运算有意义23AB3CAC BC A+B AB-BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵 B，等于对 B 施行相应的 变换行变换 列变换 既不是行变换也不是列变换4. 的秩为 10015 4 3 25.向量组 线性无关的充要条件是 r2向量组中不含 0 向量 向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组中任意 r-1 个向量无关 向量组中存在一
20、个向量，它不能由其余向量表出6.向量组 可由 线性表出，且 线性无关，t2s2t21则 s 与 t 的关系为 s=t st st st7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 有解 设解 只有 0 解 有非 0 解8.当 K= 时， （2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K）的内积为 2-1 1 239.已知 A2=A，则 A 的特征值是 =0 =1 =0 或=1 =0 和 =110. 的值为 11ba1 0 a -a 2b三、计算题 1.求行列式 的值3102012.求矩阵 的逆矩阵4A3.求解方程组089543121xx4.求 的特征值314A5.解方程组0342241xx
