1、37第 2 章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.(欧拉)EurleL(1707-1783,瑞士数学家)在 1908 年讨论由复数列组成的空间 时引入记号SchmidtE. |:)(12iiz来表示 , 后来就称为 的范数.赋范空间的公理出现在 在 1918 |z21)(iiz|z RieszF.年关于 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920 到 1922 年间由 baC（18921945） 、 （18791934） 、 （18841943）和 BnchS. Hahn. HelyE.（1
2、8941964）给出的,其中以 的工作最具影响. WierNBachS.2.1 赋范空间的基本概念线性空间是 在 1888 年出版的书 Geometrical Calculus 中引进的.PeanoGiusp在 1922 年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 BanchS.空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义 2.1.1 设 是实数域 或复数域 , 是数域 上的线性空间 ,若 是 到 KRCXK|XR的映射,且满足下列条件： (1) 且 当且仅当 ; 0|x|0x(2) ,对任意 和任意 ;|38(3)
3、 ,对任意 . | yxyXyx,则称 为 上的范数,而 称为 的范数,这时称 为赋范线性空间.|X| |),(明显地,若 为赋范线性空间,则对任意 ,定义 时,|)( yx|),(yxd为度量空间,但对一般的度量空间 ,当 为线性空间时,若定义 ,)(d)(dX)0(|d则 不一定就是 上的范数.|xX例 2.1.1 设 数列全体,则明显地, 为线性空间,对任意的 , 定义sssyx,1|)|(!),(iiixyyxd则 1|)(!|)0,(iixxd但 )0,(|)|(!),(1dxixi取 , ,则)0,1(0x2312)0,(xd而 41)0,(|xd因此 ),(|),(00所以, 不
4、是 上的范数.)0,(xds问题 2.1.1 对于线性空间 上的度量 , 它满足什么条件时, 才能成为范Xd)0,(|xd数？ 定理 2.1.2 设 是线性空间, 是 上的度量,在 上规定 ,则 成为赋X)(|X范线性空间的条件是：(1) ,对任意 ；)0(),(yxdyx,39(2) ,对任意 和任意 . )0(|),(xdxdXxK下面举出赋范线性空间的一些例子. 例 2.1.3 对于 , 是 的范数, 即|,|)(11 iiii xKxl 1|iix1l是赋范线性空间. |),(1l例 2.1.4 对于 , 在范数p1 |,|)(1ipiiipxxl pii1)|(|下是赋范线性空间.
5、例 2.1.5 在范数 下是赋范线性空间. |sup,|)(iii xKxl |sup|ix例 2.1.6 在范数 下是赋范线性空间. 0lm|0 iiiic |i例 2.1.7 ,在范数 下是赋范,)(|, 上 的 连 续 函 数为 batxbaC |)(sup|tx线性空间. 由于赋范线性空间在度量 下是度量空间,因此,在度量所引入的序列|),(yd收敛,开( 闭) 集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设 是赋范空间 , 若 依度量 收敛XXxn0,nx|),(yxd于 , 即 ,则称 依范数 收敛于 ,记为0x0|limxn |0|xn 在赋范线性空间中,仍
6、然用 记以 为球心, 为半径|),(00 rXrxU0xr的开球,用 记以 为球心, 为半径的闭球. 为了方便,用|),(0XrxBx记以 0 为球心,1 为半径的闭单位球面. 用 记|SX 1|xXB以 0 为球心,1 为半径的闭单位球. 用 记以 0 为球心,1 为半径的开单1|xXU位球.40例 2.1.8 在 空间 中,对于 可以定义几种不同的范数:Euclid2R),(21x|21212)|(|xx|,ma|3则对 , 闭球 在不同范数下的形状为：1)0,(rx),(0xB1|1xB1|22xB1|33xB41思考题 2.1.1 设 是赋范线性空间,问开球 的闭包是否一定是闭|)(X
7、),(0rxU?),(0rxB思考题 2.1.2 设 是线性空间,问闭球 内部是否一定是开球 ?|)( ),(0rxB),(0rx在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的. 定理 2.1.8 若 是赋范空间 ,则 . |),(X00,yxnn0yxn证明 由 可知定理成立. | 0yxn 定理 2.1.9 若 是赋范空间, ,则 . |)( 0xn|0xn证明 由 和 ,可知| 00xn |n,因此 .|0xn|xn定义 2.1.3 设 是赋范线性空间,若 时,|)(X ),(0|,nmxXnmn必有 ,使 , 则称 为完备的赋范线性空间.x0|xn |),(X根据 M. 的建议,完备1928,
8、 ParisVilGautherbstriEpaceFreht的赋范线性空间称为 空间.B不难证明, 都是 空间.llRpon),1(, Bnc在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义 2.1.4 设 是赋范线性空间,若序列 收敛于某|)(X 21nnxxS个 时,则称级数 收敛,记为 .x1nx1nx定义 2.1.5 设 是赋范线性空间,若数列 收敛时, |)( |21nxx42则称级数 绝对收敛.1nx在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理 2.1.10 设 是赋范线性空间,则 是
9、空间的充要条件为|)(X|),(XBanch的每一绝对收敛级数都收敛 . X证明 设 是 空间,且 绝对收敛,则由 可知,|),(Banch1nx1|nx对于 ,有nnxxS21,)(0| 11 xxpnnpnnp 因此 是 的 列,由 的完备性可知,存在 使 ,即 nXCauchy|)(XXxSnlimxn1反之,设 的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于 的 列 ,对 ,有 XXCauchynxk21, 使得 121kn),21(|1 kxnkk因而 .1|1nnkkx由假设可知 收敛于某个 ,即 收敛 ,所以 必收敛于1)(nnkk Xxknxn,从而 完备.x|),(X事实上,在实数空间
10、中,正是由于 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.R定义 2.1.6 设 是赋范线性空间,若 是 的线性子空间,则称|)(XXM为 的子空间,若 还是 的闭集, 则称 为 的|),(M|)(M|)( |)(|),(43闭子空间. 明显地,若 是 空间, 为 的闭子空间,则 是|),(XBanchM|)(X|),(M空间,反之亦然.Banch定理 2.1.11 设 是 空间, 为 的子空间,则 是|),(c|)( |),(空间当且仅当 是 的闭集. cX证明 设 是 空间,当 ,且 时,则 为 的 列,|),(BanchMxnxnnMCauchy因而 收敛于 上的一点,故 ,即 ,所以 是
11、闭集. nxM反之,设 为 列,则 为 的 列,由于 是nCucynx|)(Xauchy|),(X空间,因此 是收敛列, 即存在 使 ,又由于 是 的闭子Bachxxn |空间,因此 ,即 在 中收敛于 ,所以 是 空间.nx|),(MBc定义 2.1.7 设 是线性空间, 为 上的一个实值函数,且满足：XpX（1） ；0)(p（2） ,对任意 ；)(yxyyx,（3） ,对任意 ,任意 .|)(XK则称 为 上的半范数.pX明显地, 上的范数一定是半范数,但对 上的半范数 ,由于 时不一定有 ,p0)(x0x因此半范数不一定是范数.例 2.1.9 在 中,定义 ,易证 是 中的半范数,但对于
12、l|)(1xp)(1pl,都有 ,因此 不是 的范数 .),0(2 nxx0有什么办法能使 中的问题转化为赋范空间中来解决呢？ (X定义 2.1.8 设 是线性空间, 是 的线性子空间,若 ,则称 与 关于MXMx211x2等价,记为M)(21x易知,等价具有下面的三个性质（1） （反射性） ；44（2） 推出 （对称性） ； yxx（3） , 推出 （传递性）.zz明显地,若 是线性空间 的线性子空间,记 , 则 的全体MX),(|Myxyxx在加法 和数乘 下是线性空间,称为 对模 的商空间,记为 .yxxXX/在商空间 中,对 , 即 是 的零元,而对 的每一元素 ,/M0/x都是唯一确
13、定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.x例 2.1.10 对于 ,取 ,|sup|)(iixl |sup,0|)(1ii xx则 M 为 的子空间 ,对 ,当 时有 ,即 ,llyx/yxy这时 R/当 为赋范线性空间, 为 的闭线性子空间时,在 商空间中还可以定|)(XMXMX/义范数,使 成为赋范线性空间./定理 2.1.14 设 是赋范线性空间 , 为 的闭线性子空间,在 上定义范|),( /数 ,则 是赋范线性空间.|inf| xyx|),/X利用上面的技巧,不难证明,当 为 上的一个半范数时,取(xp,|inf|,0)|xyM则 是一个赋范线性空间,且对任意 有, .|)/(XXx
14、)(|p当 是空备赋范线性空间, 为 的闭子空间的, 还具有完备性.XM/定理 2.1.15 设 是 空间, 为 的闭子空间,则 是 空间.BanchBanch2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是 上的序列依X X45范数收敛的不同引起的.定义 2.2.1 设 是线性空间, 和| 是 上的两个不同范数 ,若对 中的序列X12|XX,当 时,必有 ,则称范数 比范数 强,亦称nx0|1xn 0|xn 1|2|比 弱.2|若对 中的序列 , 当且仅当 则称范
15、数 与Xnx|10 0|2xn 1|等价. 2|定理 2.2.1 设 和 是线性空间 上的两个不同范数,则范数 比 强当且1|2|X1|2|仅当存在常数 ,使得对任意 都有 . 0Cx12|xC证明 若存在 ,使 ,则明显地 时,有12|0|n,因而 比 强.| 12xxnn |2|反过来,若范数 比 强,则必有 ,使 .|2|0C1|x若不然,则对任意自然数 ,存在 ,使 . Xxn2|nnx令 ,则2|nxy nxyn1|21故 ,因而 ,但这与 矛盾,所以必存在0|1ny0|2ny |0| 22nnx,使 ,对任意 成立. C12|xX推论 2.2.2 设 与 是线性空间 上的两个不同范
16、数,则范数 与 等价当1|2| 1|2|且仅当存在常数 ,使得对任意 ,有0,Cx121|C推论 2.2.3 设 与 是线性空间 上的两个等价范数,则 是 空1|2|X)|,(1XBanch46间当且仅当 是 空间. )|,(2XBanch思考题 2.2.1 若 与 是线性空间 上的两个不同范数,且 和1|2|X)|,(1X都是 空间,是否就一定有 与 等价呢？)|,(2anch1|2|定义 2.2.2 设 是 维线性空间, 是 上的范数,则X|称 为 维赋范线性空间.|),(n有限维赋范线性空间是 在 1896 年引入的,因Minkowsi此有限维赋范线性空间也称为 空间. 若 为 维线性空
17、间, 为 的一组|),(Xnne,21 X线性无关组,则称 为 的 基,此时对任意 , 都可以唯一ne21 |)(HamlXx地表示成 nix1定理 2.2.4 设 是 维线性空间 是 的 基,则存在常数|),(Xnne,21 Hamel及 使得1C02 2112211 )|(|)|(niinii CxC对任意 都成立. niex1证明 对于任意 ,定义函数niK)( |)(1nief则对任意 , ,有 ni)(ni47211212111)|()|(| |)(| niiniiiiniiiiniiiiniMeeff 这里 ,因此 是 到 的连续函数.211)|(nieMfnKR由于 的单位球面
18、是紧集,因此 在 上达到上nK1)|(|)(21niiiSfS下确界,即存在 ,使得 Sii,()0()010|)nfCf 2|(sup)(因此对任 ,有niK)(SniiK21)|(|故 21)|(CfCnK即 21121211 )|(|)|( niinnii e下面证明 ,容易知道 的证法是类似的.01C02假设 ,则有 ,故1|)(1)(0nief4801)(nie由 是 的 基可知, ,从而 ,但这与 矛盾. ieXHamel)0(i 0S0定理 2.2.5 设 是有限维线性空间 , 与 是 上的两个范数,则存在常数1|2|X, 使得01C2 121|xCx定理 2.2.6 有限维的赋
19、范线性空间一定是 空间. Banch证明 若 为 维赋范线性空间 的 列,则对于 的 基mxn|),(XuyXHamel有 ,由ne,21 iie1)(2112211 )|(|)|(niinii CxC可知 亦为 列,故存在 ,使得 ,因而有 ,使得)(miauchyRiimi)( )(i0)|(211)(niimi令 ,则 ,因此 是收敛序列,所以 是完备的.iniex10|xmmxX在 中, 是列紧的当且仅当 是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面nRM就来讨论有限维赋范线性空间 中紧集与有界闭集的关系.|)(X定理 2.2.7 设 是有限维的赋范线性空间,则 是紧的当且仅当 是有
20、|)( XMM界闭集. 证明 设 为 的 基,则对任意 ,有ne,21 |),(XHamelxinie1定义 到 的算子 :nKXTinieT1)(49则存在 ,使得0,21C2112211 )|(|)(|)|( niiinii CT从而 是 到 的连续算子,且是一一对应的.TnKX由 可知 是 到 的连续算子, 因此 是 到 的|)(|)|(21Cii 1XnKTnKX拓扑同构.所以 的紧集当且仅当 为 的紧集,从而 是 的紧集当且仅当M)(1MTn是有界闭集.问题 2.2.1 若赋范线性空间 的每个有界闭集都是紧集 ,则 是否一定为有限维|),(XX的赋范线性空间？为了回答上面的问题,先来
21、讨论 引理,这是 在 1918 年得到的一个很漂亮RieszRieszF.的结果.引理 2.2.8 （ 引理）设 是赋范线性空间 的闭真子空间,则对任意 ieszM|)(X,存在 ,使得 101,xXx对任意 成立. Mx证明 由于 是 的闭真子空间,因此 ,故存在 ,令MXMXy0,|inf|),(00xyyd则 . 0d对任意 ,由 的定义可知,存在 ,使得1dMx0dy|令 ,则 ,且对任意 ,有|0xy 1|x|)|(| 0000 xyxyy 50由 , 和 是线性子空间,可知Mx0 Mxyx|00因此 d|)|(| 00故 xyx| 0由 引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.
22、 Riesz定理 2.2.9 赋范线性空间 是有限维的当且仅当 的闭单位球|),(XX是紧的. 1|xBX证明 明显地,只须证明 是紧的时候, 一定是有限维的 .XB反证法,假设 是紧的,但 不是有限维赋范线性空间 ,对于任意固定的 ,1Xx,令 ,则 是一维闭真子空间,取 ,由 引理1|x|1KxspanM1M2Riesz可知,存在 且 对任意 成立,从而 .|,22X2|21x|1x同样地,令 ,则 是二维闭真空子空间,因而存在 ,212xspan |,33X使 对任意 成立,从而 且 .1|3x2M21|3x21|3x利用归纳法,可得一个序列 ,对任意 ,有XnBxnm21|x因而 不存
23、在任何收敛子序列,但这与 是紧集矛盾,由反证法原理可知 是有限维赋nxX X范线性空间.推论 2.2.10 赋范线性空间 是有限维当且仅当 的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间 的紧集的刻画,就比较困难.在 中,容易看出X10C51是 的有界闭集,但不是紧集.为了讨论 子集的紧性,1,0|)(|CxffA 10C需要等度连续的概念,它是由 Ascoli 和 Arzel 同时引入的.定义 2.2.3 设 ,若对任意的 ,都存在 ,使得对任意的 ,任意的10A00Af, 时,一定有 ,则称 是等度连续的 .10,yx|yx|)(|yfxAAscoli 给出了 是紧的充分条件, Arzel
24、在 1895 年给出了 是紧的10C 1,0C必要条件,并给出了清楚的表达.定理 2.2.11 (Arzel-Ascoli 定理) 设 ,则是紧的当且仅当 是有界闭集, 10CAA且 是等度连续的. A2.3 Schauder 基与可分性一个 空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的Banch方法是引入基的概念, 基是Sauder FunistegrThoiZurSchadeJ.引入的.6547.)192(6, ptZisfMtmiektiolru定义 2.3.1 空间 中的序列 称为 的 基,若存在对于任Bnch|),(XnxXSchauder意 ,都存在唯一数列
25、,使得 XxKanx1容易看到,有限维赋范线性空间一定具有 基. Schauder例 2.3.1 在 中令 ,则 为 的 基,明显地,在1l )0,(nen1lSchauder中, 都是 基. )0(,0plcr在 1928 年还在 中构造一组基,因而 也具有 基.ShauderJ. 1C,0Ccer具有 基的 空间具有许多较好的性质,它与 空间的可分性有cBanchBanh着密切联系.52定义 2.3.2 是赋范线性空间,若存在可数集 ,使得 ,即可数集在|)(XXM中稠密 ,则称 是可分的.若 可分,则存在可数集 ,使得对任意 及任意 ,都有某个|)( Xxnx0,满足 . nx |xn例
26、 2.3.2 由于有理数集 是可数集,且 ,因此 是可分的.类似地, 也是可分的赋QRnR范空间. 例 2.3.3 对于 都是可分的,因为取pl1 时 ，使 得存 在 NixMi ,|)(,则 是可数集,并且 .实际上,对任意,0都 是 有 理 数时并 且 ii xNix pl,由 可知,对任意 ,存在 ,使得 , 取有理数plpii11)|( 0N2|1piix,使 ,则 ,且Nq,21 2|1piix Mqx)0,(21,因此 ,所以 是可分的. pNiiipiix11)|( pll例 2.3.4 由 Weierstrass 逼近定理可知对任意 ,必有多项式 ,取baCx0xpn为 上有理
27、系数的多项式全体,则 是可数集,且 ,因而 是可分MbaM,baC的赋范线性空间.定理 2.3.5 若 赋范空间有 基,则 一定可分的.|),(XSchauderX证明 为了简明些,这里只证明 为实的情形.|),(X设 为 的 基,则任意 有 ,这里 .ieSchauderx1iieaRi令 ,则 是可数集,且对任意 及任意 ,存在,|1QqNnMiiiMXx0,使得 ,因此 ,所以 为可分的赋范空间.x xX53对于复赋范空间 ,可令 ,证明是类似的. |)(X,|)(1 QpqNneipqMini 问题 2.3.1 是否每个赋范空间都具有 基？ Schaudr例 2.3.6 赋范空间 没有
28、 基.ler由于 不可分,因而一定没有 基.事实上,假设 可分,则存在l l,使得 .xmi)(mxX令 )0(i. 1| ；x|,)(i)( 时当 时当 ii，则 ,即 ,并且21|sup)0(ixlxi)(0|sup| )0()()0(10 mimiimxx所以 不存在任何收敛子列收敛于 ,故 ,从而 ,但这与假设mx0xX矛盾,因此 不可分.ll另外,还再进一考虑下面的问题：问题 2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有 基？Schauder上面问题自从 S. Banach 在 1932 年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分 Banach 空间,如 等都具有
29、Schauder 基，因此大家都以为问题的答案是10lc肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的 . 在 年举出EnfloP1972了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有 基 A counterexample to the Schauderapproximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.2.4 线性连续泛函与 定理BanchH1929 年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线BanchS.性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共
30、轭空间是完54备的赋范线性空间. 还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是BanchS.和 各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即BanchSH.定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.泛函这名称属于 ,他是由于变分问题上的原因研究泛函. admr定义 2.4.1 设 是赋范线性空间 , 为 到 的映射,且对于任意 及|),(XfXKXyx,有K, )()(yfxfyxf则称 为 的线性泛函.f例 2.4.1 在 上,若定义 ,则 为 上的线性泛函.l1)(xffl由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.定理 2.4.2 设 是赋
31、范线性空间 上的线性泛函,且 在某一点 上连续,f |)(XfXx0则 在 上每一点都连续 . fX证明 对于任意 ,若 ,则 xxn0x由 在 点的连续性,因此f0x )()(00xfxfn所以 ,即 在 点连续.)(xffnf这个定理说明,要验证泛函 的连续性,只须验证 在 上某一点（例如零点）的连续ffX性就行了.问题 2.4.1 是否存在一个赋范线性空间 , 上任意线性泛函都连续？例 2.4.3 上任意线性泛函都是连续的.nR55事实上令 ,则任意 ,有 ,设)0,1,0(ie nRxniiex1,则 ,且 对任意 都成立. ,mnxRniimex1)( 0)(i因此 ,所以 在 点连
32、续,从而 在)()()()11( ffff niinii f0f上任意点都连续. nR定义 2.4.2 若 上的线性泛函把 的任意有界集都映为 的有界集,则称 为有界线XXKf性泛函,否则 为无界线性泛函.f定理 2.4.4 设 为赋范线性空间 上的线性泛函,则 是有界的当且仅当存在f |)(f,使 .0M|)(|xf证明 若存在 ,使得对任意 ,则对于 中的任意有界集0|)(|,xMfXxX,有 ,使得对任意 ,有 ,因此, 对所有 成立,FrFxr| r| Fx所以 为 的有界集,即 为有界线性泛函.)(fKf反之,若 为有界线性泛函,则 把 的单位球面 映为 的有界X1|)(xXSK集,
33、因此存在 ,使得对一切 ,有 0M1|xMf|)(|故对任意 ,有 Xxxf|)|(所以 |)(|Mf例 2.4.5 对 为收敛序列,范数 ,若定义 为 ,则)(|iixc|sup|ixfiixlm)(为 上的线性泛函,由于 ,因此f |sup|i56|lim|)(| xxf所以 为 上的有界线性泛函. fc对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的, 在 1929 年证BanchS.明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.定理 2.4.6 设 是赋范线性空间,则 上的线性泛函是连续的当且仅当 是有界的.XXf证明 若 是有界的,则由上面定理可知存在 ,使得 ,因此当f
34、0M|)(|xf时,有 ,即 为连续的.xn)(xnf反之,假设 为连续线性泛函,但 是无界的,则对任意自然数 ,存在 ,使得f nXxn|)(|nnxf令 ,则 ,由 的连续性可知 ,但0,|yxny 01|0ynf )()(0yffn, ,从而 ,但这与 矛盾. 1|)()(nnff )(0f 1|)(|0yffn )()(0ffn所以 为连续线性泛函时, 一定是有界的.ff线性泛函的连续性还可以利用 的零空间是闭集来刻画. f定理 2.4.7 设 是赋范线性空间,则 上的线性泛函是连续的当且仅当XX为 的闭线性子空间. 0)(|)(xffN证明 明显地 为线性子空间,因此只须证 是闭的.
35、)(fN若 是连续线性泛函,则当 时,必有 ,因而 f xfxnn),( )(xfn,即 ,所以 是闭子空间.0)(x)(fN反之,若 是闭的,但 不是有界的,则对于任意正整数 ,有 ,使f Xxn|)(|nnxf57令 ,则 ,且 .|nxy1|nynyf|)(|取 , )(,)(101fzffzn由于 01|)(|)(|0 nyffznn因而 ,且 ,即 ,从而由 是闭集可0zn)()1yfffnn fNzn)(f知 ,但这与 矛盾,因此当 是闭子空间时, 一定是连续的.)(0fN0zff从上面的讨论容易看出, 上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上X还可以定义其范数. 定义
36、 2.4.3 设 为 上的线性连续泛函,则称f |)(sup|0xff为 的范数. f明显地,若记 上的全体线性连续泛函为 ,则在范数 下是一赋范空间,称之为XX|f的共轭空间.X虽然 在 1927 年就引起了共轭空间的概念,但 在 1929 年的工作更Hahn. BanchS.为完全些.容易看出,对于任意 ,还有 .Xf|)(|sup|)(|s| 11| xfxffx但对于具体的赋范空间 ,要求出 上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.例 2.4.8 设 为 的连续线性泛函 ,若取 为 上的 基,则对任意 ,f1l ie1lSchauder)(ix有 , 故 ,因而1iiex1)()(ii
37、fxf )|(|)|sup|)(|)(|)(| 111 iiiiiii xefefxeff从而 . 取 , 则 , 且|sup|ieff10,0li |i58, 故 ,所以 . |)(| iieff|)(|sup|ieff|)(|sup|ieff设 是赋范线性空间 的子空间, 为 上的连续线性泛函,且存在 ,使得MXfM0C对任意 成立,则 是否可以延拓到整个范空间 上？这一问题起源|)(|xCfX于 维欧氏空间 上的矩量问题. 在 1920 年提交的博士论文中,用几何语言将nnRBanchS.它推广到无限维空间1922 年, 发表的论文也独立地得出类似结果 HHahn.在 1927 年将结果
38、更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在 上 存在Xf连续延拓 ,使得 对一切 成立,且对一切 ,有 . F|)(|xCMx)(xF1929 年, 独立地发表了与 相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的BanchS. Hahn.情形,这就是下面的 延拓定理.c定理 2.4.9 设 是实线性空间 的线性子空间, 为 上的实线性泛函,且存在 上MXf X的半范数 使得)(xp, 对任意 成立)(|xpfMx则存在 在 上的延拓 ,使得fXF(1) , 对任意 成立;)(|xpXx(2) , 对任意 成立.f与 在 1938 年还把 定理推广到复线BohnebiusFH.Soczy
39、kA. BanchH性空间. 定理 2.4.10 设 是复线性空间 的复线性子空间, 为 上的线性泛函, 是 上MXfMpX半范数且满足, 对任意 成立)(|xpfx则存在 在 上的延拓 ,使得fXF(1) , 对任意 成立;)(|xpXx(2) , 对任意 成立.fM59利用线性空间的 延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,BanchH它是 空间理论的基本定理. Banch定理 2.4.11 设 是赋范线性空间 的线性子空间, 为 上的连续线性泛函,则存在MXfM上线性连续泛函 ,使得XF(1) ;Xf|(2) , 对任意 成立.)(x这里 表示 在 的范数, 表示 在 的范数.
40、XF|Mf|f证明 由于 为 上的连续线性泛函,因此对任意 ,有 . f x|)(| xfxfM定义半范数 ,则有 ,对任意 .由线性空间的|)(xfxp)(|pf定理可知存在 ,使得BanchHF, 对任意)(fx且 , 对任意)(|pxX因此对于任意 ,有 ,故 为 上的连续线性泛函,且Xx|)(| xfFMF. MXfF|反过来,由 MxMxMxX ffFF|)(sup|)(sup|)(sup| 0,0,0,可知 , 且 对任意 成立.MXfF| )(f在上面定理中,若 是复赋范线性空间,则 必须是复线性子空间.很有意思的是和 在 1938 年证明在任意无穷维复 空间 中,一定Bohne
41、biusH.SoczykA. BanchX存在实线性子空间 ,在 上有一复连续线性泛函不能保范延拓到 上.问题 2.4.2 在 定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？Banh例 2.4.12 在 上,定义范数 .|),(2121RxX |),(| 2121xx令 , 明显地， 是赋线性空间 的线性子空间,对|)0,(1xMMX,定义 ,则xy,1 1(yf60|)(|1yxf故 ,且对 ,有 ,因而 ,但对 上的线性1|Mf )0(x|,|00 1|MfX泛函 211)(xF2这里 Xx),(21在 上,都有 M)(1yfF2对任意的 成立. 在 上有 ,且Mxy)0,(1 fFf21,因此 是
42、 的两个不同的保范延拓. XfF|21 21,Ff定理 2.4.13 设 是赋范空间, 是 的子空间, ,|)( XXx0),(0Mxd,则存在 ,使得0|inf|0yxf（1）对任意 ；)(,xfM（2） ；dxf)(0（3） . |证明 令 ,则对任意 , 有唯一的表达式 ,这里0xspanE Ex0tx.MxKt,在 上定义泛函 ：gtdxg)(则 为 上的线性泛函,且 gE（1） ；dx)(0（2）对任意 .0)(,xgM对 ,不妨假设 .由0txt61|inf|,|)(|)| 00 Myxdtxg可知.|)(| 000tttdtx 因此 是 上的线性连续泛函,且 .gE1|Mg根据
43、定理,有连续线性泛函 ,使得 BanchHXf（1）对任意 ；)(xfx（2） .|gf由 ,可知存在 ,使得 .0|in|0Myxd Mxndxn|0故 dfxffdn| )()(000因此 ,所以 ,且对所有 ,有 .1|f|f)(特别地,当 时,对任意 ,有 ,因此由上面定理可知下面推0M0x|00xMd论成立. 推论 2.4.14 设 是赋范线性空间,则对任意 ,有 ,使得X,00XXf,且 .|)(0xf1|f该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间 上都存在足够多的线性连续泛函.由下面推论还可知道 中两个元素 ,若对所有 ,都有 ,则一定XyxXf )(yfxf有 .yx推论
44、2.4.15 设 是赋范线性空间, 则 当且仅当对存在 使得,yxXf. )(ff证明 假设 ,则对 ,有 ,因此 定理的推论可知存yxyxz0|zBanchH在 ,使得 ,从而 .1|f 0|)(f )(ff例题 2.4.1 设 是赋范线性空间,试证明对任意 ,有 XXx062|)(|sup| 0,1|0xfxXf证明 对任意 , ,有 Xf|f |)(| 00xfx因此 |)(|sup| 0,1|0fXf另外, 但对 ,存在 , ,使得 ,00xX| |)(0xf故 , 所以 .|)(|sup|,1|0fxf |s| 0,1|0xfXf例题 2.4.2 设 是赋范空间,若对于任意 且 都|
45、)( 1|,|, yyyx有 ,试证明对于任意 ,有 .2|yx)10(1|)(|x证明 反证法. 假设存在 和 ,使得|yx0|)(|0由 定理的推论,可知存在 , ,使得 BanchHXf1|f|)(|)1( 0000 yxyxf 即 1)()00ff这时一定有 . 否则的话,若 或 ,则1()0yfxf x)(0yf,矛盾.)1() 000 xf因此 ,又由2)(|(|sup| 0,1|0 yxfyxfyXf |0可知 ,但这与 的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意2|0yx2|yx,有 . )1(1|)(|632.5 严格凸空间在 1936 年引入了一致凸的 空间的概念,证明了取值一致凸的ClarksonAJ. Banch空间的向量测度 的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构Bnc
