1、向量组之间的关系向量组的极大无关组向量组的秩 第三节向量组的秩 设有两个n维向量组A B 如果A组中每个向量 都可由向量组B 则称向量组A可由向量组B线性表示 线性表示 一 向量组之间的关系 定义10 如果A B这两个向量组可以互相线性表示 则称向量组A和向量组B是等价的 记为A B 关于向量组的等价 显然有下面三条性质 1 自反性A A2 对称性若A B 则B A3 传递性若A B B C则A C 定理在 中 如果向量组A 可由向量组B 而且 线性无关 则 线性表示 证明假设 因为 都可由 线性表示 故可设 以上各式的系数构成k个s维的向量 因为 所以这k个s维向量线性相关 即存在一组不全为
2、零的实数 使 考察 由于 不全为零 所以 线性相关与已知矛盾 从而 推论等价的线性无关向量组所含向量的个数相等 二 向量组的极大无关组 1 线性无关 2 A组中任何一个向量 都能由B组向量线性表示或在B后添加A中其他向量组成的向量组都线性相关 定义11 若向量组A的一个部分组B满足 则称部分组B为向量组A的一个极大线性无关组 简称极大无关组 定理向量组与它的任一个极大无关组等价 证明因为极大无关组可由向量组线性表出 由极大无关组的定义 所给向量组可由极大无关组线性表出 所以向量组与它的任意一个极大无关组等价 推论向量组的任意两个极大无关组等价 注意 一个向量组的极大线性无关组可能不唯一 向量组 组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩 记作 只含零向量的向量组的秩规定为0 的极大线性无关 三 向量组的秩 定义12 由定理的推论及定义12易知 两个等价向量组的秩必相同 例求向量组 的极大无关组 解因为 极大线性无关组的概念 最大性 线性无关性 2 关于向量组秩的一些结论 定理 推论 3 求向量组的秩以及极大无关组的方法 小结
