1、毕 业 论 文学生姓名 * 学 号 *院 (系) *专 业 数学与应用数学题 目 探求一元线性递推数列的通项公式指导教师2009 年 月淮阴师范学院毕业论文（设计）1摘 要：数列是初等代数中的重要内容之一，而数列的通项公式又是研究、探讨数列问题的重要渠道文章讨论了对一阶线性递推数列、二阶线性递推数列和一般 阶线性递推k数列的通项公式的求解关键词：数列，通项，线性递推数列，一元，通项公式Abstract: Sequence is an important part in elementary algebra, and formula of the general term of sequence
2、 is also an important channel to study and discuss the sequence problem. The article is to explore the solution of the general term formula of one variable linear recursive sequence, second-order linear recursive sequence and the general order linear recursive sequence.Key words: sequence, general t
3、erm, linear recursive sequence, one variable, general term formula淮阴师范学院毕业论文（设计）2目录1引言42两个简单的数列 43 线性递推数列 53.1递推数列53.2线性递推数列 54一元线性递推数列64.1一阶线性递推数列64.2二阶线性递推数列84.3一般 阶线性递推数k列10结论 18参考文献 19淮阴师范学院毕业论文（设计）31 引言在自然界以及日常生活中，我们经常会遇到一些按照一定顺序排列成的一列数即数列， 数列是定义在自然数集上的函数，是当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值而数列的通项公式是函数的对应法则，
4、它给出了数列 中第 项 与项数 之间的nana函数关系，在研究数列时占有重要地位如果数列的通项公式清楚了，那么这个数列的其他问题就容易解决掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对知识进一步掌握；有利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣递推数列是数学中一个很重要的工具，是数列教学中的一个难点利用递推公式求数列的通项公式，多年来一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一，在全国及各省市的高考命题中均以较大分值出现而递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，对学生观察、分析、推理能力的要求都较高，而
5、递推数列又分为线性递推数列、非线性递推数列文章将通过对一元线性递推数列的几种常见类型及其通项公式的探讨来提出相应的解题策略，并结合实例加以说明 2 两个简单的数列如果数列 （多余两项的有穷数列或无穷数列）满足这样的关系式na， （其中 为常数） ，dk1 ,3,21nd则称数列 为等差数列，常数 称为它的公差n如果数列 （多余两项的有穷数列或无穷数列）满足这样的关系式b， （其中 为常数且 ） ，qk1 ,21nq01b则称数列 为等比数列，常数 称为它的公比n 1淮阴师范学院毕业论文（设计）4可见，只有当且仅当公差为零时等差数列才为常数列，当且仅当公比为 1 时等比数列才为常数列因此，只有常
6、数列既是等差数列又是等比数列利用归纳法可以很容易的得出等差数列和等比数列的通项公式分别为， ；dnan)1(,32当 时， ， ；0q qb,当 时， .,32 ,0 1nn如果用 与 分别表示等差数列 和等比数列 的前 项的和，那么根据这两nABanb个数列的规律可以直接计算出；dnA2)1(2)(11. ,)( ,11qbqBnnn等差数列和等比数列是我们经常遇到的而且也是比较简单的两个数列，在日常生产和生活中经常会用到这两个数列，有时还可以利用它们的性质对其它一些比较复杂的数列进行求解例如，在求解一阶、二阶线性递推数列的通项公式时就会用到这两个数列及其性质3 线性递推数列3.1 递推数列
7、定义 1 对任意 ，由递推关系2Nn),(21nknkn aaf确定的数列 称为递推数列，或称为递归数列na例如，设 ，则确定数列 的初始条件和递推关系为33， ，112nan .,32淮阴师范学院毕业论文（设计）5若 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列f3.2 线性递推数列定义 2 若数列 从第 项以后任一项都是前 项的线性组合，即nakk， nknnkn acaca21其中 ， ， ，, 是常数， ，则数列 称为 阶线性递推数列， 式Nn1c2kc0kcnk1称为数列 的递推方程与递推方程组相应的代数方程a( ) kkkk cxcx21 02称为 阶线性递推数列 的
8、特征方程kna我们经常会遇到一些线性递推数列例如：公比为 的等比数列是一阶线性递推数列，其递推方程为1q， , ；nnqa132,10q等差数列是二阶线性递推数列，其递推方程为2， ；nnbb12 ,斐波那契数列（兔子数列）也是二阶线性递推数列，其递推方程为3， ，nncc12 ,32并且 ， 1c24 一元线性递推数列4.1 一阶线性递推数列基本形式:已知 （ 为常数） ，且 （ 且为常数） a1 qpann10淮阴师范学院毕业论文（设计）6我们先看这样一个数列 （ ） ，要求这一数列的通项公式不)()(1nqapn 0p好直接入手，必须引入一个待定辅助函数 ，使得k，)()(1 knn此时
9、原数列便转化为 类型，其中 而很容易求出数列nbp)1 11ab nb的通项公式为 ，为了求出 ,可以规定 ，此时 我们把所1(knb)(nk0)(k1ab构造的递推数列与原递推数列相比较有 )1()(1)(23)()(2nqknpk求得 ( )，111jnkk 2从而由 ，1)()(nknpa得 1111 )()()()(nknkkjnkn pqapa 43，上面所得的 即为一般一阶递推数列的通项若其中的 或 为常数时仍然可n nq以用此方法求解，则原式将转化为以下三种形式： （ ， 为常数且 ） ，其通项公式为1qpann 0p；11nknkjpqa（ 为常数且 ） ，其通项公式为2)(1
10、nqpanp0；111)(nkknpqa（ 为常数且 ） ，其通项公式为3qanp)(1 0)(p淮阴师范学院毕业论文（设计）711)()(nknkjpqapa形式 即为一阶线性递推数列以上三种数列的通项公式除了运用上面所给的方法1外还可以通过其他方法求得特别是在解由数列递推关系式求通项公式的具体数学命题时，方法更灵活，技巧性更强，如：公式法、换元法、递推法、归纳法、数学归纳法、迭代法、待定系数法等等 但具体用哪种方法可以根据题目来定，下面举例说明5例 1 已知数列 满足 ，na1，23na,1求通项 na解 用待定系数法将原递推公式变形为，)1(31nna则数列 是以 2 为首项，3 为公比
11、的等比数列，故1na，12nn所以 3a若直接利用公式，便有 11323nkinka 1132nkn 1213nn11nnn可见两种方法得到的结果相同例 2 已知数列 满足 ，na1，12nna,求通项 na解 （逐差法）由题意得淮阴师范学院毕业论文（设计）8，112nna依此类推便有，,21nna,321n ,201a将上面各式逐项相加得，12101nn所以 1na若直接利用公式，则有，结果仍然相同1122nnka例 3 已知数列 满足 ，n1，nna,21求通项 na解 （逐商法）由题意得，1na,2依此类推便有， ， ，na1121na,21a将上面各式逐项相乘得，na1所以 同样，如果
12、直接带入公式有，结果仍然相同nkjpkpannnkj 1)(01)( 1114.2 二阶线性递推数列淮阴师范学院毕业论文（设计）94.2.1 二阶线性齐次递推数列基本形式： ( 且都为常数)，已知 ， nnqapa12 0,p1a2引入待定系数 , ,使得 ，此时与原式比较有 ， AB)(1nAaBBAp这时数列 就是等比数列，而 , 是方程 的两个根，因Bq1n qx2为二次方程 的两根总是存在的（可以是重根或虚数根） ，所以待定系数 和qpx2是存在的并可很容易的求出若 ，则由原递推数列可以得到下面两个递推式BA 2121)(nnBAaa和 ，2121)(nnB消去 得到1naABqaan
13、nn 2112若 ，则由原递推数列可以得到下面的递推式BA2121)(nnaAa),31(因为 （否则 ） ，所以等式两边可以同时除 ，得到00qnA，211An ),3(故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列从而有nAaa12a，211)(AnAn),32(n此时得到数列 的通项公式na121nnn aa76，4.2.2 二阶线性非齐次递推数列淮阴师范学院毕业论文（设计）10基本形式： ( 且都为常数)，已知 ， kqapann11 0,qp1a2此类数列的通项公式可以用求解方法求得，若将下面，kann11和，qpann21 两式相减得，)()(2111 nnn a这时数列 便为二阶线性齐次
14、递推数列可以由上面内容求出其通项公式，最后再1na运用逐项相加法便可求出原数列的通项 na3例 4 已知数列 满足 ，n,12，nn3,21求通项 na解 原递推公式可以写成，)(2112nnaa此时数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，于是na11，nn)(1利用逐项相加法便可求得，24211nna所以 n例 5 已知数列 满足 ，n3,21，11nnaa,2求通项 na解 由题可得出以下两式 12312nnaa淮阴师范学院毕业论文（设计）11和 ，1231nnaa将两式相减得到)()(1112 nnn若令 ，则数列 为二阶线性齐次递推数列，利用例 4 的方法可以求出nnab1b其通项
15、123n故有 ,123,012312ann将上面各式相加得到，23)(3121 nnan所以 1n4.3 一般 阶线性递推数列k基本形式： ，其中 ， ， 是常数，nkknknkn acaca21 1c2kc，且初始值 ， ，, 为已知0kc0对于一般 阶线性递推数列的通项公式的求解，主要可以通过四种方法来求，即特征根法、矩阵法、积分法和母函数法下面将对这四种方法分别进行探讨4.3.1 特征方程法求通项公式定理 1 若特征方程 有 个相异的根 ， ， ，则对应的递推方程 确2k1x2kx1定的数列 的通项公式为na，nknn xcxca21其中 ， ， 是如下线性方程组的惟一解：1c2kc淮阴
16、师范学院毕业论文（设计）12.,21 2211 kkkkkaxcxc 例 6 已知数列 满足 ，na,a，nn6512,21求通项 na解 特征方程 652x有两个相异根 ，根据定理 1，通项公式为3,21x，nnca32代入前两项的值，得 .294,11c解得 ，34,5所以 11nna定理 2 若特征方程 有 重根 ，则对应递推方程 所确定的数列的通项公式12k为，nkncca)(121其中 ， ， 是如下线性方程组的惟一解：1c2kc.)( ,2)(121 2121 kkkackc 例 7 已知数列 满足 ，na3a，nn9612,21淮阴师范学院毕业论文（设计）13求通项 na解 特征
17、方程 962x有二重根 ，根据定理 2，3x nnca3)(21其中 满足方程组21,c.3189,2c解此方程组，得 ，,5所以 1)(nna定理 3 若特征方程 有 重根 ， 重根 ， 重根 （121k2k2sks） ，则对应递推方程 所确定的数列的通项公式为kks.21，sl nlkllln lcnca1 12)(其中 ， ， （ ）是在上面通项公式中令 所得线性方程组1lc2llkcs, ,k2的惟一解例 8 已知数列 满足 ，na1,231a，nn54 ,2求通项 na解 特征方程 25423xx的根为 ，根据定理 3，2,1321x，nncca1)(221其中 满足方程组211,c
18、淮阴师范学院毕业论文（设计）14.183,4221cc解此方程组，得 ，,6,1所以 1nna4.3.2 矩阵法求通项公式 83，由 式我们可以得出此递推数列的矩阵表示形式，即1 032121143212132 10010 aaccaaccaa kknknknkknknk 若令 ，则对于递推数列通项公式的求解即转化为对于矩阵01012 kccA的 次幂的求解，而利用矩阵理论可以解决此问题 n 9若矩阵 的特征方程有 个不同的特征根 ，则必存在某一可逆矩阵 使得Akkh,21 T，AThk121即，121ThTAk故有淮阴师范学院毕业论文（设计）15，12121 ThhThhTA nknnkn
19、从而有， 032121321 aaThTaakknknnknk 其中 可由特征根 确定，最终数列的通项公式可由矩阵得出Tkh,21若矩阵 的特征方程有 ( )个不同的特征根 ，设其重数分别为Askssh,21，并且 时，则存在可逆矩阵 使得 (其中 为矩阵 的若尔se,21 kesi1 TJA A当标准形)由此可得 ，从而1TJA，121TJJnknn其中 是 阶若尔当矩阵，最终数列的通项公式可由矩阵得出iJik例 9 已知在数列 中 ， ， ，na012a3,nn913 ,2试求 na解 此数列为三阶常系数齐次线性递推数列令 ，019A因为 的根为 ， ， ，且 ， ， 互异，则必923AE
20、13223存在某一可逆矩阵 使得T淮阴师范学院毕业论文（设计）16，3011AT那么， ，1301TA130TAnnn而由高等代数知识容易求得， ，913T892341T故， 1123 3410nnnAa于是 ，13341nn即有 2nna例 10 已知在数列 中 ， ，n01132，nnnaa883 ,2试求 na解 此数列为三阶常系数齐次线性递推数列令 ，018A由 得到特征根 而属于特征值 2 的特征01823AE 321，向量为 ，属于二重特征值 3 的特征向量只有一个线性无关的特征向量),4(1x淮阴师范学院毕业论文（设计）17此时矩阵 不可以对角化，所以必存在某一可逆矩阵 使得 ，
21、其)1,39(2xATJA1中矩阵 为矩阵 的若尔当标准形且 ，下面求矩阵 J 3012J令 ，则由 即 得 其),(321xTAT1 32321,2xAxAx中 分别为矩阵 属于特征值 2 和 3 的特征向量，而由 得21,x 3故可以取 ，所以23)(AE)0,16(3x，65189,01294TT113023TnAnnn， 112 3)05(2)( nnnnn于是， 12123 3)74(50nnnnAa故 ，1233)74(5nnn即有 2194.3.3 积分法求通项公式利用积分求递推数列的通项公式，主要是针对那些递推关系式转化成函数式后比较容易求导且又容易积分的递推数列这一方法的主要
22、过程是：先将递推关系式用函数式表示，即令 将递推关系式xaf()转化为关于 的函数式；然后对函数式两边关于 求导得出导函数 ，而 可能是x x)(f等差数列（此时可以直接得出 ） ，也可能是可以化成与 之间的递推关系式；再)(xf )1(f淮阴师范学院毕业论文（设计）18通过积分求出 ，根据已知条件 ， ，即 ， 的值列出方程组，然后根据方)(xf 1a2)1(f2f程组即可求出 和常数 ；最后再令 ，则得到通项 . 下面通过例题说明1cnxna10例 11 已知在数列 中 ，且有 ， ，n1 mnm N,试求通项 na解 设 ，则有 ，且xf)(1)(af，yxyf )( 1,对上式两边分别
23、关于 求导得)(ff令 ，则 或 ，1,ynx1)(nf 1nf故数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列，且 )(f) 1)(nf因为 ，所以有 ；两边同时积分得x)(xfxf，cxfdxdf 2)1()()(由题意知 ， ，故有方程组1a4221af，)(cf解此方程组得 ，从而有1,25)(cf12312)( xxxf令 ，得通项 nxnan4.3.4 母函数法求通项公式所谓母函数法是将数列与多项式联系起来进行研究的一种有效方法一般的，我们将多项式 nxaxa210叫做有穷数列 的母函数na,210淮阴师范学院毕业论文（设计）19将形式幂级数 nxaxa210叫做无穷数列 的母函数 na
24、,210用母函数法求数列的通项公式，首先要从数列的 意义出发，构造它的母函数n；然后将母函数 表示成形式幂级数，最终 的系数就是通项 .)(xf )(xf xna1例 12 已知数列 中 ，na1,0， ，23na,3求通项 na解 设数列 na,210的母函数是， nxxaf210)(作， naxf 1210)(2， nxxa233将上面三式相加，得 )(21(fx， nnxaa)3( 21201010根据初始条件以及递推方程，并把 表示为形式幂级数，有)xf，00n2213 1 1)(nxxf淮阴师范学院毕业论文（设计）20所以 ， 21)3(nna,0结 论一元线性递推数列的通项公式的求
25、解问题，本文主要集中在对一阶和二阶线性递推数列以及一般 阶线性递推数列上针对一阶线性递推数列本文先给出了一阶递推数列通k项公式的求解方法，然后将式中的 和 换成 和 即可；更一般的方法是利用待)(npqpq定系数法构造类似于“等比数列”的新数列再进行求解对于二阶线性递推数列的通项公式，本文分别对齐次和非齐次递推数列进行了探讨，其中的重点是对齐次线性递推数列通项公式的求解方法可归结为通过变形或引入待定系数将原数列转化为我们所熟知的等差或等比数列，然后利用逐差法或逐商法求出原数列的通项公式文章最后对一般阶线性递推数列通项公式的求解进行了探讨，其方法有特征根法、矩阵法、积分法和母k函数法，而特征根法
26、与矩阵法是重点且具有很强的适用性淮阴师范学院毕业论文（设计）21参 考 文 献1余元希,田万海,毛宏德.初等代数研究(下册)M.北京:高等教育出版社,1988:465-480.2陈传理,张同君.竞赛数学教程第二版M.北京:高等教育出版社,2004:102-105.3刘华巧,李德胜.几类递推数列通项公式的推导及应用J.高师理科学刊,2007,27(2):30-32.4 刘国祥,那日苏,葛景元.一个递推数列的通项公式及应用J.昭乌达蒙族师专学报,2003,24(2):90-91.5崔继海.由三类数列的递推关系式求其通项公式J.新乡师范高等专科学校学报,2005,14(2):39-41 6张军.浅谈递推数列通项公式的几种求法J.铜仁学院学报,2007,1:58-59. 7刘佛清.数列方法与技巧M.武昌喻家山:华中工学院出版社,1986:1-124.8陈泽凡.用矩阵求递推数列的通项公式J.益阳师专学报(自然科学版),1991,1:27-30.9李信明.常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法J.高等数学研究,1999,21:23-25.淮阴师范学院毕业论文（设计）2210侯学萍,左红亮.利用矩阵和积分求递推数列的通项公式J.周口师范学院学报,2007,24(5):51-53
