1、- -2019-1-3整数线性规划及其应用目 录引言5第一节 整数线性规划模型611 整数线性规划问题举例612 整数线性规划模型6第二节 解整数规划问题的常用方法821 可用线性规划822 Gomory 割平面法82.2.1 松弛问题的关系82.2.2 割平面法的基本思想82.2.3 Gomory 割平面法的割平面条件92.2.4 Gomory 割平面法计算步骤1023 求解整数线性规划问题的分枝定界方法102.3.1 分枝定界方法的基本思想102.3.2 分枝定界法计算步骤11第三节 01 规划问题及其求解方法1331 01 规划问题举例1332 建立数学模型1333 01 规划问题的解法
2、133.3.1 DFS 搜索法 133.3.2 隐枚举法15第四节 整数线性规划问题的应用164.1 分配问题164.2 旅行售货员问题174.3 最短路问题174.4 一维背包问题18第五节 怎样求解整数线性规划问题19- -2019-1-35.1 用 LINGO 求解线性规划问题195.1.1 模型的输入195.1.2 执行19文献综述22参考文献22致谢222019-1-3整数线性规划及其应用李茂数学学院 07 级 4 班 指导老师：张森【摘 要】整数线性规划问题举例、整数线性规划模型及其求解的困难性、可用线性规划求解的整数线性规划问题、求解整数线性规划问题的 Gomory 割平面法、求
3、解整数线性规划问题的分枝定界方法、01 规划问题举例、01 规划问题的解法、整数线性规划问题的一些例子、用 LINGO 软件包求解整数线性规划问题。整数线性规划(Integer Linear Programming，简记为 ILP)问题研究的是要求变量取整数值时，在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题，是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。其中变量只取 0 或 1 的整数线性规划问题称为01 规划。只要求部分变量取整数值的线性规划称为混合整数线性规划。整数线性规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是以相应的线性规划的最优解为出发点的。但是变量取整数值的要求本质上是一种非线
4、性约束，因此解整数线性规划的“困难度 ”大大超过线性规划，一些著名的“困难” 问题都是整数线性规划问题。本文主要介绍整数线性规划一些基本概念、基本理论、实际背景及常用算法。【关键词】整数线性规划模型 Gomory 割平面法 分枝定界方法 01 规划问题Integer linear programming04 Grade, Mathematics institute, instructor:zhang sen【Abstract】The example Of Integer linear programming problem、integer linear programming model an
5、d the difficulty of it、the integer linear programming available solving linear programming problem、the integer linear programming problem solving gomory cut plane method、integer linear programming problem solving bound method of branches、 the 0-1 programming problem with example、the 0-1 programming
6、problem solution 、integer linear programming problem with some examples、 solving integer linear programming packages LINGO.When the Ilp research are variables integer value, in a group of linear constraints a linear functions optimal problem, it is very extensive an important branch of the operation
7、al research. In which the variable take 0 or 1 integer linear programming problem is called the 0-1 programming. Only require partial variable integer linear programming called numerical mixed integer linear programming.Integer linear programming and linear programming closely related, with some 201
8、9-1-3of its basic algorithm design are based on the corresponding linear programming for the starting point of the optimal solution. But variable requirements of integer value is essentially a nonlinear constraints, therefore solution integer linear programming “difficulty“ considerably more than th
9、e linear programming, some of the famous “difficulties“ problems are integer linear programming problem.This paper mainly introduces some integer linear programming basic concept, the basic theory and practical background and algorithms.【 keywords 】 integer linear programming model Gomory cut plane
10、method bound method branching 0-1 programming problem2019-1-3引言整 数 规 划 是 从 1958 年 由 R.E.戈 莫 里 提 出 割 平 面 法 之 后 形 成 独 立 分 支 的 ， 30 多 年 来 发 展 出 很 多 方 法 解 决 各 种 问 题 。 解 整 数 规 划 最 典 型 的 做 法 是 逐 步生 成 一 个 相 关 的 问 题 ， 称 它 是 原 问 题 的 衍 生 问 题 。 对 每 个 衍 生 问 题 又 伴 随 一个 比 它 更 易 于 求 解 的 松 弛 问 题 （ 衍 生 问 题 称 为 松 弛 问
11、 题 的 源 问 题 ） 。 通 过 松弛 问 题 的 解 来 确 定 它 的 源 问 题 的 归 宿 ， 即 源 问 题 应 被 舍 弃 ， 还 是 再 生 成 一 个或 多 个 它 本 身 的 衍 生 问 题 来 替 代 它 。 随 即 ， 再 选 择 一 个 尚 未 被 舍 弃 的 或 替代 的 原 问 题 的 衍 生 问 题 ， 重 复 以 上 步 骤 直 至 不 再 剩 有 未 解 决 的 衍 生 问 题 为 止 。目 前 比 较 成 功 又 流 行 的 方 法 是 分 枝 定 界 法 和 割 平 面 法 ， 它 们 都 是 在 上 述 框 架下 形 成 的 。在 线 性 规 划 问
12、 题 中 ， 有 些 最 优 解 可 能 是 分 数 或 小 数 ， 但 对 于 某 些 具 体 问题 ， 常 要 求 某 些 变 量 的 解 必 须 是 整 数 。 例 如 ， 当 变 量 代 表 的 是 机 器 的 台 数 ，工 作 的 人 数 或 装 货 的 车 数 等 。 为 了 满 足 整 数 的 要 求 ， 初 看 起 来 似 乎 只 要 把 已得 的 非 整 数 解 舍 入 化 整 就 可 以 了 。 实 际 上 化 整 后 的 数 不 见 得 是 可 行 解 和 最 优解 ， 所 以 应 该 有 特 殊 的 方 法 来 求 解 整 数 规 划 。 在 整 数 规 划 中 ， 如
13、 果 所 有 变 量都 限 制 为 整 数 ， 则 称 为 纯 整 数 规 划 ； 如 果 仅 一 部 分 变 量 限 制 为 整 数 ， 则 称 为混 合 整 数 规 划 。 整 数 规 划 的 一 种 特 殊 情 形 是 01 规 划 ， 它 的 变 数 仅 限 于 0或 1。 不 同 于 线 性 规 划 问 题 ， 整 数 和 01 规 划 问 题 至 今 尚 未 找 到 一 般 的 多 项式 解 法 。2019-1-32019-1-3第一章 整数线性规划模型11 整数线性规划问题举例材料截取工地上需要长度为 的钢材数分别为 根，取长为 的原材料进mll,21 mb,21 l行截取。已知
14、有 种截取方案：n，12iiimiAaa ,n其中， 表示一根原料用第 种方案可截得长为 的钢材的根数（ ，jia jl1,2i） ，因此1,2jm，12iimilala 1,2n下料问题就是在满足要求：截取长度为 的钢材数分别为 根时，l,21 mb,21用的原料材根数最少的方案。假定 表示按方案 截取用的原钢材数目，于是问题表示为：ixiA(1.1)1212122min.0,1,nnmmizxaxabst xxi 整 数 ，在许多实际问题中，我们所研究的量具有不可分割的性质，如人数、机器数、项目数等；而开与关、取与舍、真与假等逻辑现象都需要用取值仅为 0 或 1 的变量来进行数量化的描述。
15、涉及这些量的线性规划问题，非整数的解答显然不合乎要求。12 整数线性规划模型考虑如下形式的整数线性规划问题 ILP2019-1-3(1.2)min.0TcxAbst为 整 数 向 量其中 ， ， 以及 ，ijmnAa12,Tncc 12,Tmbb 12,Tnxx， ， 中的元素皆为整数。在(1.2)中除去 为整数向量这一约束后，就得到对应的标bx准线性规划问题(1.3)i.0TcAxbst称(1.3)是(1.2)的松弛问题。如果(1.2) 对应的标准线性规划问题(1.3) 的最优解是整数，则它也是(1.2)的最优解。对于标准线性规划问题，已有有效的算法。那么能不能通过求解对应的线性规划问题，然
16、后将其解舍入到最靠近的整数解呢？考察图 1.1 所示的情况，可以看出舍入方法是不可取的。既然 ILP 的可行域是一些离散的整数点（图 1.1） ，如果其可行域有界，那么所包含的整数点的数目就是有限的，可否用枚举法来解 ILP 问题呢？对一般 ILP 问题，枚举法是无能为力的。如 50 个城市的旅行售货员问题（见例 4.4） ，所有可能的旅行路线个数为 ，2)!49(这是一个天文数字。由上可见，求解整数线性规划问题 ILP 比求解对应的线性规划问题 LP 要困难得多。事实上，整数线性规划模型并不是线性模型。仅以 01 规划而言，决策变量取值为 0 或 1这个约束是可以用一个等价的非线性约束(1.
17、4)njxjj ,)(来代替的。因而变量限制为整数本质上是一个非线性约束。x的 最 优 解LP的 最 优 解ILP的 可 行 区 域LP费 用 下 降 方 向0 1x2x图 1.12019-1-3第二章 解整数规划问题的常用方法从 1959 年 R.E.Gomory 提出解整数线性规划的割平面算法至今，经过几十年的努力，已经发展起来了一些常用算法，如各种类型的割平面算法、分枝定界算法、解 01 规划的隐枚举法、分解方法、群论方法、动态规划方法等等，本章主要介绍求解整数线性规划问题的几个常用算法。21 可用线性规划可用线性规划问题求解的整数线性规划问题，实际上是这样的一类问题，它的解就是线性规划
18、解，即可以通过单纯形法来求整数规划的解。因此，对于规划问题(1.2)，若系数矩阵 为幺模矩阵，且右端项 是整数，Anmija)( b则可以用单纯形方法直接求解对应的标准线性规划问题(1.3) ，就可以得到它本身的最优整数解。22 Gomory 割平面法2.2.1 松弛问题的关系解整数线性规划问题的割平面法有多种类型，但它们的基本思想是相同的。以下我们介绍 Gomory 割平面法。它在理论上是重要的，被认为是整数线性规划的核心部分。设(1.2)的可行域为 D，对应的松弛问题 (1.3)的可行域为 （多面凸集） ，当 时0DD它是由有限个或可数的整数点构成的集合。问题(1.2)和问题 (1.3)之
19、间具有如下明显的关系： ；0若问题(1.3)无可行解，则问题(1.2)无可行解；问题(1.3)的最优值是问题(1.2)的最优值的一个下界；若问题(1.3)的最优解 是整数向量，则 是问题(1.2)的最优解。0x0x2.2.2 割平面法的基本思想用单纯形法先解松弛问题(1.3)，若问题(1.3)的最优解 是整数向量，则 是 ILP 问0x0x题(1.2)的最优解；若问题(1.3)的最优解 的分量不全是整数，设法构造一个线性约束条件0x2019-1-3（称它为割平面条件） ，新增加的这个割平面条件将问题(1.3)的可行区域 割掉一块，且0D这个非整数解 恰好在被割掉的区域内，而原 ILP 问题(1
20、.2)的任何一个可行解（整数点）0x都没有被割去。给问题(1.3)增加这个约束条件，用得到的问题替换问题 (1.3)，继续以上过程。2.2.3 Gomory 割平面法的割平面条件用单纯形方法求解问题(1.2)的松弛问题(1.3)，得到最优基本可行解 ，设它对应的基0x为 ， 为基变量，基变量的下标集合为 ，非基变量的下标),(1mBAmBx,1 S集合为 。最优解所对应的问题(1.3)是S 0injjSzxz(2.1).,1,iBijijstxabm为使符号简便计，令 ， ， 。如果 ，全是整数，已zB0jj00z,0,i经得到了问题(1.2)的最优解 ；否则至少有一个 不是整数 ，设 所对应
21、的xlb)(llb约束方程是(2.2)SjljlBxal我们用 表示不超过 的最大整数，则有aa(2.3),ljljljlllafb其中 （ ）是 的分数部分； （ ）是 的分数部分。由于ljf01,ljfSlj lf10lflb方程(2.2)中的变量是非负的，因此有(2.4)SjjlSjljxa从而方程(2.2)变为(2.5)SjljlBbxl 因为 为整数向量，故(2.5)式左端为整数，所以右端用 的整数部分去代替后，(2.5) 式的x l不等式关系仍成立，即有(2.6)Sj ljlBbxaxl (2.2)减去(2.6)，得2019-1-3(2.7)(llSj jllj bxa注意到(2.
22、3)关系式，我们得到线性约束(2.8)lsjjlff称它为对应于生成行 的 Gomory 割平面条件。l将(2.8)改写为（引进松弛变量 ）超平面方程(2.9)(2.9)lsjjlfxf称它为割平面。将割平面(2.9)加到问题(2.1)，就得到了一个新的线性规划问题，且已经具有满足最优性条件的基本不可行解。如果把割平面(2.9)加到问题(2.1)中，那么没有割掉问题(1.2)的任何整数可行点，当不是整数时，新问题是一个满足最优性条件的不可行基本解。lb2.2.4 Gomory 割平面法计算步骤第 1 步 求解问题 (1.3)。若问题(1.3)没有最优解（包括无可行解和无有限最优解） ，则问题(
23、1.2)也没有最优解；若问题(1.3)有最优解 ，且 是整数向量，则 是问题(1.2)0x0x的最优解，输出 ；否则转第 2 步。0x第 2 步 任选 的一个非整数分量 ，按关系式(2.2)和(2.3)得到割平面lb)(m方程(2.10)lsjjlfxf第 3 步 将(2.10) 加到第 1 步所得的问题(1.3) 的最优形式(2.1) 中，用对偶单纯形法求解这个问题。若其最优解为整数解，则它是问题 的最优解，输出这个最优解；否则将这)(P个最优解重新记为 ，返回第 2 步。若对偶单纯形算法发现了对偶问题是无界的，此时原0xILP 问题是不可行的。23 求解整数线性规划问题的分枝定界方法分枝定
24、界法可用于解纯整数线性规划和混合整数线性规划，它是目前求解整数线性规划的成功方法之一。本章介绍该方法的基本思想和计算步骤。2.3.1 分枝定界方法的基本思想分枝定界法是以“巧妙”的枚举问题(1.2)的可行解的思想为依据设计的。与割平面方法类似，求解不是直接针对问题(1.2)，而是求解它的松弛问题 (1.3)。设问2019-1-3题(1.3)的最优解为 ，则 是问题(1.2) 的最优值的一个下界。若 的某个分量 不是0x0cT 0x0ix整数，由于问题(1.2)的整数最优解的第 个分量必定落在区域 或 中，i ii1ii因此可将原问题(1.2)分为两个子问题来求解。这两个子问题是：(2.11)0
25、min.TiicxAbstx为 整 数 向 量和(2.12)0min.1TiicxAbstx为 整 数 向 量这两个子问题将问题(1.2)的可行域分成两部分，且把不满足整数要求的问题 (1.3)的最优解 排斥在外。这一步称为分枝。分别用(2.11)和(2.12) 代替原问题(1.2) ，则分枝过程一0x直可以进行下去。每得到松弛问题的一个解，都会修正原问题目标函数最优值的下界。假设在某一时刻，到当时为止所得到的最好的满足整数要求解的目标函数值是（目标函数最优值的一个上界） ，而且我们正打算由某一点 分枝，该点所对应的 ILPmz kx的下界为 ，若 ，这意味着点 的所有后代得到的各个解 的目标
26、函数kTkxcmkzkxx值均有 mkTzc因此无须由 继续分枝。在这种情况下，我们说 已被剪枝。这个过程可以“巧妙”地kx x减少一些不必要的分枝。总之，分枝定界方法的思想是按照下面三步进行的：第一步，通过求解松弛问题对原问题进行分枝；第二步，通过每个松弛问题的最优目标函数值对原问题的目标函数值定界；第三步，一旦某个松弛问题的最优解是整数，就得到原问题最优解的一个近似，其目标函数值就是原问题目标函数值的一个近似值（上界） 。如果以后某个松弛问题的最优目标函数值比这个近似值大，那么这个松弛问题及它的所有子问题都不用求解了。之所以说分枝定界方法是“巧妙”的枚举方法，主要是因为“剪枝”步骤，通过“
27、剪枝”步骤就不用枚举问题的所有可行解。2019-1-32.3.2 分枝定界法计算步骤第 1 步 求解问题 (1.3)。若问题(1.3)没有最优解（包括无可行解和无有限最优解） ，则问题(1.2)也没有最优解；若问题 (1.3)有最优解 ，且 是整数向量，则 是问题(1.2)0x0x的最优解，输出 ；否则，令 ， ， ，转第 2 步。0x0:U:第 2 步 若 ，则转第 7 步，否则，选择一个分枝点 ， ；k:k第 3 步 解 对应的松弛问题，若此问题无解，转第 2 步；k第 4 步 若 对应的松弛问题的最优值 ，则点 被剪枝，转第 2 步；xzkkx第 5 步 若 对应的松弛问题的最优解 为整
28、数，则 ， ，转第 2k 0x0Tc： 0:x步；第 6 步 若 对应的松弛问题的最优解 不是整数，按 某个非整数分量生成kx00的两个分枝点 和 ，令 ，转第 2 步；0x102120:x第 7 步 若 ， ，则原 ILP 问题无解；否则， x为原 ILP 问题的最优解，:U是最优值，计算停止。U分枝定界法的思想不仅适用于解 ILP 问题，也适用于任何组合最优化问题。2019-1-3第三章 01 规划问题及其求解方法01 规划是整数规划中的特殊情况，它的变量仅取值 0 或 1。31 01 规划问题举例某部门在今后五年中可用于投资的资金总额为 万元，有 个可以考虑的投资B)2(n项目，假定每个
29、项目最多投资一次，第 个项目所需的资金为 万元，将会获得的利润为j jb万元。问应如何选择投资项目，才能使获得的总利润最大。jc3.2 建立数学模型设投资决策变量为 11,0j jxjn决 定 投 资 第 个 项 目 ；决 定 不 投 资 第 个 项 目 ；，设获得的总利润为 ，则上述问题的数学模型为z(3.1)11max0.,njnjjzcxbBstxn或 ，显然，问题(3.1)是一个 01 规划。33 01 规划问题的解法由于 01 规划问题的特殊性，虽然上面介绍过的割平面方法和分枝定界方法都可以用来求解，但是正是由于它的特殊性，这里介绍专门用来求解 01 规划问题的一些方法。3.3.1
30、DFS 搜索法用 DFS 搜索法求解 整数规划问题（DFS 是 Depth First Search 的缩写，即深度优01先搜索的意思。典型的思想可以从下面例子看出） 。2019-1-3(3.2)123123max64.,0zxst或首先确定搜索树，假定自上而下的搜索顺序为 ，引进栈 用以记录搜索过程，213,xS栈是按后进先出的顺序来建立数据结构。属于 栈的变量定义为固定变量。 ，SFNS属于 的变量定义为自由变量。 ，作为约定栈顶元素为 ，F3120,x30x中间为 ，栈底为 。若从 中取走栈顶元素，则取出的是 ，取走之后的10x21x 3为 ，栈顶元素则为 。S2,1x图 1.1102x
31、30011搜索空间即搜索树（如图 3.1 所示） 。1) ， ，由于 ， 和 不论为 0 或 1 均不能满足20Sx1k20x13x。故 应放弃。13264x22) ，前进一步 ，再前进一步2x12,Sx， ， 。310,S3kz3) 从栈顶元素 后退，改为 ， 。30x312,0,xx3k4) 不满足约束，应放弃。12,5) ，前进一步为 ，应放弃。Sx312,Sxx6) 进入 ，不满足约束，应放弃，故后退。直到 ，312,x 0k停止。故得最优解 。213,0,xz2019-1-33.3.2 隐枚举法用隐枚举法求解 整数规划问题（隐枚举法是通过建立过滤条件而使计算工作量大01为减少的穷举法
32、，用下面的例题加以说明） 。(3.3)123123231max5()4.6(4),0zxstx或解题时，先通过试探的方法找一个可行解，容易看出 就是合于123(,)(,0)x条件的，算出相应的目标函数值 。(1)43z我们求最优解，对于极大化问题，当然希望 ，于是增加一个约束条件：(3.4)1235x后加的条件称为过滤的条件。这样，原问题的线性约束条件就变成 5 个。用全部枚举的方法，3 个变量共有 个解，原来四个约束条件，共需 32 次运算。现在增加了过滤条件328(3.4)，如按下述方法进行，就可减少运算次数，将 5 个约束条件按 顺序排好（表(0)43.1） ，对每个解，依次代入约束条件
33、左侧，求出数值，看是否适合不等式条件，如某一条件不适合，同行以下各条件就不必再检查，因而减少了运算次数。本例计算过程如表 3.1，实际只作 24 次运算。表 3.1条 件点（0） （1） （2） （3） （4）满足条件？是（）否（）值z（0，0，0）（0，0，1）（0，1，0）（0，1，1）（1，0，0）（1，0，05-233816-11102151260111015382019-1-31）（1，1，0）（1，1，1）于是求得最优解 ， 。123(,)(,01)xmax8z在计算过程中，若遇到 值已超过条件(3.4)右边的值，应改变条件 (3.4)，使右边为迄z今为止最大者，然后继续作。例如，
34、当检查点（0，0，1）时因 ，所以应将条件5(3)z(3.4)换成(3.5)12335x这种对过滤条件的改进，更可以减少计算量。注：一般重新排列 的顺序使目标函数中 的系数是递增（递减）的。在上例中，改写ixi，因为 ，3，5 是递增的。变量 也按12321335zxx 213(,)x下述顺序取值：（0，0，0） ， （0，0，1） ， （0，1，0） ， （0，1，1） ，这样，最优解容 易比较早的发现。再结合过滤条件的改进，更可使计算简化。2019-1-3第四章 整数线性规划问题的应用4.1 分配问题设有 个人被分配去做 件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只能由一nn个人去做。已知第
35、 个人去做第 件工作的效率（时间或费用）为 （ ；ij ijc1,2n） ，并假设 。问应如何分配才能使总效率（总时间或总费用）最高1,2j 0ijc（最少）？设决策变量1,0ij ijx若 分 配 第 个 人 去 做 第 件 工 作否 则 ,12,ijn那么第 个人去做第 件工作的效率为 ，从而 即为总效率， （ijijcx1nijicx1ijx）表示每件工作都有人去做， （ ）表示每个人都有工1,2jn 1nij,2n作做；于是分配问题的数学模型为 11mi,2.,01,nijinijijijzcxnstxji 或4.2 旅行售货员问题有一推销员，从城市 出发，要遍访城市 各一次，最后返回
36、 ，已0vnv,21 0v知从 到 的旅费为 ，问他应该按怎样的次序访问这些城市，使得总旅费最少？ivjijc（设 ， 为充分大的正数， ） 。Mcii,02019-1-3对每一对城市 和 ，我们指定一个变量 ，令ivj ijx10ijij vx， 如 果 推 销 员 决 定 从 直 接 进 入 ；其 它 情 况，该问题的数学模型为(1.3),00min10,.01,0,ijiijnijijijizcxjnxistujin 或为 实 数4.3 最短路问题设给定了一个有 个章点， 条弧的网络 ，每条弧 的长度为 。mn(,)NVE(,)ijijc对给定的两个章点，设为 和 ，找出从 到 的总长度
37、最短的路。1v1vm若用 表示弧 是否在这条路上，因此显然有 或 1，则问题的数学模型是ijx(,)ij 0ijx(,)(,)(,)n1,02,1.0ijijEijkiijEiEijcximst ixj或4.4 一维背包问题有一个人带一个背包上山，其可携带物品重量的限度为 。设有 种不同的物品bn可供他选择装入背包中，已知第 种物品的重量为 ，单位价值为 （j0ja0jc） 。问此人应如何选择携带物品的方案，使总价值最大？1,2jn设 为第 种物品的装入件数，则问题的数学模型是jx2019-1-311max.0,2,njnjjzcbstxjn且 为 整 数第五章 怎样求解整数线性规划问题5.1
38、 用 LINGO 求解线性规划问题 3,21,0520731345082. 203max3121 31jyxyxts yyxzj或且 为 整 数5.1.1 模型的输入使用 LINGO 求解上述整数规划模型，LINGO 程序如下：MODEL:max=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3;2*x1+4*x2+8*x3 : 0, Obj=MAX, GUBs = 3Single cols= 0Global optimal solution found at step: 4Objective value: 200.0000Branch count: 0Variable
39、Value Reduced CostX1 100.0000 -3.000000X2 0.0000000 -4.000000X3 0.0000000 -8.000000Y1 1.000000 100.0000Y2 0.0000000 150.0000Y3 0.0000000 200.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 200.0000 1.0000002 300.0000 0.00000003 100.0000 0.00000004 0.0000000 0.00000005 400.0000 0.00000006 100.0000 0.00000007 0.
40、0000000 0.00000008 0.0000000 0.00000001、 LINGO 程序注解MODEL：LINGO模型程序的开始标志。END： LINGO模型程序的结束标志。max=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3：表明目标函数是，问题为求最大值。321321 050843yyx2*x1+4*x2+8*x3=500：对应约束条件 ，其余类似。5084321x2019-1-3GIN(x1)：对应约束条件 为整数，函数 用来限定变量为整数，其余类似。1xGINBIN(y1)：对应约束条件 为01变量，函数 用来限定变量为二进制整数。yB关于 LING
41、O 的详细使用方法，参见本部分附录的LINGO 使用手册 。2019-1-3文献综述整数线性规划是规划论中近 30 年才发展起来一个重要分支。主要是由于经济管理中的大量问题抽象为模型时，人们发现许多量具有不可分割性，因此当它们被作为变量引入到线性规划中时，常要求满足取整条件。如生产计划中，生产机器多少台（整数）；人力资源管理中，招聘员工多少人（整数）；运输问题中，从一个港口到另一个港口的集装箱调运数量（整数）；另外，运作管理中的决策问题：如工厂选址、超市选址、人员的工作指派、设备购置和配置、系统可靠性设计、机床加工任务的均衡分派、线路设计中的接点串联设计、信号系统的代码设计等等，其规划模型中往
42、往须引入逻辑变量（即变量仅取 0 或 1 两个值）来反映冲突因素和抉择。因此，这些问题的规划模型不同于前述的线性规划范畴，而属于一种新的类型整数线性规划。可以毫不夸张地说，整数线性规划在实践中有比线性规划更为广泛的应用空间。【参考文献】1、刁在筠等编，运筹学，北京：高等教育出版社，2001 年2、卢开澄，单目标、多目标与整数规划，北京：清华大学出版社，19993、甘应爱等，运筹学，北京：北京：清华大学出版社，1990致 谢本论文（设计）是在指导老师张森老师指导下完成的，毕业设计期间张老师对设计的选题、开题、写作及论文修改都给予了悉心的指导和热心的帮助。张老师在百忙之中仍抽出宝贵的时间和我研究论文、谈论论文和设计中的难点,帮助我寻找解决问题的途径。严谨的治学态度,使我受益匪浅。我衷心感谢张老师，在这次论文撰写的过程中，正是有了张老师给予的帮助，才使得我能顺利完成这篇论文的写作。谢谢您！
