1、线性规划中有一项假设，是决策变量是连续的，且不必为整数。如果某个问题符合线性规划连续性及其他假设，但决策变量却必须是整数，则成为整数线性规划(ILP)。 其一般形式是： min = cTx = c1x1 + c2x2 + + cnxn （1）s.t. A x = b （2） x 0， （3）x的分量为整数 （4）其中x ，c为n维列向量，b为m维列向量，A为mn矩阵。,第四章 整数线性规划,整数线性规划类型,纯整数规划 混合整数规划 0-1整数规划,基本思想：先不考虑整数性要求，用单纯形法求出所给问题的最优解，若每个变量恰好为整数，则问题已解决；否则就设法把这个最优的极点，连同它的一个邻域，从
2、可行解集合中“切除” 。对可行解剩下部分重复上述步骤，范围逐步缩小，直到找到最优解。这将通过一个附加的约束条件（割平面）来实现，故称为割平面法。,1 割平面法,设上面规划问题中（1）（3）式所得结果为（5）,例1 max = 3x1 -x2 s.t. x1 + 2x2 1 x1 - 2x2 2 x1 + x2 3 x1，x2为非负整数,解 先不考虑整数性要求，引入松弛变量x3，x4，x5，用单纯型法求出所给问题的最优解。,最优解(8/3,1/3)T作为第一次逼近，它不是整数解，取相应的方程：x1 + x4/3 + 2x5/3 = 8/3作为诱导方程，从而得到割平面方程：y1 - x4/3 - 2x5/3 = -2/3两式相加，得：x1 + y1 =2，由于y10，所以x12。可见它“切除”了极点(8/3,1/3)T。,将割平面加入表中：,于是已得整数值的最优解(2,0)T . 对应的目标值为zmax=6.,2 分枝定界法,分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题; 在二十世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出; 由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法; 目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题及分配问题等。,于是问题可列写成：,s.t.,
