1、第7章整数线性规划 ILP 在前面讨论的线性规划问题中 最优解可能是分数或小数 但对于某些具体问题常要求解答是整数 我们称这样的线性规划问题为整数线性规划问题 IntegerLinearProgramming简记为ILP 整数规划是近20年来发展起来的规划论的一个分支 一 数线性规划问题的提出整数规划中如果所有的变量都限制为 非负 整数 就称为纯整数规划 PureILP 如果仅一部分变量限制为整数 就称为混合整数规划 MixedILP 整数规划的一个特例就是0 1规划 他的变量仅取0或1 整数线性规划问题举例1 投资决策问题某部门在今后五年中可用于投资的资金总额为B万元 有n n2 个可以投资
2、的项目 假定每个项目最多投资一次 第j个项目所需投资资金为万元 获得的利润为万元 问如何选择投资项目 才能使获得的总利润最大 设获得的总利润为z 则上述问题的数学模型为 解 设投资决策变量为 显然上述是一个决策变量只能取0或1的整数规划问题 这样的整数规划问题称为0 1规划 决策变量取0或1这个约束可以用一个非线性约束来代替 2 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物 每箱的体积 重量 可获得的利润及托运所受的限制入下表 问两种货物各托运多少箱 可使得利润最大 解 设分别为甲乙两种货物的托运箱数 设获得的总利润为z 则上述问题的数学模型为 3 旅行售货员问题 货郎担问题 第一组约束条件表示各个城市恰好
3、进入一次 第二约束条件表示各个城市恰好离开一次 第三组约束条件用以防止出现对于一个互不连通的旅行路线圈 显然这是一个混合整数规划问题 二 整数线性规划问题的求解 割平面法 1 基本思想给出整数规划 可先求其对应的线性规划问题 2 割平面法求解ILP问题的一般步骤 三 整数线性规划问题的求解 分枝定界法 BranchandBoundMethod 1 基本思想分枝定界法求解整数规划问题的基本思想是 通过分枝枚举来寻找最优解 实施的作法是 首先不考虑对变量的整数要求 求解相应的线性规划问题 如求得的最优解不符合整数要求 则把原问题分解为两部分 每一部分都增加新的约束条件以减小原线性规划问题的可行域
4、通过不断地分解 逐步逼近满足要求的最优解 直到求得最优解 在这个过程中包括了 分枝 和 定界 两个关键步骤 2 分枝定界法求解ILP问题的一般步骤根据分枝定界法的基本思想 人们归纳总结出了分枝定界法求解整数规划问题的一般步骤 这里以求目标函数值最大化问题为例加以说明 给出整数规划 可先求其对应的线性规划问题 分枝定界法可用于解纯整数规划问题 也可以用于求混合整数规划问题 在20世纪60年代初由Land和Dong提出经Dakin修正的 其优点是方法灵活并且十分便于计算机求解 所以现在它已成为求解整数规划的重要方法之一 目前已成功地应用于求解整数规划问题 生产进度表问题 旅行推销员问题 工厂选址问题 背包问题及分配问题等 分枝定界法比穷举法优越 因为它仅在一部分可行解的整数解中寻求最优解 计算量比穷举法小 但若变量数目很大 其计算工作量也是相当可观的 因此 它有时也需要与其他方法 如切割平面法 配合使用 效率更高一些 四 ILP问题的计算机求解
