1、基于人力资源安排的整数线性规划模型摘要本文研究的是葡萄酒与酿酒葡萄等级划分、相互关系以及葡萄酒质量评价的问题。关键词： 背景1 问题重述1.1 问题背景人力资源安排对于公司统筹规划，工程项目规划等方面都具有很重要的研究价值。合理有效的资源安排可以使资源得到最充分的利用，从而使所得利益最大化。1.2 数据集表 1 数学系的职称结构及工资情况表 2 不同项目和各种人员的报酬标准表 3 各项目对专业技术人员结构的要求1.3 提出问题根据上述问题背景即数据，题目要求我们建立数学模型讨论下列问题。(1) 如何合理的分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大？(2) 所有人在一周工作时间有限制的情况下
2、，如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大？2 模型假设1.假设无论技术人员在哪个项目工作，是否工作，当日都可以得到数学系结算的工资。2.假设四个项目均存在停工情况。3.假设在 C，D 两个项目工作的技术人员所开支的管理费由该数学系承担。3 符号说明ijx表示 j 项目需要 i 类型的人员数（k）ij 表示第 k 天 j 项目需要 i 类型的人员数ijc表示 i 类型的人被派往 j 项目所得费用W表示该系每日的直接收益R表示该系每日的总收入ijp表示第 i 类技术人员在第 j 个项目工作时为该系带来的净收入LC，D 两个项目的教师每天的开支管理费ik表示该系给第 i 类教师
3、每日所发工资jd表示 j 项目所需人员总数ib表示第 i 类教师的总数注：其余符号在文中使用时说明。4 问题分析4.1 问题一由于人力资源的合理分配往往决定着工程项目的质量和工作者的最大收益。所以问题一要求我们利用题目中已给的对数学系教师的各项要求来确定一个分配方案，使得工程既能完成，又可以使教师收益最大。首先，对分配方案进行预估。主要包括对出动人数，调派方案，数学系每日收益的预估。这样可以将利用计算机进行运算的结果与预估结果进行对比，从而判断结果是否最优。然后，建立整数线性规划模型。我们将求该系每天直接收益最大值的关系式设定为目标函数，并将各项对教师的条件转化为不等式作为约束条件，使得该分配
4、问题成为了一个优化问题。最后，利用 Lingo 软件求解模型，得到最优解，得到合理分配方案以及数学系每天获得的最大收益值，将方案与预估方案进行对比观察是否合理。对分配方案预估建立整数线性规划模型L i n g o 对模型求解出动人数每日收益调配方案结果对比图 1 问题一思路流程图4.2 问题二 在问题一的基础上，问题二增加了对不同职称教师工作时间的限制。所以，我们在问题一建立的整数线性规划模型的基础上，增加了时间变量和对于时间，人员的约束条件。首先，我们计算得出了所有职称教师的最大工作时间。将这四种职称教师所能工作的最大工作时间建立向量。然后，在原有模型的基础上修改目标函数和约束条件。将时间变
5、量对最大收益与人员和时间的影响体现在各表达式中。建立新的模型，我们称之为工时限制模型。最后，通过 Lingo 软件求解，得到最优解，即符合各项条件的最大收益方案。5 模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解5.1.1 分配方案预估(1)对出动人数的估计从表 1（数学系的职称结构及工资情况） ，表 2（不同项目和各种人员的报酬标准）可以看出，无论教师被调往哪个项目，数学系所得报酬均大于其每日应付工资。而且，4 个项目总共同时最多需要的人数是 50 人，多于数学系现有人数 44 人。所以为实现数学系利益最大化，必须将数学系所有教师派往各个项目。(2)对调配方案的估计由于四个项目对教师职称有要求
6、，所以我们可以通过观察各职称教师在不同项目的日收益来确定怎样调派教师，从而使数学系获得最大收益。求各职称教师在不同项目工作时为该系带来的日收益表达式如下： (j1,2)5034ijijiijijipck（1）其中，：表示第 i 类技术人员在第 j 个项目工作时为该系带来的净收入ijp：表示 i 类型的人被派往 j 项目所得费用ijc：表示该系给第 i 类技术人员每日所发工资ik由此我们可以得出 的值如下表所示：ijp表 1 各职称教师在不同项目工作时日利润教授 副教授 讲师 助教A 750（ 1p）600（ 21p）430（ 31p）390（ 41p）B 1250（ 12）600（ 2）530
7、（ 32）490（ 42）C 1000（ 13p）650（ 23p）480（ 3p）240（ 43p）项目日利润（元/天）D 700（ 14）550（ 24）480（ 34）340（ 4）由上表可知，教授，讲师和助教都应尽量调派到 B 项目，副教授应尽量调派到 C 项目。所以最后调配后的方案如下所示：表 2 预估方案的分配结果A B C D 分配情况教授副教授讲师助教总计112152163122561141111013分配完分配完分配完分配完13W= 25250（元）5.1.2 整数线性规划模型的建立问题一要求我们得到一种方案，使得在满足工程项目的各项要求的基础上，使数学系日收益最大。所以，我
8、们将数学系每天的直接收益用数学关系式表达如下： WRLQ（2）其中， ：表示该系每日的纯收益W：表示该系每日的总收入R：C，D 两个项目的专业技术人员每天的开支管理费L：表示该公司每天所发给 41 个专业技术人员的工资总额Q由题意可知 Q 为定量，Q=6*250+8*200+25*170+5*110=7900（元）所以，要使该系每日的纯收益最大，则可写为： 441135079ij ijijijcxxMaxW（3）但是还要满足各项工程项目对人员的要求条件，我们将这些条件以数学表达式的形式写出如下：（1）数学系可提供的教师数量条件如下：（数学系可提供分配的教授不超过 6 人）46jx（数学系可提供
9、分配的副教授不超过 84218jx人）（数学系可提供分配的讲师不超过 25 人）4315j（数学系可提供分配的助教不超过 5 人）41jx（2）项目 A 对专业技术人员结构的要求。（项目 A 对教授人数的要求）1x（项目 A 对副教授人数的要求）2（项目 A 对讲师人数的要求）31（项目 A 对助教人数的要求）4x（项目 A 对各类职称教师人数的要i1i=8求）（3）项目 B 对专业技术人员结构的要求。（项目 B 对教授人数的要求）12x（项目 B 对副教授人数的要求）（项目 B 对讲师人数的要求）32（项目 B 对助教人数的要求）4x（项目 B 对各类职称教师人数的要i2i=1求）（4）项目
10、 C 对专业技术人员结构的要求。（项目 C 对教授人数的要求）12x（项目 C 对副教授人数的要求）3（项目 C 对讲师人数的要求）（项目 C 对助教人数的要求）431x（项目 C 对各类职称教师人数的要i3i=1求）（5）项目 D 对专业技术人员结构的要求。（项目 D 对教授人数的要求）142x（项目 D 对副教授人数的要求）（项目 D 对讲师人数的要求）34（项目 D 对助教人数的要求）0x（项目 D 对各类职称教师人数的要求）4ii=16（6）整数约束 ijxz0ij最后，我们可以得到最终的整数线性规划模型如下： 441135079ij ijijijcxxMaxW（4）（i=1,2,3,
11、4,j=1,2,3,4）414i1=2431412368085s.tjjijjjjxxzxx （5）5.1.3 模型求解我们使用 lingo 软件，将模型代入求得结果（见附录） ，整理如下：表 3 软件求解后的分配方案A B C D教授 1 2 2 1副教授 1 1 5 1讲师 2 6 6 11助教 1 3 1 0总计 5 12 14 13下面我们采用灵敏度分析对模型进行检验，参考 Lindo 运行的结果得出下表：表 4 灵敏度结果表变量 1x1213x1421x223x24调派人数1 2 2 1 1 1 5 1灵敏度-750 -1250 -1000 -700 -600 -600 -650 -
12、550变量 31x323x3441x4243x4调派人数2 6 6 11 1 3 1 0灵敏度-430 -530 -480 -480 -390 -490 -240 -340W= 25250（元）将灵敏度按由大到小的顺序进行排列： 12314232143243431443xxxxxx（6）通过将表 2 与表 3，题目中表 3 进行对比，发现调派人数完全符合各个项目对专业技术人员的要求，软件运算结果也和预估结果相同。并且，调配方案完全符合灵敏度由大到小的排列顺序。由此说明，我们建立的模型是合理的，符合实际的。5.2 问题二的模型建立与求解5.2.1 工时限制模型的建立（1）最大工时向量的建立通过计
13、算，我们可以得到：教授的最大工时为 24 天，副教授最大工时为 40 天，讲师和助教每天都可以工作，我们将一星期累计工作天数的上限记为 Inf。将各职称的最大工时放到一星期累计工作天数的上限向量中，得到： 48,125Inf,iT（7）（2）目标函数的修改我们将时间对各项目每天的人数影响因素添加到目标函数中，得到结果如下： 7441113(k)50(k)790)ij ijkij ijcxxMaxW（8）（3）约束条件的的修改我们将时间约束添加在内，在第一问所有约束条件的基础上，添加如下约束条件：一星期中每天不同项目对教师职称的约束（第 k 天在 j 项目的第 i 类人不得超过该项目所需总人41
14、(k)ijjxd数）各职称教师总数的约束（第 k 天在 j 项目的第 i 类人不得超过第 i 类人的总人41(k)iijxb数）一星期中累计工作时间的约束（第 i 类人一星期累计工作时间不超过其最大工作时间）417()jijikxT综上所述，我们得到最终的工时限制模型为： 7441113(k)50(k)790)ij ijkij ijcxxMaxW（i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,k=1,2,3,4,5,6,7）41417243141260(k)(k)s.t85jjijijjijiijijjjxxzdxbtTxx 5.2.1 模型求解使用 lingo 软件求解的结果如下：6 模型的评价与推广6.1 模型的优点（1）高效简便。采用 lingo11 专业软件对模型进行求解，使运算更为简便快捷，效率更高；（2）结果可靠。本文建立的整数线性规划模型和工时限制模型，通过对比预估结果和灵敏度可知，模型可靠实际，结果准确。(3）模型简单易懂，方法灵活，具有较强的推广性。6.2 模型的缺点本文所建立的模型中，约束条件较多，可能对程序编程造成一定难度。6.3 模型的推广本文在建立的模型中，能巧妙将资源分配问题转化为优化问题求解，可广泛用于施工方案，地址选取等实际问题中，有较强的推广性。
