1、习题2-1 判断下列说法是否正确：（1 ） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；（2 ） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；（3 ） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；（4 ） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；（5 ） 若线性规划问题中的 bi，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；（6 ） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 xi0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若 yi=0，说明在最优生产计划中
2、的第 i 种资源一定有剩余。2-2 将下述线性规划问题化成标准形式。无 约 束43214321432,0,14. 5max)(xxst xz无 约 束32132132,0,64.minxxstxz解：(1)令 ，增加松弛变量 ，剩余变量 ，则该问题的标准形式如56下所示： 12341234565max41. 2,0zxxstxx(2)令 ， ， ，增加松弛变量 ，则该问题的标z1334x准形式如下所示： 123 3 124max. 6,0zxstxx2-3 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 0,825943.51ma12
3、xstz0,246153.ma1xstz解：(1)图解法最优点为 B 点，最优解为 x1=1,x2=3/2，最优值为 35/2。单纯形表计算过程：初始单纯形表（对应 O 点）z x1 x2 x3 x4 RHSz 1 -10 -5 0 0 0x3 0 3 4 1 0 9 9/3x4 0 5 2 0 1 8 8/5第一次迭代（对应 A 点）z x1 x2 x3 x4 RHSz 1 0 -1 0 2 16x3 0 0 14/5 1 -3/5 21/5 21/5/14/5x1 10 1 2/5 0 1/5 8/5 8/5/4/5第二次迭代（对应 B 点，即最优解）5 x1+ 2 x2= 8x2x1O
4、( 0 , 0 )A ( 8 / 5 , 0 )B ( 1 , 3 / 2 )3 x1+ 4 x2= 9z x1 x2 x3 x4 RHSz 1 0 0 5/14 25/14 35/2x2 5 0 1 5/14 -3/14 3/2x1 10 1 0 -1/7 2/7 1(2)图解法最优点为 B 点，最优解为 x1=15/4,x2=3/4，最优值为 33/4。单纯形表计算过程：初始单纯形表（对应 O 点）z x1 x2 x3 x4 RHSz 1 -2 -1 0 0 0x3 0 3 5 1 0 15 15/3x4 0 6 2 0 1 24 24/6第一次迭代（对应 A 点）z x1 x2 x3 x
5、4 RHSz 1 0 -1/3 0 1/3 8x3 0 0 4 1 -1/2 3 3/4x1 2 1 1/3 0 1/6 4 4/1/3第二次迭代（对应 B 点，即最优解）z x1 x2 x3 x4 RHSz 1 0 0 1/12 7/24 33/4x2 1 0 1 1/4 -1/8 3/4x1 2 1 0 -1/12 5/24 15/42-4 已知线性规划问题，写出其对偶问题： 54321 240ma xxz 6 x1+ 2 x2= 2 4x2x1O ( 0 , 0 )A ( 4 , 0 )B ( 1 5 / 4 , 3 / 4 )3 x1+ 5 x2= 1 5057234219. 421j
6、xxts026332.314314jxxxts无 约 束321321,0,64.xxkts（1）(2)解：(1)原问题的对偶问题为： 121212min957043.5,0ysty(2)原问题的对偶问题为： 12344123124max68.6,0yysty2-5 运用对偶理论求解以下各问题：（1）已知线性规划问题：),(j3168minz),1(jminxz其最优解为（a）求 k 的值；（b）写出并求出其对偶问题的最优解。解：原问题的对偶问题为： 1212mx46.0ystky无 约 束 ，设该对偶问题的三个人工变量为 ，由于原问题的最优解中的123,ssy，则根据互补松弛性，所增加的人工变
7、量 ，则：13,0x 130,ssy， 。2y12yk另外，原问题的最优值 ，也*123(5)2(1)zx为对偶问题的最优值，即： 。46y结合上述三式可得： *120yk（2）已知线性规划问题：其对偶问题的最优解为， 。试根据对偶理论求出原问题的最优解。1235,0,1xx4321maxxz0,.43214xts2.1y.解：首先写出原问题的对偶问题如下： 122121min0.34,0ysty由于该对偶问题的最优解为 ，代入对偶问题的约束条件中可*12.,0.y得，即对偶问题中的松弛变量 。则根据互121.6.34,0sty1234,0,ssyy补松弛性可知，原问题中的决策变量 必为 0。
8、12,x将 =0 代入原问题中的约束条件，可得：12,x。又因为 均不为 0，则同样根据互补松13420s*12.,.y弛性可知， 。则有： 。求解该方程组可得：12,sx340x。34,（3）已知线性规划问题: 0,12.max3211stz试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。解：首先写出原问题的对偶问题如下：1212min.0ysty，由于该对偶问题中前两个约束条件所确定的可行域为空集，可知该对偶问题无解。则根据对偶性质可知，原问题无解可无界。另外， 必为原问题的解之一，则可证原问题无界。(0,)x2-6 已知某求极大值线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯
9、形表如表 2-44 所示，求表中各括弧内未知数的值。表 2-44 初始单纯形表及最终单纯形表z x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHSz 1 -3 -2 -2 0 0 0 0x4 0 1 1 1 1 0 0（b）x5 0 (a) 1 2 0 1 0 15x6 0 2 (c) 1 0 0 1 20：z x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHSz 10（k）（g） 0 5/4（j）95/4x4 0 0 0（d） (l) -1/4 -1/4 5/4x1 3 1 0（e） 0 3/4（i） 25/4x2 2 0 1（f） 0（h） 1/2 5/2解：由初始单纯形表中的基变量为 可知， 为最终单纯
10、形表中456,x1B所对应的消耗系数矩阵，即：456,1/41/03/2Bih则有： ，可求得：1021dBaecf2,3/4,5/,acde。1/21fhi另外： ，可求得 。1/5420/bB10b再由检验数计算公式 可求得 ；而基变1jBjCpc36/4,1/量的检验数必为零，所以 。即 。20,/,kgj2-7 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。0,523. 184min131321xst xz0,15642.3min321xstxz解：(1) 令 z， =- z 引进松弛变量 x4，x 50，标准化12313425a 8.,0xstx列出初始单纯形表z， x1 x2 x3 x4 x
11、5 RHSz， 1 4 12 18 0 0 0x4 0 -1 0 -3 1 0 -3x5 0 0 -2 -2 0 1 -5-12/-2 -18/-2选取 x2 进基。即选取 a22=-2 为主元，进行旋转运算，得到以下单纯形表。z， x1 x2 x3 x4 x5 RHSz， 1 4 0 6 0 6 -30x4 0 -1 0 -3 1 0 -3x2 -12 0 1 1 0 -1/2 5/2-4/-1 -6/-3选取 x4 出基，a 13=-3 为主元进行旋转运算。z， x1 x2 x3 x4 x5 RHSz， 1 2 0 0 2 6 -36x3 -18 1/3 0 1 -1/3 0 1x2 -1
12、2 -1/3 1 0 1/3 -1/2 3/2当前基既是原始可行基，又是对偶可行基，因而是最优基。最优解为x1=0，x 2=3/2，x 3=1，max z ， =-36，即 min z=36(2) 令 z， =- z 引进松弛变量 x4，x 50，标准化12323415ma.6,0stx列出初始单纯形表z， x1 x2 x3 x4 x5 RHSz， 1 5 2 3 0 0 0x4 0 -3 -1 -2 1 0 -4x5 0 -6 -3 -5 0 1 -10-2/-3 -3/-5选取 x3 进基。即选取 a23=-5 为主元，进行旋转运算，得到以下单纯形表。z， x1 x2 x3 x4 x5 R
13、HSz， 1 7/5 1/5 0 0 3/5 -6x4 0 -3/5 1/5 0 1 -2/5 0x3 -3 6/5 3/5 1 0 -1/5 2当前基既是原始可行基，又是对偶可行基，因而是最优基。最优解为x1=0，x 2=0，x 3=2， max z， =-6，即 min z=62-8 已知 2-45 表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中 x4 , x5 为松弛变量，问题的约束为形式。表 2-45 最终单纯形表z x1 x2 x3 x4 x5 RHSz 1 0 4 0 4 2X3 0 1/2 1 1/2 0 5/2X1 1 -1/2 0 -1/6 1/3 5/2（1）写出原线性规划问题
14、；（2）写出原问题的对偶问题；（3）直接由原问题的最终单纯形表写出对偶问题的最优解。解：（1）由于 x4 , x5 为松弛变量，则从表 2-45 可知， 。设原1/2063B问题模型为：1231212323ma.,0zccxaxbst则由初始单纯形表和最终单纯形表之间的关系可得：，则可得到 ，1213/120aB 10a， ， ， ， 。121321a3，则可得 ， 。25/b15b20另外，由最终单纯形表中检验数的计算公式可知，则可得 ， ， 。3121463cc16c2310c综上，原线性规划模型为： 123231max605.,zxst（2）该模型的对偶问题为： 12212in5036.
15、,0ysty（3）由原问题的最终单纯形表可以得出，单纯形表中的检验数行是对偶问题决策变量的值。其中， 对应对偶问题松弛变量的值， 对应对偶问13: 45:题决策变量的值。则对偶问题的最优解为： ， 。14y22-9 已知线性规划问题：先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。（1）目标函数变为 321maxxz（2）约束右端项由 变为 ;46（3）增添一个新的约束条件 。231x解：首先用单纯形法得到原问题的最优单纯形表。 z x1 x2 x3 x4 x5 RHSz 1 0 3 1 2 0 12123123max6.4,0zxstx1 2 1 1 1 1 0 6x5
16、 0 0 3 1 1 1 10且可得到，最终单纯形表中 。B（1）由于 x2 在最优单纯形表中是非基变量，因此只影响它本身的检验数。计算： 2125222()(103)0zcycc得到 时问题的最优解不变。但由于 由-1 变为 3，此时必然造成检验数的符2号发生变化，相应的单纯形表如下：z x1 x2 x3 x4 x5 RHSz 1 0 -1 1 2 0 12x1 2 1 1 1 1 0 6x5 0 0 3 1 1 1 10以 为主元，对该单纯形表进一步迭代可得：2az x1 x2 x3 x4 x5 RHSz 1 0 0 4/3 7/3 1/3 46/3x1 2 1 0 2/3 2/3 -1/
17、3 8/3x2 3 0 1 1/3 1/3 1/3 10/3此时最优解变为 。目标函数值变为 46/3。238/,/,0x（2）当初始单纯形表中右端常数从(6,4) T 变为(3,4) T 时，即右端常数第一项减少 3，则最终单纯形表中的右端常数项应为原最终单纯形表中的右端常数与 B-1 中第一列与（-3）乘积之和，即： (6,10) T+(-3)*(1,1) T =(6-3,10-3)=(3,7) T。则可知，最优解变为 ，最优值变为 27。123,7,0xx（3）先将原问题最优解变量值代入，因有-6+0=-627，即该产品值得生产。（4）由原问题的最优单纯形表可知，该问题对偶问题的最优解为
18、：，即劳动力的影子价格为 0.2，材料的影子价格为 0.6。120.,.6y而市场上材料的价格仅为 0.4。由于影子价格市场价格，此时可以通过购买材料进行生产。设从市场上购买 个单位的材料，则问题的最优单纯形表变为：z x1 x2 x3 x4 x5 RHSz 1 0 2 0 1/5 3/5 27+ 3x1 3 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5- 1x3 4 0 1 1 -1/5 2/5 3+ 25此时当 ，即 时，问题的最优解为55。但当 时，右端项第一行=0,k+10=0,10-k=0,24-k=0,18-k=0。取前述不等式解的交集，可得 k 的取值范围为：3=k=10。2-14 某
19、糖厂每月最多生产糖 270 t，先运至 A1A2A3 三个仓库，然后再分别供应五个地区的需要。已知各仓库的容量分别为 50,100,150（t） ，各地区的需要量分别为 25,105,60,30,70（t） 。已知从糖厂经各仓库然后供应各地区的运费和存储费如表2-50 所示。表 2-50 运费及存储费B1 B2 B3 B4 B5A1 10 15 20 20 40A1 20 40 15 30 30A1 30 35 40 55 25试确定一个使总费用最低的调运方案。 （暂时不用考虑本题，待和出题老师核实后再公布该题答案）2-15 一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许的载重量如表 2-
20、51和 2-52 所示，现有三种货物待运，已知有关数据列于表 2-27（b）2-51 容积及最大允许的载重量项目 前舱 中舱 后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1500容积（ m3） 4000 5400 15002-52 待运货物单件体积、重量及运价商品 数量（件） 每件体积（m 3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过 15%,前后舱之间不超过 10%。问该货轮应装载
21、A、B 、C 各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。24-K 17 18-K解：设决策变量 （ ）表示由前、中、后舱装载货物 、ijx1,23;,.j A、 的数量，则模型为：BC3331211ma0+760iiiPxs.t. ， ，12138+65x21238+531238+6510x（船舱载重量约束）， ，121307402123074（船舱体积约束）3+5x， ， （货物数量约束）160i3210ix3180ix， ， ，33121.85jjjjx33121.5jjjj332110.85jjjjxx， ， （载重量33211.0jjjj3311.90jjjjx3311.j
22、jjj比例约束）2-16 一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容 5000 担的仓库。1月 1 日，公司拥有库存 1000 担杂粮，并有资金 20000 元。估计第一季度杂粮价格如表 2-53 所示。如买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且规定“货到付款” 。公司希望本季末库存为 2000 担。问：应采取什么样的买进与卖出的策略使 3 个月总的获利最大？（列出问题的线性规划模型，不求解）表 2-53 各月份的进货单价及出货单价月份 进货价/（元/担） 出货价/（元/担）1 2.85 3.102 3.05 3.253 2.90 2.95解：设决策变量 （ ）表示 1、2、3 月买
23、进、卖出的杂粮担数，ijx,23;,.j则模型如下： 122321213max3.+.5.9-.85.0-.9Pxxxs.t. ，120-0， （仓库容量约束）12+5x， （季末库存约束）1312-0x，220.8.，112-5+-5+.xx（资金约束）2 12.3.03-.9+.50x， ， （“下120-x12-x1320-x月卖出”约束）2-17 某农户年初承保了 40 亩土地，并备有生产专用资金 25 000 元。该户劳动力情况为：春夏季 4 000 工时，秋冬季 3 500 工时。若有闲余工时则将为别的农户帮工，其收入为：春夏季 5 元/ 工时，秋冬季 4 元/ 工时。该户承包的地
24、块只是以种植大豆、玉米、小麦，为此已备齐各种生产资料，因此不必动用现金。另外，该农户还饲养奶牛和鸡。每头奶牛每年需投资 4 000 元，每只鸡需投资 30 元。每头奶牛需用地 1.5 亩种植饲草，并占用劳动力：春夏季 50 工时、秋冬季 100 工时，每年净收入 4 000 元。每只鸡占用劳动力：春夏季 0.3 工时、秋冬季 0.6 工时，每年净收入 100 元。该农户现有鸡舍最多能容纳 300 只鸡，牛棚最多能容纳 8 头奶牛。三种农作物一年需要的劳动力及收入情况见表 2-54。问该农户应如何拟定经营方案才能使当年净收入最大？试建立该问题的数学模型。表 2-54 三种农作物需要的劳动力及收入
25、情况需用工时（工时/ 亩）种类春夏季需工时 秋冬季需工时 净收入/（元/ 亩）大豆 20 50 500玉米 35 75 800小麦 10 40 400解：设决策变量 表示饲养牛、鸡的头数( )，决策变量 为种植大豆、玉ix1,2ijy米和小麦的亩数( )，则模型如下：1,23j12312 12123max4050840 +5(-.-)(5-0.6-57-40)Pxyyxys.t. （土地面积约束）123.=4xy（资金约束）40+50， （鸡舍、牛棚约束）18x2，1235-.3-40y（劳动力约束）120675x2-18 对某厂 I，II，III 三种产品下一年各季度的合同预订数如表 2-5
26、5 所示。表 2-55 三种产品下一年各季度的合同预订数季度产品1 2 3 4I 1 500 1 000 2 000 1 200II 1 500 1 500 1 200 1 500III 1 000 2 000 1 500 2 500该三种产品 1 季度初无库存，要求在 4 季度末各库存 150 件。已知该厂每季度生产工时为 15 000 h，生产 I，II，III 产品每件分别需时 2、4、3 h。因更换工艺装备，产品 I 在 2 季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品 I、II 每件每迟交一个季度赔偿 20 元，产品 III 赔偿 10 元；又生产出的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为 5 元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用为最小（要求建立数学模型，不需求解） 。解：设 Xij 为第 j 季度生产的产品 i 的数量，sij 为第 j 季度末需库存的产品 i 的数量，Fij 为第 j 季度末交货的产品 i 的数量，R ij 为第 j 季度对产品 i 的预订数，则有 0, )3,21(,50)4,321(3425)0(min11112 31231ijij jkiijijjkijijijjj ijijjjjFsxRixjsFZ
