1、第二课时,课堂互动讲练,知能优化训练,第二课时,课前自主学案,课前自主学案,1等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母d表示. 2等差数列的通项公式： _.,公差,ana1(n1)d,an，an2,充要,思考感悟 1两个数a，b的等差中项唯一吗？ 提示：唯一,2等差数列的性质 (1)若mnpq(m、n、p、qN)，则aman_. (2)下标成等差数列的项(ak，akm，ak2m，)仍组成_ (3)数列anb，(，b为常数)仍为_. (4)an和bn均为_ ，则anbn也是等差数列 (5)an的
2、公差为d，则d0an为_数列；d0an为_数列；d0an为_数列.,apaq,等差数列,等差数列,等差数列,递增,递减,常,(nm)d,首末两项的和,思考感悟 2若amanapaq，则一定有mnpq吗？ 提示：不一定例如在等差数列an2中，m，n，p，q可以取任意正整数，不一定有mnpq.,3等差数列的设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设ana1(n1)d(nN) (2)对称设法：当等差数列an 的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数n为偶数时，可设中间两项分别为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad
3、，ad，a3d，.,课堂互动讲练,【分析】 解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式,等差数列an中，已知a2a3a10a1136，求a5a8.,【解】 法一：根据题意设此数列首项为a1，公差为d，则： a1da12da19da110d36， 4a122d36,2a111d18， a5a82a111d18. 法二：由等差数列性质得： a5a8a3a10a2a1136218.,【点评】 法一设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想法二运用了等差数列的性质：若mnpq(m，n，p, qN)，则amanapaq.
4、,自我挑战1 已知an为等差数列，a158，a6020，求a75.,(1)三个数成等差数列，和为6，积为24,求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为8，求这四个数 【分析】 由题目可获取以下主要信息： 根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为ad，a，ad(d为公差)；,四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d) 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解,【解】 (1)法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d， 则这三个数分别为ad，a，ad， 依题意，3a6且a(ad)(ad)24，
5、 所以a2，代入a(ad)(ad)24. 化简得d216，于是d4， 故三个数为2,2,6或6,2，2.,法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为 a，ad，a2d， 依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24， 所以a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(2d)24,4d212， 即d216，于是d4，所以三个数为2,2,6或6,2，2.,(2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四个数成递增等差数列，所以d0， d1，故所求的四个数为2,0,2,4. 法二
6、：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，,【点评】 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量,自我挑战2 已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两项之积比中间两数之积小18，求这四个数,【点评】 观察数列递推公式的特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列的问题常用的方法有：平方法，倒数法，同除法，开平方法等,等差数列的一些重要结论 (1)公差为d的等差数列，各项同加一常数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d. (2)公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd. (3)数列an成等差数列，则有,aman(mn)d，m，nN， apaqapkaqk，q，p，kN. (4)公差为d的等差数列，取出等距离的项，构成一个新的数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差) (5)m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的数列，此数列仍是等差数列，其公差等于原来m个数列公差之和,
