1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 55 不等式选讲一、选择题1.（2013安徽高考理科4） “a0” “是函数 在区间 内单()=-1fxa(0,+)调递增”的 （ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数 的简图，数形结合判断。()=-1fxa【解析】选 C.由函数 在区间 内单调递增可得其图象如图所示，(0,+),由图象可知选项 C 正确。二、填空题2. （2013陕西高考理科15）已知 a, b, m, n 均为正数, 且 ab1,
2、 mn 2, 则(am bn)(bman) 的最小值为 . 【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】 ,且仅当21)()()( 22bamnbanmbanm（时取最小值 2.bna【答案】 2.3. （2013 陕西高考文科 15）设 a, b R, |ab|2, 则关于实数 x 的不等式的解集是 .|2xab【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识 表示数轴上某点到|xa，b 的距离之和即可得解.【解析】函数 的值域为： |)(bxaxf.2|)().|,| fR时 ，因 此 ， 当所以，不等式 的解集为 R。2|x【答案】 R. 4.（2013江西高考理科15）在实数范围内，不等式 的解集为
3、|x2|1_.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义， 等价于 ，即|x2|10|x2|，即 .2x04【答案】 .,5. （2013重庆高考理科16）若关于实数 的不等式 无解，x53xa则实数 的取值范围是 a【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式 无解，即53xamin35xa因为 ,所以8)(35x【答案】 .8,6. （ 2013湖北高考理科 13）设 x，y，z R ，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z= ,则 x+y+z= 14【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的 x，y，z 的值。【解析】由柯西不等式
4、可知：（x+2y+3z） 2（x 2+y2+z2） （1 2+22+32） ，当且仅当 时取等号，此时 y=2x，z=3x ，x+2y+3z=14x= ，所以 ，123xyz 414x， ，x+y+z=214y3z6143.7【答案】 .77. （2013湖南高考理科10）已知 a,b,cR,a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2 的最小值为 .【解题指南】本题是利用柯西不等式 求23212321321 )()( bba最值 【解析】因为 ，所以6)2()94)(1( 2222 cbcba 9422ca【答案】 12.三、解答题8.（2013辽宁高考文科24）与（2013辽宁高考理科24
5、）相同已知函数 (),1.fxa其 中当 时，求不等式 的解集；()2a()4fx已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的值。x2()2afx12xa【解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.【解析】 当 时，()2a26,2,()44,.xfx当 时，由 ；2x()4261fxx当 时，由 ，不成立；44x当 时，由 ；x() 5fxx综上， 1,5或所以，当 时，不等式 的解集为2a()4fx1,5.x或记()()2hxf a则,0,()42,.xa由 得 ，()(fxfx()2hx即 14242aax由已知不等式 的解集为()(fxf1x亦即 的解
6、集为()hx12所以 解得 24. 12a3.a9.（2013新课标高考文科24）与（2013新课标高考理科24）相同已知函数 ,|2|1|)(axxf3)(xg（）当 时，求不等式 的解集；af（）设 ,且当 )时， ,求 的取值范围.2,x)(xgfa【解析】当 时，不等式 化为 .2(xf 03|2|12| x设函数 ，则3|1| xy1,632,5xy其图象如图所示，从图象可知，当且仅当 时， .所以原不等式的解集是 .)2,0(x0y 20|x（）当 时， .21,axaf1不等式 化为 .)(gf3x所以 对 都成立，故 ，即 .ax,x234a从而 的取值范围为 341(10.
7、（2013 湖南高考理科 20）在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴) 内的某一点 P 处修建一个文化中心.(1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点 O 为圆心 ,半径为 1 的圆的内部是保护区 ,“L 路径”不能进入保护区,请确定点
8、 P 的位置 ,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L 路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.(2)先写出点 P 到三个居民区的“L 路径”,则点 P 到三个居民区的“L 路径”长度值和的最小值为三个“L 路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理. 【解析】设点 P 的坐标为 (x,y),(1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xR,y 0,+).(2)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为 d)的最小值.
9、当 y1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|, (*)当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|24. (*)当且仅当 x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以 d1(x) 24,当且仅当 x=3 时,等号成立,d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当 y=1 时,等号成立.故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45.当 0y1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以 d=|x
10、+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d 1(x)24,故 d1(x)+d2(y)45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立.综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.11.（2013安徽高考理科20）设函数 ，证明：2 *2()1(,)3nnxxfxRN=-+（1）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；*N ,13n()0nfx=（2）对任意 ，由（1）中 构成的数列 满足 。p
11、x1npx+0 时， 内单*N -1()0,(),)2nn nxf fx=+ 故 在调递增，由于 ，当 ，1()0fx=2123nf 时 ，又 22213() ()343knknf=-+-+= ，所以存在唯一的 满足 。11()1-. .()04nn-0 时， ，故1+12()()()nnnnxfxff+=由 内单调递增知， 为单+11()0,nnnfxff+1nf在 （ 0， ） +1nnxx,故调递减数列，从而对任意 ， ，对任意 ，由于*pNnpx*pN22()10nnnxfx=-+=1+2222(). 0()()nnnpnpppnp xxf +- =式减去式并移项，利用 得+p0n，2
12、2211ikiinpnpnpk knxxx+=+-2111()npnpkknp+=-+因此，对任意 ，都有 。*pN 10npx+-12.（2013福建高考理科21）设不等式 的解集为 A,且*)(2NaxA21,3（）求 的值 （）求函数 的最小值a 2)(xaxf【解析】 （）因为 ，且 ，所以 ，且32A131a解得 ，又因为 ，所以12a*aNa（）因为 |(1)2|3.xx当且仅当(x+1)(x-2)0 即-1x2 时取到等号 ,所以 f(x)的最小值为 3.13 （2013新课标全国高考文科24）与（2013新课标全国高考理科24）相同设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（1） 13a（2）22cb【解题指南】(1)将 两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结1abc论.(2) 证 ，也即证221abc22+.bcac可分别证 然后相加即得.222+,ca【解析】 （1）由 得222,abcbac22.abcc由题设得 即21,2221cc所以 ，即 当且仅当“ ”时等号成立。31abc1.3abcabc（2）因为222+,当且仅当“ ”时等号成立.22abc故 ，即2 abcbc22+.abcac所以 .221a关闭 Word 文档返回原板块。
