1、第一讲 集合概念及集合上的运算知识、方法、技能高中一年级数学（上） （试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、 真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目 .赛题精讲集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集
2、合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例 1：求点集 中元素的个数.lg)913lg(|),yxyxy【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.【略解】由所设知 ,03及由平均值不等式，有 ,)91()(91333xyyxyx当且仅当 （虚根舍去）时，等号成立.33,1即故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等 号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例 2：已知 .,2|,34| 22 BAxxyBxxyA 求RR【思路分析】先进一步确定集合 A、B.【略解】 又,1)(2.3)1(2yA= .|3|,| yBy故【评
3、述】此题应避免如下错误解法：联立方程组消去 因方程无实根，故 .2,342xy .012,xy BA这里的错因是将 A、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例 3：已知集合 |.|1|),(,0,|),( yxyxBayxA 若 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 a的值为 .B【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.【略解】点集 A 是顶点为（ a，0） ， （0，a） ， （a，0） ， （0，a）的正方形的四条边构成（如图111）.将 ，变形为|yxy,)1|(|yx所 以，集合 B 是由四条直线 构成.,欲使 为正八边形的顶点所构成，只有
4、 这两种情况.A2a或（1）当 时，由于正八形的边长只能为 2，显然有2a ,故 .（2）当 时，设正八形边长为 l，则,2,245cosll这时， .1a综上 所述，a 的值为 ,或如图111 中 ).02(),(BA【评述】上述两题均为 1987 年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补） ，往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例 4：设集合则在下,|613,|21,|,|2 ZZZ nDnCnBnA列关系中，成立的是 （ ）A BDCCA,C DB, 【思路分析】应注意数的特征，即
5、.,6123,21Znnn【解法 1】 ,|63|,|2ZDCBnA .故应选 C.DCB, 图111【解法 2】如果把 A、B、C、 D 与角的集合相对应，令 .|63,|2,|,| ZZZZ nDnnnA 结论仍然不变，显然 A为终边在坐标轴上的角的集合，B为终边在 x 轴上的角的集合，C为终边在 y 轴上的角的集合， D为终边在 y 轴上及在直线 上的角的y3集合，故应选（C）.【评述】解法 1 是直接法，解法 2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为 我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例 5：设有集合 （其中x 表示BAxBxA 和求和 ,2|不超过实
6、数 x 之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合 A 与 B.从而 .2,.1显 然 .|x若 ,21,0,xxBAx则从而得出 于是 来源:学& 科&网).()1(3或 3,1BA【评述】此题中集合 B 中元素 x 满足“|x|3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.例 6：设，),(|,),(|),()(2 RRR xfxxfAcbxf 且如果 A 为只含一个元素的集合，则 A=B.【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手，即从方程 有重根来解之.0)(f【略解】设 有重根 ，于是0)(,|xf则 方 程,)(2x即 ,.)()2xxf从 而 )()(22x整理得 因 均为实数1
7、)2x即.,0)1(2xx故 .AB【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.例 7：已知 成立时，NMayxNyM求.1)(|),(,|),( 222a 需满足的充要条件.【思路分析】由 .,M可 知【略解】 .N由 于是，来源:学科网 ZXXK).1()2(1)( 2222 ayyxayx 得若 0)(必有 而成立的条件是 .,2MNxy即 ,04)12()(max ay即 解得 ,0)1()1(422a.41【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.例 8：设 A、B 是坐标平面上的两个点集， 来源:Zxxk.Com.|),(22r
8、yxCr 若对任何 都有 ，则必有 .此命题是否正确？0rBACrrA【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可.【略解】不正确.反例：取 B 为 A 去掉（0，0）后的集合.,1|),(2yx容易看出 但 A 不包含在 B 中.,Crr【评述】本题 这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本 P23 介绍了如下性质：一般地， 对任意两个有限集合 A、B，有来源:Zxxk.Com ).()()()( BcardrcardBAcard 我们还可将之推广为：一般地，对任意 n 个有限集合 有,21n )(321nAcard
9、)()()()() 312132 AcardAcardcrcardrAn ) 232111 nnnn 来源:Zxxk.Com.()(31A应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例 9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有 21 个优秀，物理总评 19 人优秀，化学总评有 20 人优秀，数学和物理都优秀的有 9 人，物理和化学都优秀的有 7 人，化学和数学都优秀的有 8 人，试确 定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有 5 名学生没有任一科是优秀）.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设 A=数学总评优秀的学生，B=物理总评优秀的学生 ，C=
10、化学总评优秀的学生.则 .8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,2)( ACcardBcardAcardCcrBcardAcr A),(cr .369201)()( Ccrcr这里， 是数、理、化中至少一门是优秀的人数， 是CBad )(CBAcard这三科全优的人数.可见，估计 的范围的问题与估计)(BAcard的范围有关.)(Acr注意到 ，可知7)(),(),(min ACcardcardcrCBad. 因而可得7)(0cr .4336BA又 .5)(),()(crUcrBAcardA其 中 这表明全班人数在 4148 人之间48)(41Ucard仅数学优秀的人数是 ).(Ccr )()()()( BcardCAcardBcardAadBAcr .32(rcrCad可见 同理可知 ,1)4 ,10)(cr故仅数学单科优秀的学生在 411 之间，仅物理单科优秀的学.2(5ABcr生数在 310 之间，仅化 学单科优秀的 学生在 512 人之间.
