1、第一章 集合与 常用逻辑用语常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算一、基础知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示4.子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素（若 则 ），则 称集AaB合 A 为集合 B 的子集，记为 A B 或 B A；如果 A B，并且 A B，这时集合 A 称为集合 B 的真子集（除本身以外的子集），记为 A B 或 B A.5.集合的相等：如果集合 A、B 同时满足 A B、B A，则 A=B.即两集合中的元素完全
2、相同.6.补集：设 A S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记为 .Cs7.全集：如果集合 S 包含所要研究的各个集合，这时 S 可以看做一个全集，全集通常记作U.8.交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A B.9.并集：一般地，由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A B.10.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ，如 .13x11.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集（单元集，二元集，三元集等）.12.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集
3、.13.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.14.常用数集的记法：自然数集记作 N，正整数集记作 N+或 N ，整数集记作 Z，有理数集记*作 Q，实数集记作 R，复数集 C. 二、疑难知识导析1.符号 ， ， ， ，=，表示集合与集合之间的关系，其中“ ”包括“ ”和“=”两种情况，同样“ ”包括“ ”和“=”两种情况.符号 ， 表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性” ，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性” 、 “无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出
4、的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B= 易漏掉的情况 .AB5. 、 、 、 分别表示函数()xyf()yfx,)()yfx（ ()gfx定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式 的解集.6.要注意应用 AB、 A B A、 A B B、 UAUB、 A( UB)这五个关系式的等价性7.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.8.若集合中含有参数，须对参数进行分类
5、讨论，讨论时既不重复又不遗漏，并检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误9.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.10.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 三、常用结论导引1.设集合 ，则集合 A 的子集个数为 ，真子集个数为 ，naa,.A321n212n非空子集个数为 ，非空真子集个数为 .n 2n2. B3. AA4.设集合 ， ， 是 的两个非空子集，且 中的最大数小于nS,32,1 )(*NBSA中的最小数，则这样的集合对 的个数是 .B, 12)(n四、经典例题导讲【例 1
6、】 已知集合 M=y|y =x21,xR,N=y| y =x1,xR，则 MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或 y=2 Dy|y1解：M= y|y=x21,xR= y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN= y|y1y|(yR)= y|y1, 应选 D注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y=x21、y|y=x21, xR、( x,y)|y=x21, xR，这三个集合是不同的【例 2】 已知 A=x|x2 3x2=0,B= x|ax2=0且 AB=A，求实数 a 组成的集合C解：AB=A B A 又 A=x|x2 3
7、x2=0=1，2B= 或 C=0 ，1，221或【例 3】已知 m A,n B, 且集合 A= ，B= ，Zax,| Zax,12|又 C= ，则有： （ ）Zax,4|A m+n A B. m+n B C.m+n C D. m+n 不属于 A，B，C 中任意一个解： m A, 设 m=2a1,a1 Z, 又 n , n=2a2+1,a2 Z , m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 Z , m+n B, 故选 B.【例 4】 已知集合 A=x|x23x100，集合 B=x|p1x2p1若 B A，求实数 p 的取值范围解：当 B 时，即 p12p1 p2.由 B A 得：2p1 且
8、2p15.由3p3. 2p3当 B= 时，即 p12p1 p2.由、得：p3.点评：从以上解答应看到：解决有关 AB= 、AB= ，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题【例 5】 已知集合 A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac 2若 A=B，求 c 的值解：分两种情况进行讨论 （1）若 ab=ac 且 a2b=ac 2，消去 b 得：aac 22ac=0，a=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a0c 22c1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解（2）若 ab=ac 2且 a2b=ac
9、，消去 b 得：2ac 2aca=0，a0，2c 2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又 c1，故 c= 1点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例 6】 设 A 是实数集，满足若 aA，则 A， 且 1A.a1若 2A，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.A 能否为单元素集合？请说明理由.若 aA，证明：1 A.a1求证：集合 A 中至少含有三个不同的元素.解：2A 1A A 2A2 A 中至少还有两个元素：1 和 1如果 A 为单元素集合，则 a 即 02a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集aA A A A，即 1 Aa1a
10、1a由知 aA 时， A， 1 A .现在证明 a,1 , 三数互不相等.1若 a= ,即 a2-a+1=0 ，方程无解，aa1 a1若 a=1 ，即 a2-a+1=0，方程无解a1 若 1 = ，即 a2-a+1=0，方程无解1 .a1综上所述，集合 A 中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.【例 7】i 是虚数单位，若集合 S1,0,1，则( )Ai S Bi 2 S Ci 3 S D. S2i解 i 21，1 S，故选 B.五、典型习题导练1. 已知 ,则集合 M 与 P 的关系是 ( A )21,1,MyxRPxaRA. M=P B. C . P
11、D. P 2、集合 ，则 = （ C 2,AxyByxAB）A、 B、 C、 D、0,10,10y解析：A=R， ,A3、已知集合 ， ，则 （ C 1|2xy,1|AxyB）A、 B、 C、 D、1,0)0,(0,1,解析： ,2,1,A4、已知集合 M x| ， N y|y3 x21， xR ，则 MN （ C 0)(3）A、 B、 x|x1 C、 x|x1 D、 x| x1 或 x0解析： M x|x1 或 x0 ， N y|y1故选 C5、已知集合 的集合 T= ( A )TSS则 使,|2|A、 B、 C、 D、|x2|x21|x12|x解析：显然 S=T， 12,016.设 ，若
12、，求 a 的0)(|,4| 222 aBA值解析： B A , 由 A=0，-4，B= ， 或 B=0,或 B=-4，或AB=0,-4(1)当 B= 时，方程 无实数根，则 =01)(22axx,解得 ；0)1(4)(2a(2)当 B=0时，方程 有两等根均为 0，则 , 01)(22axx 01)(2a解得 ；1a(3)当 B=-4时，方程 有两等根均为-4，则 01)(22axx 168)(2a无解；(4)当 B=0，-4时，方程 的两根分别为 0，-4，则)(22xx解得 014)(2a1a综上所述： 或7.已知 A=x| ， B=x| ，若 A B，求实数 m 的取值范围2mx25x解析：（1） A 时， A B ，解得： ；1m3（2） A= 时， ，得 .综上所述， m 的取值范围是（ ,223
