1、 新课落实 实效课堂 助推您的教学，让课堂出彩！活动 1 知识准备如图 1166，在 RtABC 中，C90，tanB ，BC2 ，则 AC 等于(A)32 3A3 B4 C4 D63图 1166活动 2 教材导学(1)已知：如图 1167 所示，在 RtABC 中，ACB90，AB10 cm，AC8 cm， BC6 cm，且 B1，B 2，B 3 是线段 AB 的四等分点，C 1，C 2，C 3 是线段 AC 的四等分点图 1167填写下表：线段比 BCAB B1C1AB1 B2C2AB2 B3C3AB3比值 _ _35 _ _35 _ _35_ _35线段比 ACAB AC1AB1 AC2
2、AB2 AC3AB3比值 _ _45 _ _45 _ _45 _ _45(2)当A 的大小固定时，通过(1)，你能发现 ， ， ， 四者之间有什么关系BCABB1C1AB1 B2C2AB2 B3C3AB3吗？ ， ， ， 四者之间的关系又如何呢？如果改变 B1，B 2，B 3 的位置(始终保持ACABAC1AB1AC2AB2 AC3AB3B1C1，B 2C2，B 3C3 与 AC 垂直 )呢？由此你能得出什么结论？答案 当A 的大小固定时， ， .改变BCAB B1C1AB1 B2C2AB2 B3C3AB3 ACAB AC1AB1 AC2AB2 AC3AB3B1，B 2，B 3 的位置，它们的
3、比始终相等结论略 知识链接新知梳理知识点一、二 知识点一 正弦在 Rt ABC 中，A 是锐角A 的对边与_斜边_的比叫做A 的正弦，记作_sinA_，即 sinA_ _A的 对 边斜 边 知识点二 余弦在 Rt ABC 中，A 是锐角A 的_邻边_与_斜边_的比叫做A 的余弦，记作_cosA_，即 cosA_ _A的 邻 边斜 边 知识点三 锐角三角函数锐角 A 的正弦、余弦和正切都是 A 的三角函数(trigonometric function) 知识点四 梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系梯子的倾斜程度与正弦值和余弦值的大小均有关系：sinA 的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡
4、(其中 A 为梯子与水平面的夹角)探究问题一 利用三角函数求线段的长度例 1 在 RtABC 中，C90，BC 6，且 sinB ，试分别求出 AC，AB 的长35解析 在 RtABC 中，C 90，知B 的对边为 AC，邻边为 BC，斜边为 AB，通过所给条件，利用勾股定理可以解决解：在 RtABC 中，C90，sinB .设 AC3x，则 AB5x.ACAB 35又由 AB2AC 2BC 2，知(5x)2(3x) 26 29x 236，解得 x (负值已舍)32AC3x ，AB5x .92 152点评 借助正弦函数的定义，把握准图形的特征，确定出B 的对边、邻边以及直角三角形的斜边是解决本
5、题的关键所在，同时在直角三角形中运用勾股定理为计算提供有力保障是不可忽视的探究问题二 利用已知三角函数值，求其他三角函数值例 2 在ABC 中，C90，sinB ，求 cosB 的值45解析 先根据正弦函数值找出该直角三角形三边的数量关系，再利用余弦函数的定义求解解：如图 1168，在ABC 中，C90，sinB ，不妨设 AB5x，AC4x，45由勾股定理可得 BC 3x，AB2 AC2cosB .BCAB 35图 1168归纳总结 “已知锐角 的一个三角函数值，求角 的其余三角函数值”这类题目应熟练掌握，同时要注意数形结合思想在题目中的应用备选探究问题 三角函数的综合运用例 3 如图 11
6、69，在 RtABC 中，C90，AC12，BC5.图 1169(1)求 sin2Acos 2A 的值；(2)比较 sinA 和 cosB 的大小；(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由解析 先解答 (1)(2)两个问题，看它们的结果有何特殊性，再考虑问题 (3)显然，在RtABC 中，已知两直角边长求斜边长，可应用勾股定理；再利用两直角边长与斜边长的比分别求出 sinA，cosA，cosB 的大小，然后计算 sin2Acos 2A 的值，比较 sinA 和 cosB 的大小来源:gkstk.Com解：C90，AC12， BC5，AB 13.
7、AC2 BC2 122 52sinA ，BCAB 513cosA ，ACAB 1213cosB .BCAB 513(1)sin 2A ，(513)225169cos2A ，(1213)2144169sin 2Acos 2A 1.25169 144169(2)sinAcosB.(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即对任意直角三角形中的锐角 A 有 sin2Acos 2A1.在 Rt ABC 中，若C 为直角，则必有 sinAcosB.理由如下：设在任意 RtABC 中，C90，sin 2A ，cos 2A ，(BCAB)2(ACAB)2sin
8、 2Acos 2A (BCAB)2(ACAB)2 1.BC2 AC2AB2 AB2AB2sinA ，cosB ，sinAcosB.BCAB BCAB归纳总结 锐角三角函数之间具有如下关系：(1)互余关系：sinA cos(90 A)，cosAsin(90 A)；(2)平方关系：sin 2Acos 2A1；(3)相除关系：tanA ；sinAcosA(4)倒数关系：tanAtan(90 A)1.一、选择题1如图 1170，在 RtABC 中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的是( )图 1170AsinA BtanA 32 12CcosB DtanB32 3解析 D 在 RtABC 中
9、，AC ，tanB .AB2 BC2 3ACBC 32如图 1171，在 RtABC 中，C90，AB6，cosB ，则 BC 的长为( )23图 1171A4 B2 5C. D.181313 121313解析 A 由余弦的定义可得 cosB .又AB6，BC 4.故选 A.BCAB 233把ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值( )A不变 B缩小为原来的 来源:gkstk.Com13C扩大为原来的 3 倍 D不能确定答案 A4已知甲、乙两个山坡的坡角 ， 满足 sin0.681，sin0.3981，则甲的坡度与乙的坡度之间的关系是( )A甲的坡度比乙的坡度大B乙
10、的坡度比甲的坡度大C两个坡度一样D无法确定答案 A5在 RtABC 中，C90，若 sinA ，则 cosA 的值是 ( )513A. B. C. D.512 813 23 1213答案 D6等腰三角形的底边长为 10 cm，周长为 36 cm，那么底角的余弦值是( )A. B. C. D.513 1213 1013 512解析 A 等腰三角形的腰长为 (3610)13(cm)，所以底角的余弦值为 .12 513图 11727如图 1172，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D.若AC ，BC2，则 sinACD 的值为( )5A. B. C. D.53 255 52 23解析
11、 A 在 RtABC 中，根据勾股定理即可求得 AB，而BACD，即可把求sinACD 转化为求 sinB.二、填空题8天水中考 如图 1173，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点ABC 的顶点都在方格的格点上，则 cosA_图 1173 图 1174答案 255解析 如图 1174，在 RtACD 中，由勾股定理得 AC 2 ，AD4，22 42 5cosA .ADAC 425 2559广州中考 如图 1175，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点E，连接 BE，若 BE9，BC12，则 cosC_答案 23解析 ED
12、是 BC 的垂直平分线，ECEB9，DC BC6，EDC90.12在 Rt CDE 中， cosC .CDCE 69 23图 1175 图 117610临沂中考 如图 1 176，在ABCD 中，BC 10，sinB ，ACBC，则910ABCD 的面积是 _答案 18 来源:学优高考网 gkstk19解析 如图 1177 所示，作 CEAB 于点 E.在直角三角形 BCE 中，sinB ，CEBCCEBCsinB10 9，910BE .BC2 CE2 102 92 19ACBC，CE AB，AB2BE2 .19则ABCD 的面积是 2 918 .19 19图 1177三、解答题11在 RtA
13、BC 中，如果C90，AB10，sinA ，求 AC，BC 的长35解析 利用正弦的定义求出 BC，再利用勾股定理求出 AC.解：在 RtABC 中，C90，sinA ，AB 10，BCAB 35 ，BC6.BC10 35由 AB2AC 2BC 2，得 AC 8.AB2 BC212如图 1178，在 Rt ABC 中，ACB90，AB5，BC3，CDAB 于点D，求 sinBCD 的值图 1178解析 根据同角或等角的三角函数相等可求解：在 RtABC 中，ACB90，则AB90.CDAB ，BCDB90，ABCD.在 Rt ABC 中，ACB90，AB5，BC3，sinBCDsinA .BC
14、AB 3513如图 1179，在 Rt ABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，BE CD，垂足为 E.已知 AC15，cosA .35(1)求线段 CD 的长；(2)求 sinDBE 的值图 1179解：(1)因为 AC15，cosA ，ACB90，所以 ，所以 AB25.35 ACAB 35又因为 D 为 AB 的中点，所以 CD .252(2)由 D 是 AB 的中点，得 DCDB，从而 sinECB sinABC ，又 BC35 20，所以 BE12.由勾股定理得 CE16，所以 DE16 ，而AB2 AC2252 72DB ，来源:学优高考网 gkstk252所以 sinDBE
15、 .DEDB 72 225 72514已知直角三角形的斜边与一直角边的比为 75， 为其最小的锐角，求 的正弦值和余弦值解析 要求最小锐角 的正弦值、余弦值，需先确定哪一个角是最小的锐角，因为在三角形中，最短的边所对的角最小，因此首先要求出哪条边最小解：在直角三角形中，斜边与一直角边的比为 75，可设一直角边的长为 5k(k 0)，则斜边的长为 7k.设第三边长为 a，由勾股定理，得 a 2 k.（7k）2 （5k）2 24k2 62 k5k7k，最短的边长为 2 k.6 6长为 2 k 的边所对的角为最小的锐角 ，6sin ，cos .26k7k 267 5k7k 57 的正弦值为 ，余弦值
16、为 .267 57如图 1181 所示，在菱形 ABCD 中，AE BC 于点 E，EC1，cosB ，求这个513菱形的面积图 1180解析 cosB ，而 BEEC BCAB，因此可根据三角函数值设辅助未知数，BEAB 513即设 BE5k，AB13k，则 BC13k，代入 BEECBC ，得 5k113k，以此为切入点求解解：在 RtABE 中，cosB ，设 BE5k ，AB13k，BEAB 513则 BCAB 13k，即 BEEC13k，从而 5k113k，解得 k ，18AB ，BE ，138 58AE .来源:学优高考网AB2 BE2 (138)2 (58)2 128 32S 菱形 ABCD BCAE .138 32 3916故这个菱形的面积为 .3916
