1、 新课落实 实效课堂 助推您的教学，让课堂出彩！活动 1 知识准备1抛物线 yx 22x2 与 x 轴有_2_个交点2在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)间的关系满足 yx 210x.(1)经过_5_s ，炮弹达到它的最高点，最高点的高度是_25_m ；(2)经过_10_s ，炮弹落在地上爆炸活动 2 教材导学(1)已知二次函数 yx 22x3 的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 3 和 1，那么一元二次方程 x22x30 的两个根是_3_和_1_(2)已知二次函数 yx 22xm 的部分图象如图 2531 所示，则关于 x 的一元二次方程x 22xm0
2、的根为 _x13，x 21_图 2531 图 2532(3)已知抛物线 yax 2bxc 如图 2532 所示，则一元二次方程 ax2bxc0( D )A没有根B只有一个根C有两个根，且一正一负D有两个根，且一根大于 1，一根小于2 知识点一 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根一般步骤：画出二次函数 yax 2bxc 的图象；确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间；列表，在中的两数之间取值，进行估计在列表求近似根时，近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应于哪两值由负变成正，或由正变成负，此时 x 的两个对应值之间必有一个近似根 知识点二
3、 利用二次函数的图象估计形如 ax2bxcd 的方程的根对于形如 ax2bxc d 的方程，我们可通过移项将其转化为 ax2bxcd0，再用上面学过的估算方法估算探究问题一 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根例 1 利用二次函数的图象求一元二次方程x 22x38 的近似根解析 由于 yx 22x3 的函数值为8 时，对应点的横坐标即为一元二次方程x 22x38 的近似根故可通过作出函数图象来估算方程的近似根解：在平面直角坐标系内作出函数 yx 22x3 的图象，如图 2533 所示图 2533由图象可知方程x 22x38 的根是抛物线 yx 22x3 与直线 y8 的交点的横坐标左边的交
4、点横坐标在1 与2 之间，另一个交点的横坐标在 3 与 4 之间(1)先求交点横坐标在1 与2 之间的根，利用计算器进行探索x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5y 6.41 6.84 7.29 7.76 8.25因此，x1.4 是方程x 22x38 的一个近似根(2)另一根也可类似地求出x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5y 6.41 6.84 7.29 7.76 8.25因此，x3.4 是方程x 22x38 的另一个近似根故一元二次方程x 22x38 的近似根为 x11.4，x 23.4.现在我们用求根公式来验证一下对于方程x 22x38，整理得 x22x50.x 1 .2 4
5、202 2 242 6x 13.4493.4，x21.4491.4.因而利用图象法求得方程x 22x38 的近似解 x11.4，x 23.4 是完全正确的归纳总结 利用二次函数的图象求一元二次方程 ax2bxc0 的近似根的一般方法列表如下：步骤 结论方法一 直接作出二次函数 yax2bxc 的图象图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2bxc 0 的根方法二先将一元二次方程变形为ax2bxc，再在同一直角坐标系中画出抛物线 yax 2bx 和直线 yc两图象的交点的横坐标就是方程ax2bxc 0 的根方法三先将一元二次方程化为x2 x 0，移项后得ba cax2 x ，再在同一直
6、角坐标系中ba ca两图象交点的横坐标就是方程ax2bxc 0 的根画出抛物线 yx 2 和直线 y xba ca探究问题二 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题例 2 2013 年 4 月 20 日 8 时 02 分，我国四川省雅安市芦山县龙门乡发生里氏 7.0 级大地震，造成重大人员伤害空军某部奉命第一时间赴灾区投放救灾物资，已知物资离开飞机后在空中降落的路线是抛物线，抛物线的顶点在机窗窗口点 A 处( 如图 2534 所示)(1)若物体离开 A 处后下落的竖直高度 AB160 m，水平距离 BC200 m，那么要使飞机在竖直高度 OA1 km 的空中空投物资恰好落在居民点 P 处
7、，求飞机到 P 处的水平距离OP 应为多少；(2)根据当时的风力测算，空投物资离开 A 处的竖直距离为 160 m 时，它到 A 处的水平距离将增至 400 m要使飞机在(1)中的 O 点正上方空投，且物资仍准确地落在 P 处，那么飞机空投时离地面的高度应调整为多少？图 2534解析 (1)由题意可知点 A 与点 C 的坐标，然后可求出抛物线对应的函数表达式； (2)在有风的情况下准备投放需把飞机高度降低解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(0 ，1000)，点 C 的坐标为(200，840)设抛物线的函数表达式为 yax 21000.来源:gkstk.Com又点 C(200，840)在抛物
8、线上，840a200 21000，解得 a ，1250抛物线的函数表达式为 y x21000.1250当 y0 时， x210000，1250解得 x1500，x 2500(舍去 )飞机到 P 处的水平距离 OP 应为 500 m.(2)设飞机离地面的高度应调整为 k m，抛物线的函数表达式为 ya 1x2k.由题意知点C1(400，k160)在抛物线上， k160a 14002k，解得 a1 .11000此时抛物线的函数表达式为 y x2k.11000当 x500 时，y0，即 5002k0，解得 k250.11000答：飞机空投时离地面的高度应调整为 250 m.归纳总结 确定点 A，C
9、的坐标，进而求出抛物线的函数表达式解题时要注意以下两点：(1)飞机到 P 处的水平距离即抛物线与 x 轴交点的横坐标的绝对值；(2) 飞机空投时离地面的高度即抛物线顶点纵坐标的绝对值一、选择题1根据下列表格中二次函数 yax 2bxc 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程 ax2bxc0(a0，a ， b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20yax 2bxc 0.03 0.01 0.02 0.06A.6x6.17 B6.17x6.18C6.18x6.19 D6.19x6.20解析 C 由于当 x6.18 时，y0.010，说明在6.18
10、x6.19 中有一个 x 的值使 y0，即在这个范围内有一个 x 的值使 ax2bxc0.故选 C.2已知二次函数 yax 2bxc(a0)的图象如图 2535 所示，则下列结论错误的是( )图 2535Aa0Bax 2 bxc0 的两根的和为负Cb 24ac 0Dax 2bxc0 的两根的和为正解析 D 图象开口向上，则 a0，所以 A 正确；图象与 x 轴有两个交点，则b24ac0，则 C 正确；两个根一正一负，负根绝对值大，所以 B 正确，D 不正确3咸宁中考 如图 2536 是二次函数 yax 2bxc 的图象，下列结论：二次三项式 ax2bx c 的最大值为 4；4a 2bc0；一元
11、二次方程 ax2bxc1 的两根之和为1；使 y3 成立的 x 的取值范围是 x0. 其中正确的有( )图 2536A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 B4借助二次函数 y2x 23x1 的图象，可求出下面哪个方程的近似根( )Ax 25x10 B2x 23x10C2x 23x56 Dx 25x0答案 C5烟台中考 如图 2537，已知顶点为(3，6)的抛物线 yax 2bxc 经过点(1， 4)则下列结论中错误的是( )图 2537A. b24acB. ax2 bxc 6C. 若点(2，m)，(5，n) 在抛物线上，则 mnD关于 x 的一元二次方程 ax2bxc4 的两根为5 和1
12、答案 C二、填空题来源:学优高考网6二次函数 yx 2mx3 的图象与 x 轴的交点如图 2538 所示，根据图中信息可得到 m 的值是_答案 4图 2538 图 25397.若二次函数 yx 22xk 的部分图象如图 2539 所示，则关于 x 的一元二次方程x 22xk0 的一个根 x13，另一个根 x2_答案 18如图 2540，已知抛物线 yx 2bxc 经过点(0， 3)，请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在(1，0) 和(3，0) 之间，你所确定的 b 的值是_图 2540答案 (答案不唯一)12三、解答题92018 年世界杯在俄罗斯举行你知道吗？一个足球从地面
13、被向上踢出，它距地面的高度 y(m)可以用二次函数 y4.9x 219.6x 刻画，其中 x(s)表示足球被踢出后经过的时间(1)方程4.9x 219.6x0 的根的实际意义是_ ；(2)经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？解：(1)足球离开地面的时间和足球落地的时间(2)y4.9x 219.6x4.9(x 24x)4.9(x2) 219.6.当 x2 时，y 最大值 19.6.因此，经过 2 s，足球到达它的最高点，最高点的高度是 19.6 m.10已知一元二次方程 x2kxk 0.12 12(1)求证：不论 k 为何实数，此方程总有两个实数根；(2)设 k0，当二次函数
14、y x2kxk 的图象与 x 轴的两个交点 A，B 间的距离为 412 12时，求出此二次函数的表达式解：(1)证明： k 24 k 22k1(k1) 2，12(k 12)不论 k 为何实数，(k1) 20，不论 k 为何实数，此方程总有两个实数根(2)二次函数 y x2kxk 的图象与 x 轴的两个交点 A，B 间的距离为 4，12 12 4，（k 1）2|12|(k1) 24.解得 k13，k 21.又 k0，k1.y x2x .12 3211已知二次函数 yx 2(2k1)x k 22(k 为常数) 的图象与 y 轴的交点 C 在它的负半轴上，与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 在点
15、 B 的左侧，若 A，B 两点到原点的距离分别为 AO，BO，且满足 2(BO AO)3AOBO，求 k 的值解析 可设抛物线与 x 轴的交点 A，B 的坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，利用交点横坐标与关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x k 220 的根之间的关系，并借助一元二次方程的根与系数的关系建立关于 k 的方程，从而求出 k 的值解：设二次函数 yx 2(2k 1)xk 22 的图象与 x 轴的两个交点 A，B 的坐标分别为(x1，0)，(x 2， 0)，来源:gkstk.Com关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x k 220 的两根分别为 x1，x 2.又抛物
16、线开口向上，且与 y 轴的交点在 x 轴下方，故其与 x 轴的交点必在 y 轴两侧，且点 A 在点 B 的左侧，x 10x 2，AOx 1，BOx 2.又 2(BOAO)3AOBO ，即 2x2( x 1)3(x 1)x2.2(x 2x 1)3x 1x2.又x 1x 22k1，x 1x2k 22，2(2k1) 3(k 22)，整理得 3k24k40，解得 k1 ，k 22.23又k 220，k2 不合题意，应舍去故 k .23点评 解决类似本题的函数与方程的综合题时，既要注意函数图象与 x 轴交点的横坐标与对应的方程的根的联系，又必须借助函数的图象特征作出正确判断，为解决问题铺平道路12已知
17、y 关于 x 的函数 y(k1)x 22kxk2 的图象与 x 轴有交点(1)求 k 的取值范围；(2)若 x1，x 2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足 (k1)x 2kx 2k24x 1x2.21求 k 的值；当 kxk2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最小值解：(1)当 k1 时，函数为一次函数 y2x3，其图象与 x 轴有一个交点；当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y0，得(k1)x 22kxk20，(2k) 24(k1)(k 2)0，解得 k2，即 k2 且 k1.综上所述，k 的取值范围是 k2.(2)x 1x 2，由(1) 知
18、 k2 且 k1.由题意得(k1)x (k 2)2kx 1.(*)21将(*)代入(k 1)x 2kx 2k24x 1x2，得 2k(x1x 2) 4x1x2.21又x 1x 2 ，x 1x2 ，2kk 1 k 2k 12k 4 .2kk 1 k 2k 1解得 k11，k 22(不合题意，舍去 )所求 k 的值为1.如图 2541，图 2541k1，y2x 22x12 ，(x 12)2 32且1x1.由图象知：当 x1 时，y 最小 3；当 x 时，y 最大 .12 32y 的最大值为 ，最小值为3.3213如图 2542，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax 2bx3(a ，b 是
19、常数)的图象与 x 轴交于点 A(3， 0)和点 B(1，0)，与 y 轴交于点 C.动直线 yt(t 为常数) 与抛物线交于不同的两点 P，Q.(1)求 a 和 b 的值；(2)求 t 的取值范围； 来源: 学优高考网(3)若PCQ90，求 t 的值解：(1)由题意得 9a 3b 3 0，a b 3 0，)解得 a 1，b 2.)(2)由题意得 y x2 2x 3，y t， )x 22x3t0.直线与抛物线有两个不同的交点，即上面的一元二次方程有两个不相等的实数根，2 241(3t) 0.t4.(3)由(2)中的方程组解得 x1 1 t 4，y1 t， )x2 1 t 4，y2 t， )P(
20、1 ，t)，Q(1 ，t)t 4 t 4抛物线 yx 22x3 交 y 轴于点 C(0，3)，PQ2 ，PC 2(1 )2(t3) 2，QC 2( 1 )2(t3) 2.t 4 t 4 t 4PCQ 90 ，PC 2 QC2PQ 2，即(1 )2(t3) 2(1 )2(t3) 24(t4)t 4 t 42(t3) 22 2(t4)4(t4) ，化简，得 t25t60，解得 t12 ，t 23.当 t23 时，点 Q 与点 C 重合，故 t23 舍去t 的值为2.已知二次函数 yx 2(m1)xm 的图象交 x 轴于 A(x1， 0)，B(x 2，0)两点，交 y 轴正半轴于点 C，且 x x
21、10.21 2(1)求此二次函数的表达式；(2)是否存在过点 D 的直线与抛物线交于点 M，N，与 x 轴交于点 E，使得点(0， 52)M，N 关于点 E 对称？若存在，求出直线 MN 的函数表达式；若不存在，请说明理由解析 由于二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 x2(m1)xm0 的根，所以可列方程组 得 m 的值解：(1)由题意得 x1x 2m 1，x 1x2m，x x (x 1x 2)22x 1x210，21 2(m1) 22m10，解得 m3 或 m3.又点 C 在 y 轴的正半轴上， m 3，所求二次函数的表达式为 yx 24x3.(2)设存在过点 D 的直线
22、与抛物线交于点 M(xM，y M)，N(x N，y N)，与 x 轴交于(0， 52)点 E，使得点 M，N 关于点 E 对称点 M，N 关于点 E 对称，y My N0.设直线 MN 的函数表达式为 ykx ，52由 y x2 4x 3，y kx 52， )得 x2(k4)x 0，112x Mx N4k，yM yNk(x Mx N)50，k(k4) 50，k1 或 k5.当 k5 时，方程 x2(k 4)x 0 的判别式 b24ac0，不合题意，应舍去112k1，直线 MN 的函数表达式为 yx ，52存在过点 D 的直线与抛物线交于点 M，N ，与 x 轴交于点 E，使得点 M，N(0， 52)关于点 E 对称直线 MN 的函数表达式为 yx .52点评 此题主要考查二次函数与一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，有助于培养同学们综合运用知识的能力
