1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时分层作业 四十九椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题 5分,共 35分)1.椭圆 x2+4y2=1的离心率为 ( )A. B. C. D.32 34 22 23【解析】选 A.因为椭圆方程化为 x2+ =1,214所以 c= = ,离心率 e= = .1-14 32 322.设 P是椭圆 + =1上的点.若 F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF2|等于225216( )A.4 B.5 C.8 D.10【解析】选 D
2、.由椭圆的第一定义知|PF 1|+|PF2|=2a=10.3.已知动点 P(x,y)与两点 A1(-2,0),A2(2,0)的连线斜率之积为 =- ,则1 212点 P(x,y)的轨迹方程为 ( )A. + =1(y0) B. + =1(y0)2322 2422圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -C. +y2=1(y0) D. + =1(y0)22 2622【解析】选 B.因为 = =- ,整理得 + =1.又因为点 P 不能12 +2 -2 12 2422在 x 轴上,所以 y0.【变式备选】若过椭圆的一个焦点作长轴的垂线,交椭圆于两点 P,Q,线段 PQ的长度为 2 ,椭圆的一个焦点是(2 ,
3、0),则椭圆的标准方程是_. 5 15【解析】由题意可知, =2 ,c=2 ,又因为 a2=b2+c2,解得 a2=80,b2=20,22 5 15所求椭圆的标准方程为 + =1.280220答案: + =12802204.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.45 35 25 15【解析】选 B.设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c,则 2a+2c=22b,即 a+c=2b(a+c)2=4b2=4(a2-c2),整理得:5c 2+2ac-3a2=0,即 5e2+2e-3=0e= 或 e=-1(舍).35圆学子梦想 铸金字品牌-
4、3 -5.(2018汉中模拟)设椭圆 E: + =1(ab0)的右顶点为 A,右焦点为 F, B2222为椭圆在第二象限内的点,直线 BO交椭圆于点 C, O为原点,若直线 BF平分线段 AC,则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.12 13 14 15【解析】选 B.如图,设 AC 中点为 M,连 OM,则 OM为ABC 的中位线,易得 OFMAFB,且 = = ,即 = ,可得 e= = .| 12 -12 13【变式备选】已知椭圆 + =1(ab0)的右焦点 F和点 A ,在椭圆上存2222 (2,0)在点 P满足线段 AP的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 ( )A
5、. B.(0,22 (0,12C. -1,1) D.2 12,1)【解析】选 D.由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等,而|FA|= -c= ,|PF|a-c,a+c.2 2于是 a-c,a+c.2圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -即 ac-c2b2ac+c2,所以 -22-2,2-2+21,-1或 12,又 e(0,1),故 e .12,1)6.若点 O和点 F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点 P为椭圆上的任意一2423点,则 的最大值为 世纪金榜导学号 37681137 )A.2 B.3 C.6 D.8【解析】选 C.
6、由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 =3 ,204203 20 (1-204)因为 =(x0+1,y0), =(x0,y0),所以 =x0(x0+1)+ =x0(x0+1)+3 = +x0+3,此二次函数对20 (1-204)204应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2x 02,所以当 x0=2 时, 取得最大值+2+3=6.224圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -7.(2018巴中模拟)已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2, P2222是椭圆上一点, PF 1F2是以 PF1为底边的等腰三角形,若PF 1F2 ,则该(0,3)椭圆的
7、离心率的取值范围是 ( )世纪金榜导学号 37681138A. B.(0,12) (0,13)C. D.(12,1) (13,12)【解析】选 D.由题意可得 |PF 2|=|F1F2|=2c,再由椭圆的定义可得 |PF 1 |=2a- |PF2|=2a-2c.设PF 2F1 = ,则 -1 可得 3e 2+2e-10,e ,由 cos 2+2-222 13b0)的两个焦点,P 为椭圆 C上一2222点,且 .若PF 1F2的面积为 9,则 b=_. 【解析】因为 ,所以 F1PF2=90,所以F 1PF2为直角三角形.所以|PF 1|2+|PF2|2=(2c)2.又因为|PF 1|+|PF2
8、|=2a,所以|PF 1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,即(2c) 2=(2a)2-4 |PF1|PF2|,12= |PF1|PF2|=9. 1212所以 4c2=4a2-49=0,所以 4b2=49.所以 b=3.答案:39.(2018贵阳模拟)已知椭圆 C: +y2=1的右焦点为 F,上顶点为 A,点 P是该椭22圆上的动点,当PAF 的周长最大时, PAF 的面积为_. 【解析】|PA|+|PF|+|AF|=a+|PA|+|PF|=a+ +|PA| (其中 F1为左焦点) (2-|1|)=3a+|PA|-|PF1|3a+|AF1|=4a=4 ,当且
9、仅当 A,F1,P 三点共线时取等号,此时 P2,所以 SAFP= +(-43,-13) 1 1= |FF1| = 2 = .12 |-|12 4343圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -答案:43【变式备选】设 AB是椭圆 F的长轴,点 C在 F上,且CBA= .若 AB=4,BC= ,4 2则 F的两个焦点之间的距离为_. 【解析】(如图)不妨设椭圆 F 的标准方程为 + =1,于是可算得 C(1,1),得2422b2= ,2c= .43 463答案:46310.如图,在平面直角坐标系 xOy中,F 是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线 y=2222与椭圆交于 B,C两点 ,且BFC=90
10、,则该椭圆的离心率等于_.2世纪金榜导学号 37681139 【解析】将 y= 代入椭圆的标准方程,得 + =1,2 22242所以 x= a,故 B ,C .32 (- 32,2) ( 32,2)圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -又因为 F(c,0),所以 = ,(+32,-2)= .(- 32,-2)因为BFC=90, 所以 =0,所以 + =0,(+32)(- 32)(-2)2即 c2- a2+ b2=0,将 b2=a2-c2 代入并化简,得 a2= c2,所以 e2= = ,34 14 32 2223所以 e= (负值舍去).63答案:631.(5分)椭圆 C: + =1的左、右顶点分别
11、为 A1,A2,点 P在椭圆 C上且直线2423PA2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线 PA1斜率的取值范围是世纪金榜导学号 37681140( )A. B.12,34 38,34C. D.12,1 34,1【解析】选 B.利用直线 PA2斜率的取值范围确定点 P变化范围的边界点,再利用斜率公式计算直线 PA1斜率的边界值.由题意可得 A1(-2,0),A2(2,0),当 PA2的斜率为-2 时,直线 PA2的方程为 y=-2(x-2),代入椭圆方程,消去 y 化简得 19x2-64x 圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -+52=0,解得 x=2 或 x= .由点 P 在椭圆上得点 P ,此时
12、直线 PA1的斜率2619 (2619,2419)k= .同理,当直线 PA2的斜率为-1 时,直线 PA2方程为 y=-(x-2),代入椭圆方程,38消去 y 化简得 7x2-16x+4=0,解得 x=2 或 x= .由点 P 在椭圆上得点 P ,此27 (27,127)时直线 PA1的斜率 k= .数形结合可知,直线 PA1斜率的取值范围是 .34 38,34【巧思妙解】选 B.利用结论“椭圆上任意点 P 与长轴端点 A1,A2 的连线斜率的乘积为定值,即 =- ”因为 =- , ,所以 1222 12341-2,-1 2.38,342.(5分)设 P,Q分别为圆 x2+(y-6)2=2和
13、椭圆 +y2=1上的点,则 P,Q两点间的210最大距离是 ( )A.5 B. +2 462C.7+ D.62 2【解析】选 D.设圆心为 M(0,6),Q(x,y),则 = = =| 2+(-6)2 10(1-2)+(-6)2,因为-1y1,所以 5 ,当且仅当 y=- 时取等号.-92-12+46 | 223所以 P,Q 两点 间的最大距离是 5 + =6 .2 2 23.(5分)已知椭圆的焦点在 x轴上,一个顶点为 A(0,-1),其右焦点到直线 x-y+2=0的距离为 3,则椭圆的方程为_. 2世纪金榜导学号 37681141圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -【解析】据题意知 b=1,
14、故可设椭圆方程为 +y2=1.设右焦点为(c,0)(c0),它到已知22直线的距离为 =3,解得 c= ,所以 a2=b2+c2=3,故椭圆的方程为 + |+22|2 2 23y2=1.答案: +y2=1234.(12分)已知椭圆 + =1内有两点 A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,求225216|PA|+|PB|的最大值和最小值.【解析】如图,椭圆的右焦点为 B,设椭圆的左焦点为 D,因为|PA|+|PB|=|PA|+2a-|PD|2a+|AD|=25+5=15,所以所求的最大值是 15.此时点 P 在 F 点处,又 - - ,| |所以 + 2a- =25-5=5,| |此时点
15、P 在 E 点处.综上所述:所求最大值为 15,最小值为 5.圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -【变式备选】已知椭圆 + =1的左右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线 l 交椭圆2926于 A,B两点,则| |+| |的最大值为_. 【解析】由椭圆的定义可知| |+| |=4a- 4a- =43- =8.|22 263答案:85.(13分)如图,在平面直角坐标系 xOy中,F 1,F2分别是椭圆 +22=1(ab0)的左、右焦点 ,顶点 B的坐标为 (0,b),连接 BF2并22延长交椭圆于点 A,过点 A作 x轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. 世纪金榜导学号 37681142(
16、1)若点 C的坐标为 ,且 BF2= ,求椭圆的方程.(43,13) 2(2)若 F1CAB,求椭圆离心率 e的值.【解析】(1) 因 为 C ,所以 + =1.(43,13) 1692192因为 B =b2+c2=a2,所以 a2= =2,22 (2)2所以 b2=1,所以 椭圆方程为 +y2=1.22(2)设焦点 F1(-c,0),F2(c,0),C(x,y),圆学子梦想 铸金字品牌- 12 -因为 A,C 关于 x 轴对称,所以 A(x,-y),因为 B,F2,A 三点共线 ,所以 = ,即 bx-cy-bc=0,-+-因为 F1CAB,所以 =-1,+(-)即 xc-by+c2=0,联立方程组,解得= 22-2=222-2所以 C(22-2,222-2)因为 C 在椭圆上,所以 + =1,( 22-2)22( 222-2)22化简得 5c2=a2,所以 = ,故离心率为 . 55 55关闭 Word 文档返回原板块
