1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 84 炼 古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔骰子的试验中，向上的点数 1 点，2 点，6 点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用 表示。3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为 12,nA（1 ）基本事件两两互斥（2 ）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设 为“出现 点”iAi，事件 为“点数大于 3”，则事件A456A（3 ）所有基本事件的并事件为必然事件
2、由加法公式可得： 1212n nPPAPA 因为 ，所以1A4、等可能事件：如果一项试验由 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。5、等可能事件的概率：如果一项试验由 个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则n基本事件的概率为 1n证明：设基本事件为 ，可知12,nA 12nPAPA所以可得12P i6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个（2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件 发生的概率就可以用事件 所包含的基本事件个数 占AAnA基本事件空间的总数 的比例进行表示，即nnP7、运用古典概
3、型解题的步骤：高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 - 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 可通过计数原理（排列，组合）进行计算,nA 要保证 中所含的基本事件，均在 之中，即 事件应在 所包含的基本事件中选择符A合条件的二、典型例题：例 1：从 这 6 个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为_思路：事件 为“6 个自然数中取三个” ，所以 ，事件 为“一个数是另外3620nCA
4、两个数的和” ，不妨设 ，则可根据 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：abca，所以 。进而计算出3,214,5,1,326,51,420nAP答案： 31例 2：从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取一个,12Ak2,1B数记为 ，则直线 不经过第三象限的概率为（ ）bykxbA. B. C. D. 934959思路：设 为“ 的所有组合” ，则 ，设事件 为“直线 不经,k3nAykxb过第三象限” ，则要求 ，所以 ，从而0,b12A29nP答案：A例 3：袋中共有 7 个大小相同的球，其中 3 个红球，2 个白球，2 个黑球。若从袋中任取三个球，则所取 3 个球中至少有
5、两个红球的概率是（ ）A. B. C. D. 45151835235思路：设 为“袋中任取三球” ，则 ，设事件 为“至少两个红球” ，所以37nCA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -，从而 21334nAC135nAP答案：B例 4：设函数 ，若 是从 三个数中任取一个， 是从1xfaa0,12b五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）1,235fbA. B. C. D. 715512思路：设事件 为“ 从所给数中任取一个” ，则 ，所求事件为事件 ，,ab34nA要计算 所包含的基本事件个数，则需要确定 的关系，从恒成立的不等式入手，A,ab恒成立，只需 ，
6、而 ，当fxbminfx11xfaax时， ，所以当0a122ax时， ，所以1xx2min1faa，得到关系后即可选出符合条件的 ：2ab,b,3,1,共 8 个，当 时， ，所以 符合条件，综上,34,50a1fx0可得 ，所以9nA35nAP答案：A例 5：某人射击 10 次击中目标 3 次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为（ ）A. B. C. D. 711238310思路：考虑设 为“10 次射击任意击中三次” ，则 ，设事件 为“恰有两102nCA次连续命中” ，则将命中分为两次连续和一次单独的，因为连续与单独的命中不相邻，联想到插空法，所以 （剩下七个位置出现八个空，插入连续与
7、单独的，共有2856nAC种，然后要区分连续与单独的顺序，所以为 ） ，从而28C28CA715nAP答案：A高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -例 6：已知甲袋装有 6 个球，1 个球标 0,2 个球标 1，3 个球标 2；乙袋装有 7 个球，4 个球标 0,1 个球标 1,2 个球标 2，现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球，则取出的三个球上标有的数码乘积为 4 的概率是_思路：设 为“两个袋中取出三个球” ，则 ，事件 为“三个球标记1267nCA数码乘积为 4”，因为 ，所以三个球中有两个 2 号球，1 个 1 号球，可根据 1 号21球的来源分类讨论，当 1
8、号球在甲袋时，有 种，当 1 号球在乙袋时，则乙袋一12个 1 号球，一个二号球，共有有 种，即 种。则236C8nA84126nAP答案： 43例 7：四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中任取 4 个点，则这四个点不共面的概率为（ ）A. B. C. D. 5710235470思路：设 为“10 个点中取 4 个点” ，则 ，设事件 为“4 个点不共面” ，410nCA若正面寻找不共面的情况较为复杂，所以考虑问题的对立面，即 为“4 个点共面” ，由图可得四点共面有以下几种情况：（1）四个点在四面体的面上，则面上 6 个点中任意 4 个点均共面，则 ；（2）由4160NC平行线所产
9、生的共面（非已知面） ，则有 3 对，即 ；3（3）由一条棱上的三点与对棱的中点，即 ，所以共面的2情况 ，所以6039nA，所以2164470nAP答案：D例 8：袋子里有 3 颗白球，4 颗黑球，5 颗红球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回，若每颗球被抽到的机会均等，则甲，乙，丙三人所得之球颜色互异的概率是（ ）高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -A. B. C. D. 14132731思路：事件 为“不放回地抽取 3 个球” ，则 ，基本事件为甲，乙，丙拿球的各312nA种情况，且将这些球均视为不同元素。设所求事件“甲，乙，丙三人所得之球颜色互异”
10、为事件 ，则先要从白球黑球红球中各取一个（ ） ，再分给三个人（三个元素全排A11345C列） ，所以 ，从而 113345nCA312AP答案：D例 9：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数a字，把乙猜的数字记为 ，其中 ，若 或 ，就称甲乙“心b,12,3456ab1有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A. B. C. D. 736436512思路：设 为“甲想乙猜的所有情况” ，则 ，设事件 为“甲乙心有灵nA犀 ”，可对甲想的数进行分类讨论：当 时， 可取的值为 或 ；当1,245aba时， ，所以事件 包含的基本事件
11、数 ，所以6abA1A136nPA答案：C例 10：将 1,2,3,4 四个数字随机填入右方 的方格中，每个方格中恰填一数字，但数字2可重复使用，试问时间“A 方格的数字大于 B 方格的数字，且 C 方格的数字大于 D 方格的数字”的概率为（ ）A. B. C. D. 1696425649256思路：事件 为“4 个数字填入方框中“，则 。设事件 E 为所求事件，可n进行分类讨论，若 A 填入 2，则 B 填入 1，若 A 填入 3，则 B 可填入 1,2；若 A 填入 4，则 B可填入 1,2,3；所以 A,B 两格的填法共有 6 种；同理 C,D 的填法也有 6 种，且 A,B 的填法与C,D 的填法相互独立，所以 ，从而nP39()254nPE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -答案：B
