1、互动课堂重难突破一、三角形相似的预备定理在初中,我们已经学过相似三角形的知识,其定义是如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么称这两个三角形相似.对于三角形相似,其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 利用上一节所学的平行线分线段成比例定理,可得预备定理: 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形和原三角形相似.二、相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法有:(1)定义法,即对应边成比例,对应角相等的三角形是相似三角形.当然有了判定定理后,就不用定义判定了,这是因为定义中的条件太多,实际上并不需要.(2)平行法,即平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边延长
2、线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理,即判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似;判定定理 2:两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似; 判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似 .在这些判定方法中,应用最多的是判定定理 1,即两角对应相等,两三角形相似.因为它的条件最容易寻求,实际证明当中,要特别注意两个三角形的公共角.判定定理 2 则常见于连续两次证明相似时,在第二次使用此定理的情况较多.对于直角三角形相似的判定,除以上方法外,还有其特殊的方法:(1)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似;(2)如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另
3、外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例,那么这两个直角三角形相似;(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的利用.三、相似三角形的性质如果两个三角形相似,那么它们的形状相同,只在大小上有所区别,这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系,分别是:(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形的周长比等于相似比;(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方;(5)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方,利用这
4、些关系,可以进行各种各样的求值和证明.四、刨根问底问题 在初中,我们已经学过全等三角形,两个全等三角形的大小、形状是完全一样的,相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形,显然,当两个相似三角形的相似比为1 的时候,相似三角形就成了全等三角形,那么,这两者之间有哪些联系和差别呢?探究:鉴于相似三角形和全等三角形的类似点,在学习相似三角形的性质时,可以类比全等三角形的性质来研究,下面采用表格的形式对两者作比较:全等三角形 相似三角形1 对应边相等 对应边成比例2 对应角相等 对应角相等3 对应中线相等 对应中线的比等于相似比4 对应角平分线相等 对应角平分线的比等于相似比5 对应高相等 对应高的比
5、等于相似比6 周长相等 周长比等于相似比7 面积相等 面积比等于相似比的平方你可以从两者的对比中发现,当两个相似三角形的相似比为 1 时,二者完全相同,所以我们研究相似三角形的性质的时候,切记从相似比入手即可,涉及线段的比均等于相似比,只有面积的比是相似比的平方.活学巧用【例 1】如图 1-3-1,ABC 中,ACB =90,CDAB 于 D,DEAC 于 E,那么和ABC 相似但不全等的三角形共有( )图-3-1A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个思路解析:图中所有三角形都是直角三角形 ,根据判定两个直角三角形相似的方法,与ABC 相似的三角形共有 5 个,它们分别是: ADE、D
6、CE、ACD、CBD 和 ABC,但是ABC 不合题意.答案:D【例 2】如图 1-3-2,已知在 ABC 中,AB =AC,A =36,BD 是 ABC 的平分线,试利用三角形相似的关系说明 AD2=DCAC.图 1-3-2思路解析:有一个角是 36的等腰三角形,它的底角是 72,而 BD 是底角的平分线,CBD=36,则可推出 ABCBCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明: A=36,AB=AC,ABC=C=72.又 BD 平分ABC ,ABD=CBD=36.AD =BD =BC,且ABCBCD.BCAB =CDBC.BC2=ABCD.AD2=ACCD.【例 3】
7、如图 1-3-3,已知ACB =ADE, ABC =AED.求证: ABE =ACD.图 1-3-3思路解析:ABE 和 ACD 分别位于ABE 和 ACD 中,显然不可以利用全等来证明这两个角相等,但这两个角所在的两个三角形能相似吗?从已知条件中给的四个角分别在ABC 和AED 中,由它们相等不难证明 ABCAED,这一对三角形的相似,沟通了我们想要证明的两个三角形的关系,沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似”的判定方法.证明: ABC=AED, ACB=ADE,ABCAED. = ,BAC =EAD.AEBDC = ,BAC-EAC =EAD -EAC,
8、即BAE=CAD.ABEACD(两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似).ABE=ACD.【例 4】如图 1-3-4,已知 ABC 中,AB =AC,AD 是 BC 边上的中线,CFBA,BF 交 AD于 P 点,交 AC 于 E 点. 求证:BP 2=PEPF.图 1-3-4思路解析:因为 BP、PE、PF 三条线段共线,找不到两个三角形,所以必须考虑等线段代换等其他方法,因为 AB =AC,D 是 BC 中点,由等腰三角形的性质知 AD 是 BC 的垂直平分线,如果我们连结 PC,由线段垂直平分线的性质知 PB =PC,只需证明PECPCF,问题就能解决了.图 1-3-5证明:连结 PC,在ABC 中,AB =AC,D 为 BC 中点,AD 垂直平分 BC.PB =PC.1=2.AB =AC,ABC =ACB.ABC-1=ACB-2.3=4.CFAB,3=F.4=F.又EPC= CPF,PCEPFC. = .PECFPC2 =PEPF.PC =PB,PB2 =PEPF.