1、庖丁巧解牛知识巧学一、平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知 abc，直线 m、n 分别与a、b、c 交于点 A、B、C 和 A、B、C(如图 1-1-2)，如果 AB=BC，那么 AB=BC.图 1-1-2 图 1-1-32.对于定理的证明，如图 1-1-3 所示，分 mn 和 m 不平行于 n 两种情况证明.当 mn 时，直接运用平行四边形加以证明；当 m 不平行于 n 时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.3.定理的条件是 a、b、c 互相平行，构成一组平行线，m 与
2、n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线 a、b、c 相交，即被平行线 a、 b、c 所截.平行线的条数还可以更多.方法点拨 定理图形的变式: 对于 3 条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化 (如图1-1-4):如果已知 l1l 2l 3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线 DE 的位置变化不影响定理的结论 .图 1-1-44.定理的作用：利用本定理可将一线段分成 n 等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置.图 1-1-5误区警示 平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图
3、 1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.2.两个推论的证明如下:推论 1:如图 1-1-6(1)，在ACC中，AB=BC，BBCC,交 AC于 B点，求证:B是 AC的中点.证明:如图 1-1-6(2)，过 A 作 BB与 CC的平行线，abc，AB=BC ，由平行线等分线段定理，有 AB=BC，即 B是 AC的中点.图 1-16推论 2:如图 1-1-7(1)，已知在梯形 ACCA中，AA CC，AB=BC，BB CC ，图 1-1-
4、7求证:B 是 AC的中点.证明:梯形 ACCA中 AA CC，BBCC，AA BBCC.又AB=BC，由平行线等分线段定理，有 AB=BC，即 B是 AC的中点.问题探究问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形，或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形.探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图 1-1-8:图 1-1-8问题 2 三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在
5、几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图 1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.图 1-1-9探究:证明:如图 1-1-9，DE 是中位线，E 是 AC 的中点，过点 D 作 DEBC ，则 E也是 AC 的中点，所以 E 与 E重合，DE与 DE 重合.所以 DEBC.同理，过点 D 作 DFAC ，交 BC 于 F，则 BF=FC.因为 DEFC ，DF EC，所以四边形 DFCE 是平行四边形 .所以 DE=FC.又因为 FC=
6、 BC，所以 DE= BC.2121上述过程中，DE与 DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图 1-1-10 所示的几种辅助线代表几种不同的证法 .（1）(1)延长中位线 DE 到 F,使 EF=DE.（2）(2)延长中位线 DE 到 F,使 EF=DE 得 ADCF.(3)作 CFAB 与 DE 的延长线交于点 F.图 1-1-10三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，其特点是:同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由
7、具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论 1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.问题 3 梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？思路:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.探究:设法把
8、梯形中位线转化为三角形中位线 .图 1-1-11如图 1-1-11，欲使 MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上，若连结 AN 并延长交 BC 的延长线于 E(梯形的这种辅助线也经常用到) ，就能得到这样的ABE.这时只要证明 AN=EN，AD=EC，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性:由梯形中位线公式 MN= (BCAD)，可知当 AD 退缩为一点时,其长度为零,则公式变为21MN= BC.这就是三角形的中位线公式 ,这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致21性，反映了它们
9、之间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论 2“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰的中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.典题热题例 1 如图 11-1-2，已知在ABC 中，D 是 AC 的中点，DEBC 交 AB 于点 E，EFAC交 BC 于点 F.求证:BF=CF.图 1-1-12思路分析：根据 D 是 AC 的中点，利用平行，得到 E 是 AB 的中点，再利用平行即可得到F 是 BC 的中点.证明：在ABC 中，D 是 AC 的中点，DEBC，E 是 AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平
10、分第三边).又EFAC 交 BC 于 F，F 是 BC 的中点，即 BF=FC.深化升华 在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论 2，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.例 2 求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图 11-1-3，已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，E 是 AB 边的中点，连结ED、EC.求证:ED=EC.图 1-1-13思路分析：在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由 E 是 AB 边的中点，作 EFBC 交 DC
11、 于 F，即可得 EFDC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明：过 E 点作 EFBC 交 DC 于 F.在梯形 ABCD 中，ADBC，ADEFBC.E 是 AB 的中点，F 是 DC 的中点( 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰).ADC=90，DFE=90.EFDC 于 F.又 F 是 DC 中点，EF 是 DC 的垂直平分线 .ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).方法归纳 证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或者根据全等三角形对应边相等来证明.例 3 在 ABCD 中，E 和 F 分别是 BC 和 AD 边的中点，BF 和
12、DE 分别交 AC 于 P、Q 两点，求证:AP=PQ=QC.图 1-1-14思路分析：在ADQ 中，F 是 AD 的中点，只要证明 FPDQ，即可由推论 1 得 AP=PQ；同理在CPB 中，根据 E 是 BC 的中点，EQ BP ，由推论 1 得 CQ=PQ，由此得到结论.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 分别是 BC、 AD 边上的中点，四边形 BEDF 是平行四边形( 一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形).在ADQ 中，F 是 AD 的中点，FPDQ，P 是 AQ 的中点.AP=PQ.在CPB 中，E 是 BC 的中点，EQ BP.Q 是 CP 的中点 .CQ=PQ
13、.AP=PQ=QC.深化升华 本题两次利用了 E、F 是中点的条件，在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.例 4 已知在ABC 中，CD 平分ACB ，AECD 于 E，EFBC 交 AB 于 F.求证:AF=BF.图 1-1-15思路分析：一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉到图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AECE 于 E，恰在三角形内部，而 RtAEC 又不好用,所以延长 AE 使它与 BC 相交就势在必行了.证明：延长 AE 交 BC 于 M.CD 是ACB 的平分线，AECE 于 E,在AEC 与MEC 中,EC=CE,AEC=
14、MEC=90 ，ACD=MCD.AECMEC.AE=ME.E 是 AM 的中点.又在ABM 中 FEBC,点 F 是 AB 边的中点 .AF=BF.方法归纳 作辅助线的常用方法有延长某线段与另外的线段相交，连结两点，过一点作另外一条线段的平行线，过一点作另外一条线段的垂线等.例 5 如图 11-1-6,以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作 ACED，DC 的延长线交BE 于 F,求证:EF=BF.图 1-1-16思路分析：在EAB 中，OFAB.要说明 EF=BF，只要说明 O 是 AE 的中点，而 O 是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分性质，可以知道
15、O 是 AE 的中点，于是问题得证.证明：连结 AE 交 DC 于 O,四边形 ACED 是平行四边形,O 是 AE 的中点(平行四边形对角线互相平分).四边形 ABCD 是梯形,DCAB.在EAB 中，OFAB, 又 O 是 AE 的中点，F 是 EB 的中点.EF=BF.深化升华 证题时，当一个条件有几个结论时,要选择与其有关联的结论.本题可延长EC，在梯形 ABCD 内构造平行四边形，或以 AB、BE 、 AD 的延长线为边构造梯形也可以得证.例 6 如图 1-1-17， ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，OEAB 交 BC 于E，AD12，求 BE 的长.图 1-1-17思路分析：首先由平行四边形的性质得到 O 是 AC 的中点，利用平行得 E 是 BC 的中点，于是 BE 应等于 BC 的一半， BC 的长度可以由 AD 获得.解：ABCD 是平行四边形，OAOC，BCAD.ABDC ，OEAB，DCOEAB.又AD12，BEEC BC AD6.21
