1、运输问题,运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步讨论,例1:某部门有3个生产同类产品的工厂(产地),生产的产品由4个销售点(销地)出售,各工厂的生产量、各销售点的销售量(假定单位均为t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中 要求研究产品如何调运才能使总运费最小,4.1 运输问题及其数学模型,A2,A3,B2,A1,B3,B4,B1,s2=5,s3=7,d1=3,d2=8,d3=4,d4=6,s1=9,供应地,需求地,2,9,10,2,1,3,4,2,8,4,2,5,运输问题网络图,产量约束,销量约束,运输问题的一般提法是:设某种物资有 个产地,各产地的产量是
2、,有 个销地,各销地的销量是,假定从产地,到销地,运输单位物品的运价是 ,问,怎样调运这些物品才能使总运费最小?,运价表,当产销平衡时,其模型如下:,当产大于销时,其模型是:,当产小于销时,其模型是:,1、平衡运输问题必有可行解,也必有最优解;,运输问题数学模型的特点,证明 记,则令,则 为运输问题的一个可行解。事实上:,又因,所以,故 是一组可行解。,又因为总费用不会为负值(存在下界)。这说明,运输问题既有可行解,又必然有下界存在,因此一定有最优解存在。,2、运输问题约束条件的系数矩阵,运输问题数学模型的特点,对运输问题数学模型的结构约束加以整理,可知其系数矩阵具有下述形式:,m行,n行,1
3、运输问题是一个具有mn个变量和n+m个等型约束的线性规划问题。,(41),2运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值的稀疏矩阵,其中1的总数为 2mn 个。,3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素,这对应于每一个变量在前m个约束方程中出现一次,在后n个约束方程中也出现一次,4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总数是m+n-1,证明:因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等,,恰好都是:,所以A的行向量是线性相关,的。从而 r(A)m+n.,去掉A的第一行,并取如下m+n-1列,得到m+n-1阶子式,所以 r(A)=m+n-1.,对于产销平衡运输问题,
4、除了上述特点外,还有以下特点:1 所有结构约束条件都是等式约束2 各产地产量之和等于各销地销量之和,3、运输问题的解,运输问题数学模型的特点,运输问题是一种线性规划问题。前面讲述的单纯形法是求解线性规划问题十分有效的一般方法,因而可用单纯形法求解运输问题。,但是当用单纯形法求解运输问题时,先得在每个约束条件中引入一个人工变量,这样一来,即使对于m=3、n=4这样简单的运输问题,变量数目也会达到19个之多。,因此,我们利用运输问题数学模型的特点,引入了表上作业法来求解运输问题,4.2 用表上作业法求解运输问题,表上作业法的基本思想: 先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初始方案进行检
5、查、调整、改进,直至求出最优方案,如下图所示。,初始化,最优性检验,迭代 (Iteration),最优?,yes,STOP,no,这和单纯形法的求解思想完全一致,但是具体的作法则更加简捷。,例1 某部门有3个同类型的工厂(产地),生产的产品由4个 销售点出售,各工厂的生产量、各销售点的销售量(假定单 位为t)以及各工厂到销售点的单位运价(元/t)示于表4-2 中,问如何调运才能使总运费最小?,表 4-2,该运输问题的数学模型为:,可以证明:约束矩阵的秩 r (A) = m +n -1.,基变量的个数为 m+n-1.,表上作业法,计算步骤: 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案
6、, Go to 2,表上作业法,计算步骤: 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2,下面介绍三种常用的方法。,一、给出运输问题的初始可行解(初始调运方案),最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法,1。最小元素法,思想:优先满足运价(或运距)最小的供销业务。,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,此时得到一个初始调运方案(初始可行解):,其余变量全等于零。,总运费为(目标函数值),此解满足所有约束条件,且基变量(非零变量)的个数为6 (等于m+n-1=3+4-1=6)., 西北角法,西北角法是优先满足运输表中西北角(左上角
7、)上空格的供 销需求。,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,此时得到一个初始调运方案(初始可行解):,其余变量全等于零。,总运费为(目标函数值),此解满足所有约束条件,且基变量(非零变量)的个数为6(等于m+n-1=3+4-1=6)., 沃格尔(Vogel)法,初看起来,最小元素法十分合理。但是,有时按某一最小单位运价安排物品调运时,却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点,从而使整个运输费用增加。,沃格尔法的思想:对每一个供应地或销售地,均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最
8、小单位运价和次小单位运价,并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数。若罚数的值不大,当不能按最小运价安排运输时造成的运费损失不大;反之,如果罚数的值很大,不按最小运价组织运输就会造成很大的损失,故应尽量按最大罚数安排运输。,此时得到一个初始调运方案(初始可行解):,其余变量全等于零。,总运费为(目标函数值),此解满足所有约束条件,且基变量(非零变量)的个数为6(等于m+n-1=3+4-1=6).,比较上述三种方法给出的初始基可行解,以沃格尔法给出的解的目标函数值最小,最小元素法次之,西北角法解的目标函数值最大。一般说来,沃格尔法得出的初始解的质量最好,常用来作为运输问题最优解的近似值。,
9、课堂练习,表上作业法,计算步骤: 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2,二、解的最优性检验,前面得到了初始基可行解,一般来说此解并非最优。下面介绍 最优性检验的两种方法。,1 闭回路法(Cycle method)2 对偶变量法(dual variable method)也称为位势法,补充:闭回路的数学定义,定义: 凡是能排成,或,形式的变量的集合称为一个闭回路,并将这些变量称为这个闭回路的顶点。,由此可以看出闭回路的几何特点: 闭回路都是一条封闭折线,每个顶点格子都是转角点 每一行或每一列只有且仅有两个顶点格子 每两个顶点格子的连线都是水平的或垂直的。,可以
10、证明的一个重要结论: m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它不含闭回路,即不存在以这些变量为顶点的闭回路, 闭回路法(cycle method),下面用最小元素法所确定的初始基本可行解来说明。,与单纯性原理相同,现目标是运费最少,故检验每一个非 基变量(对应于运输表中的空格)的检验数是否,若所有空格的检验数全非负,则不管怎样均不能使运输费用降低,即目标函数值已无法改进,这个解就是最优解,考虑空格(A1,B1),设想由产地A1供应一个单位的物品给销地B1,为使运入销地B1的物品总量不大于它的销量,应将A2运到B1的物品数量减1,即将格子(A2,B1)中填入的数字8改为7; 另一方面,为使产地A
11、2运出的物品数量正好等于它的产量(保证新得到的解仍为基可行解),应将A2运到B3的物品数量增1。 同理A1运往B3的物品数量减1,A1运出的物品数量正好等于其产量,按照上述设想,由产地A1供给1个单位物品给销地B1,由此引起的总运费变化是:,根据检验数的定义,它正是非基变量x11(或者说空格(A1,B1)的检验数,定义1: 基变量(有数字的)对应的格为基格;非基变量(空格)对应的顶点为非基格。,定义2: 从每一空格(非基格)出发,沿水平或垂直方向前进,每碰到数字格转90o(有些情况也可以不改变方向)继续前进,直到回到出发的空格为止,由此形成的封闭的折线称为闭回路。,规定:起始顶点的空格为第一顶
12、点,则=闭回路上奇数次顶点运价之和 闭回路上偶数次顶点运价之和,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,检验数中有负数,说明原方案不是最优解。, 对偶变量法(位势法)(dual variable method),用闭回路法判定一个运输方案是否最优,需要找出所有空格的闭回路,并计算其检验数。当运输问题的产地和销地很多时,空格的数目很大,计算检验数的工作量很大,而用对偶变量法就简便得多。,对产销平衡运输问题,若用u1,u2,um分别表示前m个约束等式相对应的对偶变量,用v1,v2vn 分别表示后n个等式相对应的对偶变量,即有对偶向量,这时可将运输问题的对
13、偶规划写成:,前面学习知道,线性规划问题变量xj的检验数可表示为:,由此可写出运输问题某变量xij(对应于运输表中(Ai,Bj)的检验数如下:,其中 分别称为行位势、列位势。,有基变量所对应的检验数为零,可从m+n-1个等式,(2.2),解出所有的行位势、列位势。,(2.1),可以证明,不论令 为何值, 始终不变。,即 将不会随 的取值而改变。,为此,在求解方程组(2.2)时,为计算简便,可指定一个位 势等于一个较小的整数或零。,表 3-2,行位势,列位势,设u1=1,当然,也可用采用解方程组的办法来求位势:,两种方法任选一种,表 3-2,三。解的改进(用闭回路法调整),选择进基变量的原则:,
14、即选择非基变量中检验数最小的一个进基。,在进基格点所对应的闭回路上,定义顶点的序号:自进基 格点起选定一个方向(比如顺时针方向),依次为第一 格、第二格、,在奇数格点上增加调整量 ,在偶数格点上减少调整量 。,其中调整量为,为闭回路中偶数格点,表 3-2,表 3-2,四。表上作业法计算中的两个问题, 无穷多个最优解,若在最优解中,某个非基变量的检验数为零,则该问题有 无穷多个最优解,此时得到一个最优解:,其余变量全等于零。,总运费为(目标函数值),表 3-2,表 3-2,表 3-2,此时得另一个最优解:,其余变量全等于零。,总运费为(目标函数值), 退化情况,与一般LP问题类似,运输问题也可能
15、出现退化了的基本可 行解。有以下两种情况:,(1)在确定初始基本可行解时,若已确定在空格 处,要添上调运量 ,而此时发点的当前可发送量与收点的当 前需求量恰好相等。即发点的当前发送量已全部用完,而收 点的需求量已全部满足。因此应同时划掉发送的行及接受的 列。为了使调运表上确保有(m+n-1)个基变量的值,就需要在 所划掉的行(或列)的任一空格添上调运量0。这样就得到有 一个基变量取值为0的基本可行解退化解。,例如:下表给出一个34运输的运价及发送量与需求量。 试用最小元素法求该问题的一个初始基本可行解。,表 4-2,此时得到一个退化了的初始基本可行解:,其余变量全等于零。, 在用闭回路调整当前
16、基本可行解时,有多个偶数格值相 等且都是极小值点 。此时只能取一个离基,其余的仍作为 基格。,例如:下表给出一个34运输问题的基本可行解及发送量与需求量、基本可行解的检验数。试用闭回路法对其做出调整。,表 4-5,表 4-5,3 运输问题的进一步讨论,一、产销不平衡运输问题,对产销不平衡问题,可转化为平衡问题,然后按表上作业 法求解。转换办法:, 若产大于销,增加一个假想的销地(可视为库存地)其销 量设定为余量,相应的运价设为0。, 若销大于产,增加一个虚拟的产地,其产量设定为不足量,相应的运价也设为0。,例4 某市有3个造纸厂 , 和 ,有4个集中用户和 ,各工厂的生产量、各用户的需用量以及
17、各工厂到用户的单位运价(元/t)示于表3-14中,问如何调运才能使总运费最小?,表 3-14,22,18,可增加一个假想的销地,表 3-14,例题5:弹性需求问题,设有三煤矿供应四地区,资料如下:,解题思路:,设法转化为标准型 本题产量160万吨,最低需求110万吨,最高需求无限。实质上比较现实的最高需求210万吨 产量大于最小需求;小于最大需求。而标准型是:产量=销量。 处理办法:设想一个虚拟煤矿D,生产50万吨,但这个产量只能供应可有可无的最高需求部分,于是各地的需求也应分为两个部分:基本需求、机动需求 虚拟产量的运输费用为零,但它对于基本需求来讲,运费为无穷大。,建模:,最优解:,例6、
18、有三个产地3A1,A2和A3生产同一种物品,使用者为B1,B2和B3,各产地到各使用者的单位运价于下表中。这三个的需用量分别为10、4和6个单位,由于销售需要和客观条件的限制,产地A1至少要发出6个单位的产品,它最多只能生产11个单位的产品;A2必须发出7个单位的产品;A3至少要发出4个单位的产品。试根据上述条件用表上作业法求解该问题。,运输模型的应用,例题7:某机床厂定下一年合同分别于各季度末交货。已知各季度生产成本不同,允许存货,存储费0.12万元/台季,三、四季度可以加班生产,加班生产能力8台/季,加班费用3万元/台,分析:,可用线性规划,但用运输问题更简单 要决策的问题是各季度生产量和
19、交货量设xij表示第i季度生产第j季度交货的台数 因加班时间生产成本不同,故要区别开来,三四季度可加班,视同增加两个季度 需求量合计115台,生产能力合计126台,供需不平衡,因此,增加一项闲置能力。,建模:,结果:,例题8 航运调度问题,某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F之间的四条航线,已知各航线的起点、终点及每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的航行天数,假定船只型号相同,装卸货时间各一天,问该公司至少要配备多少条船才能满足需要?,城市之间航行天数表,问题分析,问题要求的是在保证需要的前提下,至少需多少船只。所需船只包括两个部分:载货船、空驶船 。,问题分析(续1),上表显示:
20、载货船共需91条,此船何来?,A,B,C,D,E,F,1,2,1,3,调度中心,若无空驶,则91条船刚好够用,但虚线箭头都是空驶,问题分析(续2),所需91条货船要经调度而来,有的可在一个港口卸货后装运(如一条船从E到D后再起程赴B)。若港口没有空船,则要从其它港口调度而来。(规模效益) 由上表可知:C、D、F港口有多余船只可供调出,而A、B、E港口则需要调入空船。 问题的核心是:如何使空驶船的数量为最少?亦即如何按照最近原则调度船只,问题分析(续3),为此建立运输问题数学模型。设xij表示每天从i港口调往j港口的空船数,则cijxij就表示 i j航线上周转的船只数,cijxij表示各条线上周转的船只总数,解题结果,空船总需求量2+5+13+17+3=40条 空驶船40条+载重船91条=131条,