1、1,微积分的背景、发展与意义,刘洁民 北京师范大学数学系,2,微积分的背景、发展与意义,微积分建立的时代背景和历史意义 函数概念的建立与发展 极限与导数 积分,3,第一节 微积分建立的 时代背景和历史意义,古代至中世纪的有关工作 导致微积分创立的几类基本问题 17世纪前期的工作 牛顿创建微积分的工作背景和大致过程 莱布尼茨创建微积分的工作背景和大致过程 牛顿、莱布尼茨工作的历史地位 微积分的历史意义,4,古代至中世纪的有关工作,希腊人的有关工作 中国古代的有关工作 14世纪的形态幅度研究,5,导致微积分创立的几类基本问题,已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；
2、反之，已知物体运动的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 求曲线的切线。 求函数的最大值和最小值。 求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成的体积；物体的重心；一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。,6,17世纪前期的工作,开普勒 (Kepler):测定酒桶体积的新方法 (1615) 罗伯瓦尔 (Roberval):不可分法论 (1634) 卡瓦列利（Cavalieri）：用新的方法推进连续体的不可分量几何学（1635）；一百道杂题（1639）；六道几何练习题（1647）,7,17世纪前期的工作,Cavalieri 原理： (1)如果两个平面片处于两条平行线之间，并且平行于这两条平行线的
3、任何直线与这两个平面片相交，所截二线段长度相等，则这两个平面片的面积相等；(2)如果两个立体处于两个平行平面之间，并且平行于这两个平面的任何平面与这两个立体相交，所得二截面面积相等，则这两个立体的体积相等。,8,17世纪前期的工作,费尔马 (Fermat):求极大值与极小值的方法 (写于1636年以前) 托里切利 (Torricelli):几何学 (1644) 圣文森特的格列戈里 (Gregory of St.Vincent)：几何著作（1647） 沃利斯 (J.Wallis)：无穷的算术（1655）,9,17世纪前期的工作,格列戈里 (James Gregory) ：论圆和双曲线的求积 (1
4、667)；几何的通用部分 (1668) 巴罗 (I.Barrow):几何学讲义 (1670年出版),10,牛顿创建微积分的 工作背景和大致过程,牛顿（I.Newton，16431727）的生平和主要科学成就 牛顿制定微积分的一般过程,11,莱布尼茨创建微积分的 工作背景和大致过程,莱布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）的生平、主要学术成就与社会活动 莱布尼茨制定微积分的一般过程 莱布尼茨与无穷小量,12,牛顿、莱布尼茨工作的历史地位,牛顿和莱布尼茨大体上完成了微积分 牛顿和莱布尼茨微积分工作的比较 关于优先权的争议 微积分的发展,13,微积分的历史意义,提供了定量处理与运动、变化
5、等有关的多种现实问题的强有力方法。 解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学（常量数学）时期向变量数学时期的重要转变。 以极限方法为主要特征的微积分方法蕴含着十分基本和重要的数学思想。,14,微积分的历史意义,微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立。 微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数（包括算术）与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面。,15,第二节 函数概念的建立与发展,函数概念的起源 函数概念的演变 启示,16,第二节 函数概念的建立与发展,函数概念是现代数学的核心概念之一，在现代数学教育中也
6、是最重要的概念之一。自从17世纪它被正式引入数学中以来，对这个概念的明确化及推广受到了极大的注意。函数概念的演变，既是数学概念起源与发展的典型例子，也在相当程度上反映了数学本身的进步与发展。,17,函数概念的起源,函数概念起源于对运动与变化的定量研究，作为一个明确的数学概念，它是17世纪的数学家们引入的，但是，与之相关的问题和方法却至少可以追溯到中世纪后期。,18,函数概念的起源,14世纪中叶，法国数学家奥雷姆 (N.Oresme，约1323 1382) 继续探讨了形态幅度问题，著有论均匀与非均匀的强度，论质量与运动的构型 (写于1361年以前) ，论图线等书，提出了图线原理。论质量与运动的构
7、型一书中隐含了与函数概念有关的某些基本思想。,19,函数概念的起源,函数概念是17世纪的数学家们在对运动的研究中逐渐形成的。 伽利略，巴罗，费尔马，笛卡尔，牛顿，格列戈利，莱布尼茨,20,函数概念的起源,伽利略 (Galileo ) 创立近代力学的著作两门新科学一书，几乎从头至尾包含着这个概念。他用文字和比例的语言表达相当于我们今天的函数关系的那些内容。,21,函数概念的起源,17世纪引入的绝大部分函数，在函数概念还没有被充分认识以前，是被当作曲线来研究的。与此同时，数学家们越来越习惯于用运动概念来引入旧的和新的曲线。,22,函数概念的起源,“函数”一词最早出现在莱布尼茨 （Leibniz）1
8、673年的一篇手稿中，作为一个一般的术语，表示与曲线上的动点相应的变动的几何量，或者更一般地，表示与曲线有联系的任何量，例如，曲线上点的坐标，曲线的斜率，曲线的曲率半径等。这一术语又出现在他1692年和1694年的手稿中。1694年，雅各伯努利（Jakob Bernoulli）在同样意义上使用了这一术语。,23,函数概念的演变,从约翰伯努利（Johann Bernoulli，1718）到布尔巴基学派,24,函数概念的演变,约翰伯努利（1718）： “在这里，一个变量的函数是指由这个变量和常数以任何一种方式构成的一个量。”其中的“任何方式”一词，据他自己说是包括代数式和超越式而言，实际上就是我们
9、所说的解析表达式。,25,函数概念的演变,欧拉（L.Euler，微分学原理1755): “如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也变化，则称前一些量是后一些量的函数。这是一个很广泛的概念，它本身包含各种方式，通过这些方式，使得一些量得以由另一些量所确定。因此，若以 x记一个变量，则所有以任何方式依赖于 x的量或由 x所确定的量都称做 x的函数。”,26,函数概念的演变,拉克鲁瓦（Lacroix，1797）: “每一个量，若其值依赖于一个或几个别的量，就称它为后者 (这个或这些量) 的函数，不管人们知不知道用何种必要的运算可以从后者得到前者。”,27,函数概念的演变,狄里希
10、来（Dirichlet，1837）: “让我们假定 a和 b是两个确定的值， x是一个变量，它顺序变化取遍 a和 b之间所有的值。于是，如果对于每一个 x，有唯一的一个有限的 y以如下方式同它对应，即当 x从 a连续地通过区间到达 b时，y f(x) 也类似地顺序变化，那么 y就称为该区间中 x的连续函数。”,28,函数概念的演变,“而且，完全不必要求 y在整个区间中按同一规律依赖于 x; 确实，没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系。按几何概念讲， x和 y可以想象为横坐标和纵坐标，一个连续函数呈现为一条连贯的曲线，对 a和 b之间的每个横坐标，曲线上仅有一个点与之对应。”,29
11、,函数概念的演变,戴德金（R.Dedekind，1887）： “系统 S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则， S中每一个确定的元素 s都对应着一个确定的对象，它称为 s的映像，记作 (s) 。我们也可以说，(s) 对应于元素 s，(s) 由映射作用于 s而产生或导出；s经映射变换成(s)。”,30,启示：数学概念演进的 一个典型个例,1617世纪: 函数概念的起源 18世纪: 大多数数学家相信一个函数必须处处都有相同的解析表达式 19世纪: 数学分析严格化过程中的函数概念 20世纪初: 由集合论改进的函数概念,31,第三节 极限与导数,极限思想 导数概念,32,极限思想,逼近思想的起源与
12、发展 无穷小方法 牛顿极限思想的演变 莱布尼茨的有关工作 18世纪的状况 19世纪：极限理论的确立 极限思想在近现代数学中的意义,33,逼近思想的起源与发展,埃及人的圆面积计算 希腊：割圆术与穷竭法 阿基米德的有关工作 中国：刘徽与祖冲之父子,34,无穷小方法： 16世纪后期至17世纪中叶,35,牛顿极限思想的演变,36,莱布尼茨的有关工作,37,18世纪的状况,38,19世纪：极限理论的确立,39,极限思想在近现代数学中的意义,40,导数概念,导数概念的现实背景 早期的有关工作 牛顿、莱布尼茨：导数概念的起源 19世纪：导数概念的严格化,41,第四节 积分,古代的面积与体积计算 牛顿时代 19世纪：黎曼积分及其他 现代：测度与积分,
