三角函数最值求解策略.doc

1、三角函数最值求解策略【方法技巧】三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.方法一 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步 得出结论.方法二 化一法使用情景：函数表达式形如 类型22()sincosincosfxabxxd解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等

2、变换等将所给的函数式化为形如 形sincosyaxb式；第二步 利用辅助角公式 化为只含有一个函数名的形式；2sincossin()axbabx第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.方法三 直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步 得出结论.常见问题一 求三角形面积的最值问题使用情景：一般三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步 通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边

3、角转化、正弦余弦定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；第三步 得出结论.常见问题二 求三角形中边或角 的取值范围使用情景：三角形中解题模 板：第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；第三步 得出结论.【应用举例】【例题 1】已知函数 ， ，则 的最大值为（ ）2()cos)sin()fxxxR()fxA B C1 D345【答案】B【解析】试题分析： 222215fx=cossinx=-sico1-sinx=-sinx+4 （ ） （ +） （ ） +（ ） ，当 时，函数的

4、最大值为 .1sin254考点：诱导公式、配方法、三角函数的最值.【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令 ，将其转化为关于 的二次函数求最值问题.tsixt【难度】容易【例题 2】求函数 的最大值与最小值.2474sinco4scoyxx【答案】10 与 6.【解析】试题分析：将原式进行化简，利用二倍角公式，同角三角函数关系，将原式化成含 的式子，利用换sin2x元法，令 ，根据二次函数的性质求最值.sin2x试题解析： 2474cos4cosyx2272sin4cos1x2siix27ini16令 ，sin2,1,x由于函数 在 中的

5、最大值为 26zu， 2max160z最小值为 min故当 时 取得最大值 ，当 时 取得最小值 .s21xy10sin2xy考点：1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.【难度】一般【例题 3】已知函数 2()3sinicosfxxx， ,2.（1）求方程 =0的根； （2）求 ()fx的最大值和最小值.【答案】 （1） 0f的根为 x或 56.（2） )(xf的最大值为 3，最小值 312.【解析】试题解析：（1）令 ()0f，得 sinicos)0x，所以 sin0x，或3tanx. 由 si0， ,2x，得 x；由 3tanx， ,2，得 56x.综上，函数 )(xf的零点为

6、56或 . （2） 313()cos2insi(2)fxxx（ . 因为 ,2x，所以 253x,.当 ，即 时， )(f的最大值为 ；当 ，即 1时， )(f的最小值为312. 考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的最大值和最小值.【点评】化一法由“化一次” 、 “化一名” 、 “化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、 “化一名”使用到推导公式、 “化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用【难度】一般【例题 4】设函数 2()cos3sinco1()fxxR（1）求函数 的最小正周期；（2）若 ，求 的值域.30x)(xfy【答案】 （

7、1） ；（2） .1,【解析】试题分析：（1）由公式 ， ，把 化成2cossx2incosi2xx()f，然后再利用辅助角公式得 ，继而得 ，最后由周期()3sin2fxx()n6f2w公式 ，即可求出函数 的最小正周期；Tw()fx（2）根据 的范围，得出 ，利用正弦三角函数 的有界性，得出03x5266sinyx的范围，即求出函数 的值域.sin()6()fx（1）因为 2cossinco1fx2cos3ixn2s().6x所以 的最小正周期是()fT（2） ， 03x25.636x1sin()1.2x故 的取值范围为 ()yf,.考点：三角函数的恒等变换；三角函数的周期性及求法；三角函

8、数的值域.【难度】一般【例题 5】已知函数 的最小正周期是 ()4cosin()1(0)6fxx（1）求 的单调递增区间；()fx（2）求 在 ， 上的最大值和最小值83【答案】 （1） ； （2）最大值 、最小值,6kkZ262【解析】试题分析：（1）首先利用三角恒等变换将函数解析式 化为 ()4cosin()1(0)6fxxA，然后根据周期公式确定 的值.最后利用正弦函数的单调性求出 的单调递2sin6fxx fx增区间（2）由 3,8x72,612x62sin146x6f试题解析：解：（1） 24cosin123sincos16fxxxx 3sin22i最小正周期是 所以， 从而 12s

9、in6fxx令 ，解得26kk3kxk所以函数 的单调递增区间为 fx ,6Z（2）当 时， 3,872,12x6sin,fxx所以 在 上的最大值和最小值分别为 、 . fx3,826考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 的性质；sinyAx【难度】一般【例题 6】已知 1)4(cos2)sin(co3)2xxxf 的定义域为 2,0.（1）求 (的最小值.（2） ABC中， 45， 23b，边 a的长为 6，求角 B大小及 AC的面积.【答案】 （1）函数 )(xf的最小值 ；（2） AC的面积 .9(31)S【解析】试题分析：（1）先化简 的解析式可得: .将 看作一个整体，根据 的(

10、)f ()2sin()fx2xx范围求出 的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数 的最小值.（2）在 中，已知两边23x f ABC及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积.试题解析：（1）先化简 的解析式:()fx()3cos21cs12fx3cos2inx2si()3x由 ，得 ，430x 1)i(所以函数 的最小值 ，此时 .)(f 3)2(2x（2） 中， ， ， ，故 （正弦定理） ，再ABC45b6a 21645sin3siinaAbB由 知 ，故 ，于是 ，ab30B10180C从而 的面积 .1sin9()2Sab考点：1、三角恒等变形；2、解三

11、角形.【难度】一般【例题 7】已知 1)4(cos2)sin(co3)2 xxxf 的定义域为 2,0.（1）求 )(xf的最小值.（2） ABC中， 45， 23b，边 a的长为函数 )(3xf的最大值，求角 B大小及 AC的面积.【答案】 （1）函数 )(xf的最小值 ；（2） ABC的面积 .9(1)S【解析】试题分析：（1）先化简 的解析式可得: .将 看作一个整体，根据 的()f ()2sin()3fx2xx范围求出 的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数 的最小值.（2）由（1）知函数23x f的最大值 ，这样，在 中，便已知了两边及一边的对角，故首先ABC用正弦定理求出另两个角，

12、再用三角形面积公式可得其面积.试题解析：（1）先化简 的解析式:()fx()3cos21cs12fx3cos2inx2si()3x由 ，得 ，430x 1)i(所以函数 的最小值 ，此时 .)(f 3)2(2x（2）由（1）知函数 的最大值 . 中， ， ，ABC4523b，6a故 （正弦定理） ，再由 知 ，故 ，于是21645sin3siinAbB ab0，10180C从而 的面积 .sin9(31)2SabC考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.【难度】一般【例题 8】已知函数 2()23sincosyfxxxaR，其中 a为常数（1）求函数 的周期；（2）如果 ()yfx的最小值为 0

13、，求 a的值，并求此时 )(xf的最大值及图像的对称轴方程.【答案】 （1） T， （2） 1a，最大值等于 4，26kxZ【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质，首先将其化为基本三角函数，即化为形如： ，由sin()yAxB倍角公式，降幂公式及配角公式得：1cos23in2sin()16yxaxa，然后利用基本三角函数性质进行求解，即 （2）由 ()f的 最小值为 ，得 ，因此最.T大值为 对称轴方程满足: 62xkZ，即：26kxZ.2134.a试题解析：（1） ， ；（2） 的最小值cos23in1si()1yxaT()fx为 ， ， ，函数 最大值等于 ，00a6yx4，即 时函数有

14、最大值或最小值，故函数 的图象的对称2()62xkZ()26kxZ()fx轴方程为 考点：三角函数性质，三角函数式化简【难度】一般【例题 9】求函数 的最值.2sincoxy【答案】 的最大值为 ，最小值为 .isx473473【解析】设 则 ，即 为过点 两点的斜率. 所以要求函数(2,)co,in)AP2sincoPAxkPAk,的最大值，只要求直线 的斜率 的最大值即可.sincoyx因为 ，所以 在单位圆上.因为直线 的方程为： ，所2i1(csx,i) (2)PAykx以直线 与单位圆相切时，斜率 取得最值. 由 ，解得 ，所以PAPAk21PAk473的最大值为 ，最小值为 .2s

15、incoxy473473【难度】一般【例题 10】 在内角 的对边分别为 ，已知 若 则ABC,abccosinbCB2ac的面积最大值为 .【答案】 24【解析】因为 ，所以有 ，因为 ，可cosinabCBsinicosinsABCBABC以把式子化简为 ，利用两角和差公式，可以得到 ，即icosinco面积 ，又因为 ，所以 45B 212sin244acac 2ac24【命题意图】本题考查解三角形的基础知识，意在考查基本运算能力【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、正弦定理等知识，是一道考 察解三角形的好题 .【难度】容易【例题 11】已知 中，三边为

16、，且 ， ，求 面积最大值ABCcba,bcaBC3os3ABC【答案】 423【解析】由 得 ，bcaBCcosabc2223即 ，去分母化简得cbca3)(22 acbc2)32（所以 ，得1os2aBsinB得 ，而cbca)322（ ac2)32（ ac22所以 ，即963（ 96所以 ， ，49ac 423.21sinBacSABC即 面积最大值为 43【难度】一般【例题 12】已知 中， （ 为变数） ，求 面积的最大ABC(2,0)(,cos,1in)BCABC值【答案】 的最大值是ABCS13()2【解析】设 点的坐标为 ，则 ，(,)xycos1in即 为以 为圆心，以 为半

17、径的圆22(1)xy0,1 ，,0,AB ，|42且 的方程为 ，1xy即 ，0xy则圆心 到直线 的距离为 (,1)AB2|(1)|32点 到直线 的最大距离为 ，C3 的最大值是ABS12(2)【难度】一般【例题 13】在锐角ABC 中，A=2B，则 的取值范围是 ab【 答 案 】 (2,3)【 解 析 】 因 为 A=2B，所以，所以 ，所以(0,)(,)3(0,)(,)4263BCABB 又 (,)64B.sini2cos(2,3)ABab【点评】本题易错在求 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件；本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通

18、性通法.【难度】较易【例题 14】在 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列 （1）求ABC,abcos,c,osCbBA的大小；（2）若 ，求 周长的取值范围B5bABC【答案】 （1） .（2） .3(10,【解析】 （1）由题意知 ，由正弦定理得cos2cosab，sincosiinAC所以 ，于是 .()B1,3B（2）由正弦定理 ，所以0sinisinabcAC10101210i5i5si()sin510sin()3633abc AA又由 得 ，所以2A26.510sin()(10,5abc【点评】对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到

19、化简、求值域的目的.考点：1三角恒等变换；2基本不等式【难度】一般【实战演练】1 【2015 高考陕西，理 3】如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）3sin()6yxkA5 B6 C8 D102 【2015 高考安徽，理 10】已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期sinfxxA为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）3xf（A） 20ff（B） 02fff（C） （D） fff3 【2015 高考浙江，文 11】函数 的最小正周期是 ，最小值是 2sinicos1fxx4 【2015

20、高考湖南，理 9】将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的()sin2fx(0)2()gx图像，若对满足 的 ， ，有 ，则 （ ）12()fxg112min3xA. B. C. D.5123465 【2015 高考上海，理 13】已知函数 若存在 ， ， ， 满足sinfx1x2mx，且1206mxx（ ， ） ，则 的最小值为 231nnffffxfxf 6 【2015 高考天津，理 15】已知函数 22sini6fxx， R（）求 ()fx最小正周期；（）求 在区间 ,34p-上的最大值和最小值7 【2015 高考重庆，理 18】已知函数 2sinsi3cos2fxxx（1）求 fx

21、的最小正周期和最大值；（2）讨论 fx在 2,63上的单调性8 【2015 高考湖北，理 17】某同学用“五点法”画函数 在某一个()sin()(0,|)2fxAx周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x0232356sin()Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解析式；()fx（）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象若()yfx(0)yg图象的一个对称中心为 ，求 的最小值()g5(,0)129 【2015 高考北京，理 15】已知函数 2sincosin2xxf（）求 的最小正周期；fx（）求 在区间 上的最小值,0

22、10 【2015 高考新课标 1，理 16】在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是 .11 【2015 高考山东，理 16】设 .2sincos4fxx（）求 的单调区间；fx（）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积的最大值.ABC,abc0,12AfaABC12 【2015 高考湖南，理 17】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且ABCbctan为钝角.（1）证明： ；2BA（2）求 的取值范围.sinC13已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值不可能是（ ）()sin2xf,ab1,2baA B C D43834314 中

23、，角 所对边的长分别为 ，若 ，则 的最小值为（ ）C,A,abc22cosCA B C D3221215已知函数 ，则 的最大值为 13tancos,0,2fxxfx16已知 ， ，在曲线 与直线 =1 的交点中，若相邻交)(cssi)( xxf Rx)(xfyy点距离的最小值为 ，则 的最小正周期为_3)f17半径为 的圆外接于 ，且RABC 22sini3sinRACabB（1）求角 ；C（2）求 面积的最大值AB18在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列，且 3sin4AC（1）求角 B 的大小；（2）若 ，求 的面积最大值b319已知ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 ，若ABC 的外接圆的半径为 ，且,abc2sini()sin.aAcab（1）求C；（2）求ABC 的面积 S 的最大值20已知函数 ，在同一周期内，当 时， 取得最()sin()fxAx(0,)12x()fx大值 ；当 时， 取得最小值 .3712f3（）求函数 的解析式；()fx（）求函数 的单调递减区间；（）若 时，函数 有两个零点，求实数 的取值范围,36x()21hxfmm