1、三角函数的最值,一、高考要求,1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等, 求三角函数的最大值和最小值.,2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.,3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.,最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方法有:,1.涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可考虑利用三角函数的有界性.,二、重点解析,三、知识要点,2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c
2、的函数可通过适当变换、配方求解.,3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法处理.,常见的三角换元,1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos, y=sin;,2.若 ax2+y2b, 可设 x=rcos, y=rsin, ar2b;,6.对于 x+y+z=xyz, 由在 ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=);,典型例题,1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值.,解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4
3、x,=2+3=5.,仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=1 时取等号.,y 无最大值.,解: 由已知 y0, 只需考察 y2 的最值.,y 无最小值.,3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周期;,解: (1)f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x,=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x,=cos2x-sin2x,f(x) 的最小正周期为 .,解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.,4.设 0x, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大
4、值和最小值.,0x,当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27.,因此由 f(x) 的值域为 -5, 1 可得:,解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1.,对于任意的 t1, t21, 3, 且 t1t2 有,0.,即 f(t1)-f(t2)0 f(t1)f(t2).,f(t) 在 1, 3 上是增函数.,当 t=1 时, ymin=f(t)min=0, 此时, sinx=-1, x 的集合为:,讨论如下:,8.若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解, 求 a 的取值范围.,解法 1 从方程有解的角度考虑. 原方程即为:,2cos22x+2cos2x-3+a=
5、0. 令 t=cos2x, 则 |t|1, 且,2t2+2t-3+a=0 恒有解.,解法 2 从二次函数图象及性质考虑. 问题转化为:,“a 为何值时, f(t)=2t2+2t+a-3 的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在 -1, 1 内.”,8.若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解, 求 a 的取值范围.,解法 3 正难则反, 从反面考虑.,若方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0 的两根均在 -1, 1 之外, 则, f(1)0.,解得: a-1.,解法 4 从分离参数的角度考虑. 原方程即为:,a=-2cos22x-2cos2x+3,|cos2x|1,课后练习,f(x)
6、 的最小正周期为 .,解: 由已知当 a0 时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+),2.函数 y=acosx+b(a, b为常数), 若 -7y1, 求 bsinx+acosx 的最大值.,解得 a=4, b=-3, 此时,当 a0 时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+),解得 a=-4, b=-3, 此时,当 a=0 时, 不合题意.,综上所述, bsinx+acosx 的最大值为 5.,解: y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.,令 sinx=t, 则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-
7、1t1).,若 -a1, 则当 t=-1 时, y 有最大值,3.求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值)的最大值 M.,M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;,若 -1-a1, 即 -1a1, 则当 t=-a 时, y 有最大值,M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;,若 -a1, 即 a-1, 则当 t=1 时, y 有最大值,M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.,4.当 a0 时, 求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a) 的最大值、最小值以及相应的 x 的取值.,解: f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2,a 为常数,只
8、需求 y=(t+a)2 的最值.,解法 1 由已知 0sin1 且 1-sin2+2msin-2m-20 恒成立.,令 t=sin, 则 0t1 且 1-t2+2mt-2m-20 恒成立.,即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+10 对 t0, 1 恒成立.,故可讨论如下:,(1)若 m0.,即 2m+10.,(2)若 0m1, 则 f(m)0.,即 -m2+2m+10.,亦即 m2-2m-10.,0m1;,(3)若 m1, 则 f(1)0.,即 0m+20.,mR,m1.,解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m-1-sin2.,0sin1.,当 sin=1 时
9、, 不等式显然恒成立, 此时 mR;,当 0sin1 时,令 t=1-sin, 则 t(0, 1, 且,6.设 0, P=sin2+sin-cos. (1)若 t=sin-cos, 用含 t 的式子表示 P; (2)确定 P 的取值范围, 并求出 P 的最大值和最小值.,解: (1)t=sin-cos,t2=1-2sincos=1-sin2.,sin2=1-t2.,P=1-t2+t.,0,即 P=-t2+t+1.,P=-t2+t+1 的图象是开口向下的抛物线, 其对称轴为,当 t=-1 时, P 取最小值 -1.,由题设 3+a=4,a=1.,令 t=sinx, 则 0t1, 故有:,要求 f(x) 的最大值 M(a), 可分情况讨论如下:,g(t) 在 0, 1 上先增后减.,g(t) 在 0, 1 上为减函数.,g(t) 在 0, 1 上为增函数.,解得 a=3 或 -2.,均不合题意, 舍去;,
