1、学优中考网 函数的综合应用 课前热身1已知 关于 的函数图象如图所示，则当 时，自变量 的取值范围是（ ）yx0yx1Oyx2A B 或0x1x2C D 或12在平面直角坐标系中，函数 的图象经过（ ）yxA一、二、三象限 B二、三、四象限C一、三、四象限 D一、二、四象限3.点 (13)P， 在反比例函数 kyx（ 0）的图象上，则 k 的值是（ ） A B 3 C 13 D 34、如图为二次函数 2yabc的图象，给出下列说法： 0ab；方程 0x的根为 12x， ； 0abc；当1x时， y 随 x 值的增大而增大；当 y时， 3x其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）【参考答
2、案】1. B 2. D 3. B 4.考点聚焦知识点一次函数与反比例函数的综合应用；一次函数与二次函数的综合应用；二次函数与图象信息类有关的实际应用问题大纲要求灵活运用函数解决实际问题考查重点及常考题型利用函数解决实际问题，常出现在解答题中备考兵法1.四种常见函数的图象和性质总结图象 特殊点 性质一次函数与 x 轴交点与 y 轴交点（0，b）(1)当 k0 时，y随 x 的增大而增大；(2)当 k0 时，y随 x 的增大而增大，且直线经过第一、三象限；(2)当 k0 时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y 随 x的增大而减小；(2) 当 k0 时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是
3、直线x=- , y 最小值= 。(2)当 a0 时，向右平行移动|h|个单位；h0 向上移动|k|个单位；k0 向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。2.中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题，不仅综合了函数及其图象一章的基本知识，还涉及方程（组） 、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键考点链接1点 A 在函数 的图像上.则有 .oyx,0
4、 cbxa22. 求函数 与 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；bk与 y 轴的交点纵坐标，即令 ，求 y 值3. 求一次函数 的图像 与二次函数 的图像的交0knxl 02acbx点，解方程组 .4二次函数 通过配方可得 ，cbxay2 224()yaxa 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低” ）点, 当0时， 有最 （“大”或“小” ）值是 ；xy 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低” ）点, 当a时， 有最 （“大”或“小” ）值是 5. 每件商品的利润 P = ；商品的总利润 Q = .典例精析例 1（2009 年重庆市江津区）如图，反比例函数 xy2的图像与一
5、次函数 bkxy的图像交于点 A(，2)，点 B(2, n )，一次函数图像与 y 轴的交点为 C。学优中考网 （1）求一次函数解析式；（2）求 C 点的坐标；（3）求AOC 的面积。解析：（1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点 A、点 B 的坐标，分别把 A（m，2） ，B（-2，n）代入反比例函数的关系式易求出 m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系式为 的值；1yx（2）令关系式 中的 x 为 0 求出 y=1，所以 C（0，1） ；（3）AOC 的面积等于 OC1= .21解：由题意：把 A（m，2） ，B（-2，n）代入中得2yx1nA（1，2） B（-2，-1）将 A
6、.B 代入 中得ykxb21kbb一次函数解析式为： 1yx（2）C（0，1）（3） 12AOCS例 2（2009 年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价y（元）符合一次函数 ，且 时， ； 时， xykxb65y75x4（1）求一次函数 的表达式；（2）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定Wx为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范围解析：（1）利用待定系数法确定出一次函数
7、 的表达式；ykxb（2）利润 =每件的利润销售件数，得 W ，根据二次函数的最值问2(90)题确定单价为 90 元，最大利润为 900 元；（3）令 W=500，即 ，解得 ，因为250187x12710x，故单价定为 70 元.6087x 解：（1）根据题意得 解得 654.kb， kb，所求一次函数的表达式为 120yx（2） (60)WxA2187，(9)x抛物线的开口向下， 当 时， 随 的增大而增大，90xWx而 ，6087 当 时， x2()81当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元（3）由 ，得 ，50W207x整理得， ，解得， 2187x12
8、10x，学优中考网 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而，所以，销售单价 的范围是 6087x x708x 例 3（2009 年山东烟台） 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同
9、时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【解析】 （1）利润=单价销售件数，单价为（2400-2000-x） ，销售件数为 ；(84)50x（2）令 y=4800，即 243085x，解方程得 120x， ，老百姓要想得到实惠，所以取 ；（3）利用二次函数的最值解决.解：（1）根据题意，得 (240)8450xy，即 235yx （2）由题意，得 2408x整理，得 20x 解这个方程，得 12x， 要使百姓得到实惠，取 0所以，每台冰箱应降价 200 元 （3）对于 2435y，当 102x时， 150(4)84
10、250y最 大 值所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元 迎考精炼一、选择题1.（2009 年四川凉山州）若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐0abyaxbyx标系中的大致图象可能是（ ）2 （2009 年黑龙江佳木斯）若关于的一元一次方程 无实数根，则一次函210nx数 的图像不经过（ ）(1)ynxA.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题1 （2009 年湖北十堰）已知函数 1xy的图象与 x轴、 y 轴分别交于点 C.B， 与双曲线 xky交于点 A.D, 若 AB+CD= BC，则 k 的值为 2 （200
11、9 年内蒙古包头）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象yxkyx在第一象限相交于点 ，与 轴相交于点 轴于点 ， 的面积为 1，则AxCAB， AOB的长为 （保留根号）AC yO xAC B3 （2009 年青海）如图，函数 与 的图象交于 A、 B 两点，过点 A 作 AC 垂直于yx4轴，垂足为 C，则 的面积为 yAByxOCyxOAyxODyxOB学优中考网 OACBxy三、解答题1.（2009 年河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、C（8，0） 、 D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、 C 两点. (1)直接写出点
12、A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE AB 交 AC 于点E过点 E 作 EF AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?连接 EQ在点 P、 Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的 t 值.2.(2009 年贵州安顺)已知一次函数 (0)ykxb和反比例函数 2kyx的图象交于点A(1，1)（1） 求两个函数的解析式；（2） 若点 B 是 x轴上
13、一点，且AOB 是直角三角形，求 B 点的坐标。3 （2009 年重庆綦江）如图，一次函数 的图象与反比例函数ykxb(0)的图象相交于 A.B 两点(0)myx（1）根据图象，分别写出点 A.B 的坐标；（2）求出这两个函数的解析式1BAO xy14.（2009 年辽宁锦州）某商场购进一批单价为 50 元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过 40%.其中销售量 y(件)与所售单价 x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围；(2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为 w 元，求 w 与 x 之间
14、的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？5 （2009 年安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示O 60204批发单价（元）5批发量（kg）（1）（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义 （2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果学优中考网 金额 w（元）O 批发量 m（kg）30020010020 40 60（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60k
15、g 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大O 6240日最高销量（kg）80零售价（元）（2）4 8（6，80）（7，40）6.（2009 年山东威海）一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反yaxbxy,MN比例函数 的图象相交于点 过点 分别作 轴， 轴，垂足分别kyx,ABACE为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点,CEBFxDyFD， ， B，连接 KD（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图 1，试证明：A， kyx ；EDKCFBKS四 边 形 四 边 形 NM（2）若点 分别在反比例函数A， k
16、yx的图象的不同分支上，如图 2，则 与AN还相等吗？试证明你的结论B O C F MDEN Ky x1()A， 2By，（图 1） O CD KF ENy x1()A，3()， M（图 2）7.（2009 年山东泰安）如图，OAB 是边长为 2 的等边三角形，过点 A 的直线。轴 交 于 点与 Exmy3（1） 求点 E 的坐标；（2） 求过 A.O、E 三点的抛物线解析式；（3） 若点 P 是（2）中求出的抛物线 AE 段上一动点（不与 A.E 重合） ，设四边形 OAPE 的面积为 S，求 S 的最大值。8 （2009 年湖北黄石）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电
17、下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 （台）与补贴款额 （元）之间大致满足如图所示的一次yx函数关系随着补贴款额 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 （元）x Z会相应降低且 与 之间也大致满足如图所示的一次函数关系Z12008000 400y(台)x(元)z(元)x(元)2001602000图 图（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 和每台家电的收益 与政yZ府补贴款额 之间的函数关系式；x（3）要使该商场销售彩电的总收益 （元）最大
18、，政府应将每台补贴款额 定为多少？wx并求出总收益 的最大值w9.（2009 年内蒙古包头）已知二次函数 2yaxbc（ 0a）的图象经过点 (10)A， ，(20)B， (2)C， ，直线 xm（ ）与 轴交于点 D（1）求二次函数的解析式；学优中考网 （2）在直线 xm（ 2）上有一点（点在第四象限） ，使得 EDB、 、 为顶点的三角形与以 AOC、 、 为顶点的三角形相似，求点坐标（用含 m的代数式表示） ；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 AF为平行四边形？若存在，请求出 m的值及四边形 ABE的面积；若不存在，请说明理由yxO10.(2009 年四川
19、成都)已知一次函数 与反比例函数 ，其中一次函数2yxkyx的图象经过点 P( ，5)2yxk(1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点 Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点 Q 的坐标【参考答案】一、选择题1.B 2.二、填空题1. 2. 3.4342三、解答题1.(1)点 A 的坐标为（4，8） 将 A(4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx8=16a+4b得 0=64a+8b解 得 a=- ,b=412抛物线的解析式为：y=- x2+4x（2）在 RtAPE 和 RtABC 中，tanPAE= = ,即 =PEABC48PE= AP= tPB=8-t
20、1点的坐标为（4+ t，8-t）.12点 G 的纵坐标为：- （4+ t） 2+4（4+ t）=- t2+8.18EG=- t2+8-(8-t)8=- t2+t.1- 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2.共有三个时刻.t1= ， t 2= ，t 3= 634852.（1）点 A（1，1）在反比例函数 x2ky的图象上,学优中考网 k=2反比例函数的解析式为： x1y一次函数的解析式为： b2点 A（1，1）在一次函数 的图象上 1b一次函数的解析式为 1xy （2）点 A（1，1） AOB=45 oAOB 是直角三角形 点 B 只能在 x 轴正半轴上 当OB 1A=90 o时，即 B1
21、AOB 1. AOB 1=45o B 1A= OB1 B 1（1，0） 当O A B 2=90 o时，AOB 2=AB 2O=45o,B 1 是 OB2中点, B 2（2，0） 综上可知，B 点坐标为（1，0）或（2，0） 3.（1）解：由图象知，点 的坐标为 ，(61)，点 的坐标为（3，2）（2）反比例函数 的图象经过点 ，myxB ，即 36所求的反比例函数解析式为 6yx一次函数 的图象经过 、 两点，ykxbAB 1623解这个方程组，得13kb所求的一次函数解析式为 yx4.解(1) 最高销售单价为 50(1+40%)=70(元).根据题意，设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx
22、+b(k0). 函数图象经过点(60，400)和(70，300)， 解得y 与 x 之间的函数关系式为 y=-10x+1000，x 的取值范围是 50x70. (2)根据题意，w=(x-50)(-10x+1000)， W=-10x2+1500x-50000,w=-10(x-75)2+6250. a=-10 ，抛物线开口向下.又对称轴是 x=75，自变量 x 的取值范围是 50x70 ， y 随 x 的增大而增大.当 x=70 时，w 最大值=-10(70-75)2+6250=6000(元).当销售单价为 70 元时，所获得利润有最大值为 6000 元. 5.（1）解：图表示批发量不少于 20k
23、g 且不多于 60kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；3 分图表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发（2）解：由题意得： ，函数图象如图所示 2064mw （ ） ）（由图可知资金金额满足 240 w300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果（3）解法一：设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 3204m当 m60 时， x6.5由题意，销售利润为 2(4)320)4(6)4yx当 x6 时， ，此时 m801y最 大 值即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元解法二：设日最高销售量为 xkg（
24、x60）学优中考网 则由图日零售价 p 满足： ，于是3204xp3204x销售利润 23201()(8)64yx当 x80 时， ，此时 p6最 大 值即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元6.（1） 轴， 轴，AC Ey四边形 为矩形O轴， 轴，BFx D四边形 为矩形轴， 轴，AC y四边形 均为矩形EKOCFBK， ，11xxkA， ，1AEOCSy矩 形，22FxBxk， ，2DOyA矩 形AECBFS矩 形 矩 形，DKAEOCDKS矩 形 矩 形 矩 形，CFBFC矩 形 矩 形 矩 形AEDKBKS矩 形 矩 形由（1）知
25、 AECFBS矩 形 矩 形CK，90ABD ABCD轴，y四边形 是平行四边形N同理 BMCDA（2） 与 仍然相等N，AEDKAEOCDKCSS矩 形 矩 形 矩 形，BCFBF矩 形 矩 形 矩 形又 ，AEODk矩 形 矩 形DKBCFS矩 形 矩 形A，CDKB A轴，y四边形 是平行四边形NDC A同理 BM 7.解：（1）作 AFx 轴与 FOF=OAcos60=1，AF=OFtan60= 3点 A（1， ）3代入直线解析式，得 ，m=31m4学优中考网 34xy当 y=0 时， 0得 x=4， 点 E（4，0）（2）设过 A.O、E 三点抛物线的解析式为 cbxay2抛物线过
26、原点c=0 抛物线的解析式为 xy342（3）作 PGx 轴于 G，设 )(0xP， 2)4(2)1( 00yxxySSEFAO )35(21)3(210200xyx850当 320最 大时 ， Sx8.解：（1）该商场销售家电的总收益为 （元）802160（2）依题意可设，180ykx2Zkx有 ， ，420160解得 125k，所以 ， 80yx1Zx（3） ()205WA21(0)165x政府应将每台补贴款额 定为 100 元，总收益有最大值x其最大值为 元9.解析：本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件
27、，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。解：(1)根据题意，得042abc，解得132abc 23yx。(2)当 EDBAOC 时，得 AOCEDB或 OED。AO=1，CO=2，BD=m-2，当 时，得 12m， 2mED。点 E 在第四象限， 12,E，当 AOCBDE时，得 12ED，24，点 E 在第四象限， 1,4m。(3)假设抛物线上存在一点这 P，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则 EF=AB=1，点 F 的横坐标为 m-1,当点 1的坐标为 2,时，点 1F的坐标为 21,m，学优中考网 点 1F在抛物线的图象上， 22132m， 240m， 70 7,
28、m(舍去) 153,， 314ABEFS。当点 2E的坐标为 ,2m时，点 2的坐标为 1,42，点 F2在抛物线的图象 上， 23,m 710,m 50 (舍去)， 5 14,6 16ABEFS平 行 四 边 形点拨：（2）中讨论 EDB 与 AOC 相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求 E 点坐标时要注意点的坐标的符号。（3）中在求是否存在点 E 问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在.10.（1）一次函数 y=x+2 的图像经过点 P5=k+2k=3反比例函数解析式为 y= x3(2)由 ，解得 或xy321yx点 Q 在第三象限Q(-3，-1)学优中( 考:，网
