1、第二章 函数一基础题组1. 【2017 高考上海，8】定义在 0,上的函数 yfx的反函数 1yfx.若31,0xgf为奇函数，则 12fx的解为 2. 【2016 高考上海理数】设 ()fx、 g、 ()hx是定义域为 R 的三个函数，对于命题：若 ()fxg、 ()fh、 均是增函数，则 ()fx、 g、 ()hx中至少有一个增函数；若 x、 ()fx、 ()x均是以 T为周期的函数，则()fx、 、 ()均是以 T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题3. 【2015 高考上海理数】方程 1122lo
2、g95log3xx的解为 4. 【2015 高考上海理数】设 1fx为 2xf， 0,2的反函数，则1yfxf的最大值为 5. 【2015 高考上海理数】记方程 ： 210xa，方程 ： 20xa，方程：2340xa，其中 1a， 2， 3是正实数当 ， 2， 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根6、 【2015 高考上海文数】设 )(1xf为 12xf的反函数，则 )2(1f .7. 【2014 上海,理 4】设 ,)()(2axf若 4)2(f，则 a 的取值范围为_.8. 【20
3、14 上海,理 9】若 213)(xf，则满足 0)(xf的取值范围是 .9. 【2014 上海,文 3】设常数 aR，函数 2()1fxxa，若 ()1f，则 ()f .10. 【2014 上海,文 9】设,0()1xaf若 ()f是 fx的最小值，则 a 的取值范围是 .11. 【2013 上海,理 6】方程 31x 的实数解为_1x12. 【2013 上海,理 12】设 a 为实常数，yf (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)9x 7.若 f(x)a1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为_2a13. 【2013 上海,理 14】对区间 I 上有定义的函数 g(x)
4、，记 g(I)y|yg(x)，xI 已知定义域为0,3的函数 yf (x )有反函数 yf 1 (x)，且 f 1 (0,1)1,2)，f 1 (2,4)0,1)若方程 f(x)x0 有解 x0，则 x0_.14. 【2013 上海,文 8】方程 913x3 x的实数解为_15. 【2013 上海,文 15】函数 f (x)x 21(x0)的反函数为 f 1 (x)，则 f 1 (2)的值是( )A 3 B 3 C +2 D 216. 【2012 上海,理 7】已知函数 (a 为常数)，若 f(x)在区间1，)上是增函数，()xfe则 a 的取值范围是_17. 【2012 上海,理 9】已知
5、yf (x)x 2是奇函数，且 f(1)1.若 g(x)f(x)2，则 g(1)_.18. 【2012 上海,文 6】方程 4x2 x1 30 的解是_19. 【2012 上海,文 9】已知 yf (x)是奇函数，若 g(x)f(x)2 且 g(1)1，则 g(1)_.20. 【2012 上海,文 13】已知函数 yf (x)的图像是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B( 12，1)，C(1,0)函数 yx f(x )(0x1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为_21. 【2011 上海,理 1】函数 的反函数为 f 1 (x)_.1()2fx22. 【2011 上海,理 13】设 g(x)
6、是定义在 R 上，以 1 为周期的函数若函数 f (x)xg(x )在区间3,4上的值域2,5，则 f (x)在区间10,10上的值域为_23. 【2011 上海,理 16】下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数是( )0,+A 1ln |yx Byx 3 Cy2 |x| Dycosx24. 【2011 上海,文 3】若函数 f (x)2x1 的反函数为 f 1 (x)，则 f 1 (2)_.25. 【2011 上海,文 14】设 g(x)是定义在 R 上、以 1 为周期的函数若函数 f(x)xg(x)在区间0,1上的值域为2,5，则 f(x)在区间0,3上的值域为_26. 【2
7、011 上海,文 15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为( )A yx 2 B yx 1 C yx 2 D13yx27. 【2010 上海,理 8】对任意不等于 1 的正数，函数 )3(log)(xfa的反函数的图像都过点 P，则点 P 的坐标是 ；28. 【2010 上海,理 17】若 0x是方程 31)2(x的解，则 0x属于区间（ ）（A） （ 1,32） . （B） （ 3,1）. （C） （ 2,） （D） （ 31,）29. 【2010 上海,文 9】 函数 f (x)log 3(x3)的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是_【答案】 (0，2)30. 【
8、2010 上海,文 17】若 x0是方程 lgxx2 的解，则 x0属于区间( )A(0,1) B(1,1.25) C(1.25,1.75) D(1.75,2)31. 【2010 上海,文 19】已知 0 x 2，化简：lg(cosxtanx12sin 2 x)lg cos(x4)lg(1sin2 x)32. 【2010 上海,文 22】若实数 x、y、m 满足|xm|ym|，则称 x 比 y 接近 m.(1)若 x21 比 3 接近 0，求 x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数 a、b，证明：a 2bab 2比 a3b 3接近 2ab ab；(3)已知函数 f(x)的定义域 Dx|x
9、k，kZ，x R任取 x D，f(x)等于 1sinx 和1sinx 中接近 0 的那个值写出函数 f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)33. (2009 上海,理 20)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知0.15ln,6()4,axfx识的学习次数(x N *), 表示对该学科知识的掌握程度 ,正实数 a 与学科知识有关.()fx(1)证明:当 x7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降;(2)根据经验,甲、乙、丙对应的 a 的
10、取值区间分别为(115,121,(121,127,(127,133.当学习某知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.34. (2009 上海,文 1)函数 的反函数 f -1(x)=_.3()1fx35. 【2008 上海,理 4】若函数 f (x)的反函数为 f 1 (x)x 2（x0） ，则 f(4) .36. 【2008 上海,理 8】设函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x(0,+)时，f (x)lg x，则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 .37. 【2008 上海,理 11】方程 x2+ x10 的解可视为函数 yx+ 的图像与函数 y 的图2 21
11、x像交点的横坐标，若 x4+ax40 的各个实根 x1，x 2，x k (k4)所对应的点(x i , )4xi（i1,2,k ）均在直线 yx 的同侧，则实数 a 的取值范围是 .38. 【2008 上海,文 4】若函数 ()fx的反函数为 12()logfx，则 ()fx 39. 【2008 上海 ,文 9】若函数 ()(2)fxabx（常数 abR， ）是偶函数，且它的值域为 4， ，则该函数的解析式 40. 【2008 上海,文 11】在平面直角坐标系中，点 ABC， ， 的坐标分别为 (01)42(6)， ， ， ， ， 如果 ()Pxy， 是 ABC 围成的区域（含边界）上的点，那
12、么当xy取到最大值时，点 的坐标是 41. 【2008 上海,文 17】 （本题满分 13 分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 ADC， ，且拐弯处的转角为 120已知某人从 沿 D走到 用了 10 分钟，从 沿 走到 用了 6 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA的长（精确到 1 米） 1200OCA42. 【2007 上海,理 1】函数 lg43xfx的定义域为 _43. 【2007 上海,理 3】函数 1xf的反函数 1_fx44 【2007 上海,理 4】方程 96370xx的解是 _45
13、. 【2007 上海,文 1】方程 913x的解是 . 46. 【2007 上海,文 8】某工程由 ABCD， ， ， 四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x， ， ，天.四道工序的先后顺序及相互关系是： ， 可以同时开工； A完成后， C可以开工；BC，完 成 后 ， D可 以 开 工 .若 该 工 程 总 时 数 为 9 天 ， 则 完 成 工 序 需 要 的 天 数 最 大 是 .47.【2007 上海,文 15】设 )(xf是定义在正整数集上的函数，且 )(xf满足：“当 2()fk 成立时，总可推出 (1fk 2成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）.若 )(f成立，则 0)
14、f成立 .若 42成立，则 (1f 成立.若 (3)9f 成立，则当 k 时，均有 2()fk 成立.若 425f 成立，则当 4 时，均有 f 成立48. 【2007 上海, 文 18】 （本题满分 14 分）第 1 小题满分 6 分，第 2 小题近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）.（1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦） ；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，
15、2006 年的实际安装量为1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年 ，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%） ，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？49.【 2007 上海, 文 19】 （本题满分 14 分）第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分.已知函数 0()(2xaxf ，常数 )aR.（1）当 a时，解不等式 2()xf；（2）讨论函数 )(xf的奇偶性，并说明理由.50. 【2006 上海,文 22】 （满分 18 分）第 1 小题 4 分，第 2
16、小题 8 分，第 3 小题 6 分已知函数 ayx有如下性质：如果常数 0a，那么该函数在 0,a上是减函数，在,a上是增函数.（1）如果函数 2(0)byx在 ,4上是减函数，在 4,上是增函数，求 b 的值.（2）设常数 1,4c，求函数 (12)cfxx的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数 ()0ng的单调性，并说明理由.51. 【2005 上海,理 1】函数 )1(log)(4xf的反函数 )(1xf=_.52. 【2005 上海,理 2】方程 024x的解是_53. 【2005 上海 ,理 10】函数 2,0|sin|2i)(xxf 的图象与直线 ky有且仅有两个不同的交点
17、，则 k 的取值范围是_54. 【2005 上海,理 13】若函数 12)(xf，则该函数在 上是（ ）(+)，A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值55. 【2005 上海,理 16】设定义域为 R 的函数 1,0|lg)(xxf ，则关于 x 的方程0)(2cxbff有 7 个不同实数解的充要条件是（ ）A 且 B b且 0cC b且 cD b且 c56. 【2005 上海,文 1】函数 )1(log)(4xf的反函数 )(1xf=_.57. 【2005 上海,文 2】方程 024x的解是_.58.【2005 上海,文 13】若函数 12)(xf，则该
18、函数在 ,上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值二能力题组59. 【2016 高考上海文数】 （本题满分 14 分）第 1 个小题 6 分，第 2 个小题 8 分.有一块正方形菜地 EFGH, 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域 1S和 2，其中 1S中的蔬菜运到河边较近， 2S中的蔬菜运到 点较近，而菜地内 1和 2的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O为 EF的中点，点 的坐标为（1,0） ，如图.（1）求菜地内的分界线 C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出
19、1S面积是 2面积的两倍，由此得到 1S面积的“经验值”为 38.设M是 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH为一边、另有一边过点 M的矩形的面积，及五边形 EOGH的面积，并判断哪一个更接近于 1S面积的“经验值”.60.【2016 高考上海文数】 （本题满分 18 分）第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分.已知 aR，函数 ()fx= 21log()a.（1）当 时，解不等式 f1；（2）若关于 x的方程 ()+ 2log()x=0 的解集中恰有一个元素，求 a的值；（3）设 a0，若对任意 t1,，函数 f在区间 ,1t上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取
20、值范围.61. 【2015 高考上海文数】 （本题满分 14 分）第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.已知函数 xaf1)(2，其中为实数.（1）根据 a 的不同取值，判断函数 )(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若 )3,(，判断函数 在 2,1上的单调性，并说明理由 .62. 【2014 上海,理 12】设常数 a 使方程 sin3cosxa在闭区间0,2 上恰有三个解123,x，则 123x . 63. 【2014 上海,理 18】 ,01,)()2xaxf若 )(f是 xf的最小值，则 a 的取值范围为（ ）.(A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) ,264. 【
21、2013 上海,理 20】 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是 3105)x元(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润65. 【2013 上海,文 20】甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是 3105)x元(1)求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 21(a元；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求
22、此最大利润66. 【2013 上海,文 21】已知函数 f(x)2sin(x)，其中常数 0.(1)令 1，判断函数 F(x)f (x) 2的奇偶性，并说明理由；(2)令 2，将函数 yf (x )的图像向左平移 6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg (x)的图象，对任意 a R，求 yg ( x)在区间a，a10上零点个数的所有可能值67. 【2012 上海,理 20】已知函数 f(x)lg(x1)(1)若 0f(12x )f(x )1 ，求 x 的取值范围；(2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时，有 g(x) f(x)，求函数 y g(x)(x1,2)的反
23、函数68. 【2012 上海,理 21】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图现假设：失事船的移动路径可视为抛物线 2149yx；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t.(1)当 t0.5 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？69. 【2011 上海,理 20】已知函数 f (x)a2 xb3 x，其中常
24、数 a，b 满足 ab0.(1)若 ab0，判断函数 f (x)的单调性；(2)若 ab0，求 f (x1)f (x)时的 x 的取值范围70. (2009 上海,理 22)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.已知函数 y=f-1(x)是 y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数 a(a0),函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)互为反函数,则称 y=f(x)满足“a 和性质”;若函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数,则称 y=f(x)满足“a 积性质”.(1)判断函数 g(x)=x2+1(x0) 是否满
25、足“1 和性质”,并说明理由 ;(2)求所有满足“2 和性质”的一次函数;(3)设函数 y=f (x)(x0)对任何 a0,满足“a 积性质”.求 y=f (x)的表达式.三拔高题组71. 【2016 高考上海理数】 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.已知 aR，函数 21()log()fxa.（1）当 5时，解不等式 0f；（2）若关于 x的方程 2()log(4)50ax的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围；（3）设 0a，若对任意 1,2t，函数 ()fx在区间 ,1t上的最大值与最小值的差不超过
26、1，求 的取值范围.72. 【2014 上海,理 20】 （本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分.设常数 0a，函数 axf2)(（1）若 a=4，求函数 fy的反函数 )(1xfy；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.73. 【2008 上海,理 19】已知函数 f (x)2 x 1 若 f (x)2，求 x 的值 若 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围()(0tmft74. 【2007 上海,理 18】近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知 2002 年全球太阳能年生产量为 670 兆瓦，年增长率为 34%
27、。在此后的四年里，增长率以每年 2%的速度增长（例如2003 年的年生产量增长率为 36%）（1）求 2006 年的太阳能年生产量（精确到 0.1 兆瓦）（2）已知 2006 年太阳能年安装量为 1420 兆瓦，在此后的 4 年里年生产量保持 42%的增长率，若 2010 年的年安装量不少于年生产量的 95%，求 4 年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）75. 【2007 上海,理 19】已知函数 2(0,)afxxR（1）判断 fx的奇偶性 （2）若 在 ,是增函数，求实数 a 的范围76. 【2006 上海,理 22】 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分
28、 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分）已知函数 有如下性质：如果常数 a0，那么该函数在 上是减函数，在ayx (0,a上是增函数,)a（1）如果函数 （x0）的值域为 ，求 b 的值；2by6,)（2）研究函数 2c（常数 c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数 y xa和 2xa（常数 a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ，并求函数 )(xFnx)1(2 n)(2（是正整数）在区间 21，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 77. 【2005 上海 ,文 19】 （本题满分 14 分）
29、已知函数 bkxf)(的图象与 yx,轴分别相交于点 A、B ， （ 分别是与 yx,轴正半轴同方向的单位向量） ，函数2ij,i6)(2xg.（1）求 bk,的值；（2）当满足 )(xgf时，求函数 )(1xfg的最小值.78. 【2005 上海,文 20】 （本题满分 14 分）假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4780 万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？79. 【2005 上海,文 22】 （本题满分 18 分）对定义域是 fD、 g的函数 )(xfy、)(xgy，规定：函数 gffxxgfh且当 且当 且当),(,)(.（1）若函数 1)(xf， 2，写出函数 )(h的解析式；（2）求问题（1）中函数 )(h的值域；（3）若 )(fg，其中 是常数，且 ,0，请设计一个定义域为 R 的函数xfy及一个 的值，使得 x4cos)(，并予以证明.
