1、数学新课标 高考资源部http:/ 站长烟花四月(QQ522286788)高考数学必胜秘诀（6）不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 ，,abcd则 （若 ，则 ） ，但异向不等式不可以相加；同向不等acbd,abcdacbd式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 ，则 （若 ，则0,ac0,） ；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 ，则 或cd bnab；（4）若 ， ，则 ；若 ， ，则 。如（1）对nabab1ab0于实数 中，给出下列命题： ； ；, 2,c则若 c则若
2、,2； ； ； 220则若 则若 baa则若 0 ； ； ，则ba则若 , bcbac则若 ,01,。其中正确的命题是_（答： ） ；（2）已知 ，,ab xy，则 的取值范围是_（答： ） ；（3）已知 ，13xyxy17xyca且 则 的取值范围是_（答： ）,0ca,2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式） ；（3 ）分析法；（4）平方法；（5 ）分子（或分母）有理化；（6 ）利用函数的单调性；（ 7）寻找中间量或放缩法 ；(8) 图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设 ，比
3、较0,1ta且的大小（答：当 时， （ 时取等号） ；当2loglttaa和 1alogl22aatt时， （ 时取等号） ） ；（ 2）设 ， ，01latt2pa，试比较 的大小（答： ） ；（3）比较 1+ 与24aqqp,pq3logx的大小（答：当 或 时，1+ ；当)(logxx且 01x4lx时，1+ ；当 时，1+ ）133logx2lx3lx2lx3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针。如（ 1）下列命题中正确的是 A、 的最小值是 2 1yB、 的最小值是 2 C、 的最大值是 D、2xy423(0)yx4
4、3的最小值是 （答：C） ；（2）若 ，则 的最小43(0)421xyxy值是_ （答： ） ；（ 3）正数 满足 ，则 的最小值为_ （答：2,xy1） ；2数学新课标 高考资源部http:/ 站长烟花四月(QQ522286788)4.常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算2 21abab结构选用) ；（ 2）a、b 、c R， （当且仅当 时，取等22ccabc号） ；（3）若 ，则 （糖水的浓度问题） 。如如果正数 、 满足0,ma，则 的取值范围是 _（答： ）ab 9,5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分
5、等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有： 21 1()()nnn11k kkk如（1）已知 ，求证： ；(2) 已知cba 222cabacba，求证： ；（3）已知 ，且Rcba, )(22 ,xyR，求证： ；(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：xyxy；（5）已知 ，求证：lgllglgl22cacba,22abc；(6)若 ，求证： ；(7)已()cab*nN2(1)()n1n知 ，求证： ；（8）求证： 。|ba2236.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将
6、每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的()fx符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式 。 （答： 或2(1)0x|1） ；（2）不等式 的解集是_（答： 或 ） ；x2()30xx|3x（3）设函数 、 的定义域都是 R，且 的解集为 ，()fgf的解集为 ，则不等式 的解集为 _（答： ） ；()0g()fgA(,)2,)（4）要使满足关于 的不等式 （解集非空）的每一个 的值至少满足不等92a式 中的一个，则实数 的取值范围是_.（答：08622xx和）817,)7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路
7、是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式（答： ） ；（2）关于 的不等式 的解集为 ，2513x(,),3xbax),1(则关于 的不等式 的解集为_（答： ）.02bax ),2()1,(8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答： ） ；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等|42|xR数学新课标 高考资源部http:/ 站长烟花四月(QQ522286788)式 （答： ） （4）两边平方：如若不
8、等式|1|3x(,1)(2,)对 恒成立，则实数 的取值范围为_。 （答： ）32axRa439、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若 ，2log1a则 的取值范围是_（答： 或 ） ；（2）解不等式a1a03（答： 时， ； 时， 或 ； 时，2()1xR0|x|xa0或 ）|0ax提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意
9、义范围的端点值。如关于 的不等式x的解集为 ，则不等式 的解集为_（答：（1,2） ）bx)1,(02bax11.含绝对值不等式的性质：同号或有 ；a、 0|ab|ab异号或有 .、如设 ，实数 满足 ，求证：2()13fx|1x|()|2(|1)fxa12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上AxfDDminfxA若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上B aB如（1）设实数 满足 ，当 时，
10、的取值范围是,y22(1)y0xyc_（答： ） ；（ 2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数1 a34x的取值范围_ （答： ） ；（3）若不等式 对满足 的所有aa)1(22都成立，则 的取值范围_（答：（ , ） ） ；（4）若不等式mx7对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围是_（答：nn1)(2)1(na） ；（5）若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的3, 210xm1xxm取值范围. （答： ）12). 能成立问题若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；DxAxf DmaxfA若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .BinB如已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围a34R_（答： ）1a数学新课标 高考资源部http:/ 站长烟花四月(QQ522286788)3). 恰成立问题若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ；AxfDAxfD若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .B B
