1、 1 专题11 函数 1. 下 列函 数 fx 中， 满 足 “ 对 任意的 12 , 0, xx ，当 12 xx 时， 都有 12 f x f x ” 的 是 （ ） A 1 fx x B sin f x x x C x f x e D ln 1 f x x 【答案 】A 【解析 】 试题分 析： 依题 意可 知函 数为 0, 上的减 函数 ，B ，C，D 都是 增函 数 ， 故选A. 考点： 函数 的单 调性. 2. 已 知函 数 2 , 0, () ( 3), 0, x x fx f x x 则 (5) f （ ） A32 B16 C 1 32D 1 2【答案 】D 【解析 】 考点：
2、 分段 函数 的求 值 3. 已 知函 数 2 lg , 0 6 4, 0 xx fx x x x ， 若关 于x 的方 程 2 10 f x bf x 有8 个不同 根 ， 则 实数b 的 取值范 围是_. 【答案 】 17 2, 4 【解析 】 试题分 析： 作出 函数 fx 的图 象，如 右图 所示 ，因 为关 于x 的方 程 2 10 f x bf x 有8 个不 同根 ， 所以方程 2 10 x bx 有 2 个不同的正解，且在 (0, 4 上，所以 2 0 2 40 16 4 1 0 b b b ，解得 17 2 4 b ，所以 实数b 的取值 范围 是 17 2, 4 . 2 考
3、点： 根的 存在 性及 根的 个数的 判断. 4. 已知 ), 0 ( 3 ), 0 ( log ) ( 2 x x x x f x 则 ) 2 1 ( ( f f f _. 【答案 】 2 log 3 【解析 】 考点： 分段 的求 值 5. 已 知函 数 2 1, 0 2 , 0 ax ax x fx a e x 为R 上的 单调 函 数，则 实数a 的取 值范 围是 （ ） A 1,0 B 0, C 2,0 D ,2 【答案 】A 【解析 】 试题分 析： 由题 意得 ，若 fx 在R 上 单调递 增， 则有 0 20 21 a a a ，此 时无解 ；若 fx 在R 上单调 递 减 ，
4、 则有 0 20 21 a a a ，解得10 a ，所 以函 数为 单调函 数时 ，实 数a 的取值 范围是 1,0 ，故 选A 考点： 函数 的单 调性 的判 定 6. 设 () fx ， () gx 分别是 定义 在R 上的 奇函数 和偶 函数 ， 当 0 x 时， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f x g x f x g x ，且 ( 3) 0 f ，则不 等式 ( ) ( ) 0 f x g x 的解 集是 （ ） 3 A ( 3,0) (3, ) B ( 3,0) (0,3) C( , 3) (3, ) D ( , 3) (0,3) 【答案 】D 【解析 】 考点： 函数 性
5、质 的综 合应 用问题 7. 已 知函 数 ) 0 ( sin a b ax y 的图象 如图 所 示，则 函数 ) ( log b x y a 的图 象可 能是 （ ） 【答案 】A 【解析 】 试题分析 ：由图 象可知， 0 1,0 1 ab ，所以函 数 ) ( log b x y a 可视为函数 log a yx 的图象向 左 平移b 个单位 ，故 选 A. 考点： 函数 图象 的应 用. 8. 设 函数 0 , 0 , 2 3 ) ( x x x x f x ，若 1 ) ( 0 x f ，则 0 x 【答案 】 1 【解析 】 4 试题分析：由题意得，当 0 x 时，令 0 0 3
6、 2 1 1 x x ，当 0 x 时，令 00 11 xx ， 所 以 0 x 1 . 考点： 分段 函数 的应 用. 9. 将 甲桶 中的a 升水 缓慢 注 入空桶 乙中 ， min t 后甲桶 剩余 的水量 符合 指数 衰减 曲线 nt y ae . 假设过 5min 后甲桶 和乙 桶的 水量 相等 ，若再 过 min m 甲桶中 的水 只有 4 a 升，则m 的值 为（ ） A.5 B.8 C.8 D.10 【答案 】A 【解析 】 考点： 函数 的实 际应 用问 题. 10 已 知实 数 , 0, (x) lg( x), x 0, x ex f 若关于x 的方 程 2 (x) f(x
7、) t 0 f 有三个 不同 的实 根， 则t 的取值范 围为（ ） A. ( , 2 B.1, ) C. 2,1 D.( , 2 1, ) 【答案 】A 【解析 】 试题分 析： 设 m f x ， 作出 函数 fx 的图象， 如图 所示， 则 1 m 时， m f x 有两个 根 ， 当 1 m 时， m f x 有一 个根 ， 若关 于x 的方 程 2 (x) f(x) t 0 f 有三 个不 同的 实根 ， 则 等价为 2 t0 mm 由两个 不同 的实 数根 ， 且 1 m 或 1 m ，当 1 m 时， 2 t ， 此时 由 2 20 mm ， 解得 1 m 或 2 m ， 满足
8、1 fx 有两个 根， 2 fx 有一个 根， 满足条 件；当 1 m 时， 设 2 t h m m m ，则 10 h 即可， 即1 1 0 t ，解得 2 t ，综 上实 数t 的取 值范 围为 2 t ，故 选 A. 5 考点： 根的 存在 性及 个数 的判断. 11. 已 知函 数 x f 的图象 如图 ，则它 的一 个可 能的 解析 式为（ ） A x y 2 B 1 4 4 x y C. 1 log 3 x y D 3 x y 【答案 】B 【解析 】 考点： 函数 图象. 12. 如 图是 函数 b ax x x f 2 的部 分图 象，则 函数 x f x x g ln 的零
9、点所 在的 区间是 （ ） A ) 2 1 , 4 1 ( B ) 1 , 2 1 ( C. （1,2 ） D（ 2,3 ） 【答案 】B 【解析 】 试题分 析 ：由 函数 图象 可 知 0 0 1 11 f f ，即 01 1 b ab ，函 数 ln 2 ln 2 1 g x x x a x x b ， 6 11 ( ) ln 1 1 ln 2 0 22 g b b ， 1 ln1 2 1 1 0 g b b ， 所 以 零 点 所 在 的 一 个 区 间 为 1 ( ,1) 2 ，故 选B. 考点：1 、 二次 函数 ；2、 函数的 零点 ；3 、函 数图 象. 13. 已 知函 数
10、5 log , 0 2 , 0 x xx fx x 则 1 25 ff （ ） A 1 4B 4 C -4 D 1 4 【答案 】A 【解析 】 考点： 分段 函数 求值. 14. 已知 函数 () fx 是R 上的单 调 函数， 且对 任意 实数x 都有 21 2 1 3 x f f x ，则 2 (log 3) f （ ） A 1 B 4 5C. 1 2D 0 【答案 】C 【解析 】 试 题 分 析 ： 由 于 函 数 为 单 调 函 数 ， 故 设 21 , 2 1 3 x t f x f t ，即 12 3 2 1 t t ，即 1 t ， 所 以 2 1 21 x fx ， 2 2
11、1 (log 3) 1 3 1 2 f . 考点： 函数 的单 调性. 15. 函数 2 a f x x x （其中aR ）的 图象 不可能 是（ ） A B C D 【答案 】C 7 【解析 】 试题分 析 ： 当 0 a 时， 图 象 为 B.当 1 a 时 ， 若 0 x ， 2 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 x x x x f x x x x x 当且仅当 3 2 1 ,2 2 x x x 时，等号成立，即函数有最小值，故 A 选项正确. 当 1 a 时，若 0 x ， 2 1 f x x x 在 0, 为增 函数 ， 故 D 选 项正 确.所 以图 象不
12、 可能 为 C. 考点： 函数 图象 与性 质. 16. 设 , min , , y x y xy x x y ，若 定义 域为R 的函 数 , f x g x 满足 2 2 1 x f x g x x ，则 min , f x g x 的最大 值为 （ ） A 1 4B 2 2C 1 2D 2 【答案 】C 【解析 】 考点： 新定 义函 数， 反证 法. 17. 已知 fx ， gx 分别 是定 义在R 上的偶 函数 和奇 函数 ，且 32 1 f x g x x x ，则 11 fg （ ） A-3 B -1 C.1 D 3 【答案 】C 【解析 】 试题分析： fx ， gx 分 别
13、是 定 义 在R 上 的 偶 函 数 和 奇 函 数 ， 所 以 23 1, f x x g x x ，故 1 1 1 fg . 考点： 函数 的奇 偶性. 8 18. 已 知指 数函 数 y f x ，对数 函数 y g x 和幂函 数 y h x 的图形 都过 1 ,2 2 P ，如果 1 fx 23 4 g x h x ，那么 1 2 3 x x x 【答案 】 3 2【解析 】 考点： 指数 函数 与幂 函数. 19. 已 知函 数 y f x x R ，对函 数 y g x x I ，定义 gx 关于 fx 的“对 称函 数” 为 y h x x I ， y h x 满足 ：对 任意
14、xI ，两 个点 , x h x ， , x g x 关于 点 , x f x 对称， 若 hx 是 2 4 g x x 关于 3 f x x b 的 “ 对称 函数” ， 且 h x g x 恒成 立 ， 则 实数b 的取 值 范 围是 【答案 】 2 10, 【解析 】 试题分 析 ： 根 据对 称函 数的 定 义可 知 2 4 3 2 h x x xb ，即 2 6 2 4 h x x b x ， h x g x 恒成立 ， 等价 于 2 34 x b x 恒成立. 3 y x b 为 直线 ， 2 4 yx 为圆的 上半 部分 ， 由直线 在圆 的 上方， 若直 线和 圆相 切， 由圆
15、心 到直 线的 距离 2 2, 2 10 13 b db ，所 以 2 10, b . 考点： 新定 义函 数. 20 已知 函数 2 1 0 2 x f x x e x 与 2 ln g x x x a 的图象 上 存在关 于 y 轴对称 的点 ， 则a 的取值 范围是 （ ） A 1 , e B , e C 1 , e e D 1 , e e 9 【答案 】B 【解析 】 试题分 析： 两个 函数 存在 关于y 轴的对 称点 ， 即 0 g x f x 有实 根， 即 11 ln 2 x xa e 有实 根， 即 左 右 两 个 函 数 在 0 x 有交点， 当 0 x 时， 0 1 1
16、1 ln , 22 a a e e ， 结 合 两 个 函 数 的 图 象 可 知 当 ae 时在 0 x 上有交 点， 故a 的取值 范围是( , ) e . 考点： 函数 的图 象与 性质. 21. 已 知实 数 ,0 lg , 0 x ex fx xx ， 若 关于x 的 方程 2 0 f x f x t 有三个 不同 的实 根 ， 则t 的取 值范围 为_ 【答案 】 ,2 【解析 】 考点： 函数 与方 程零 点. 22. 给 出下 列函 数： ( ) sin f x x ； ( ) tan f x x ； 2, 1 , ( ) , 1 1 , 2, 1 ; xx f x x x x
17、x 2 , 0, () 2 , 0, x x x fx x 则它 们共 同 具有的 性 10 质是 （ ） A周 期性 B偶 函数 C奇 函数 D无 最大 值 【答案 】C 【解析 】 考点： 函数 的性 质. 23. 已 知函 数 1 () ln( 1) fx xx ，则 () y f x 的图象 大致为 （ ） 【答案 】B 【解析 】 试题分 析 ： 设 ( ) ( ln 1 ) g x x x ， 则 1 () x gx x ， () gx 在 1,0 上为增 函数,在 0, 上为 减 函 数 ， 0 ( 0 ) g x g ， () () 1 0 fx gx ，得 0 x 或10 x
18、 均有 () 0 fx 排除 选项 A ，C ，又 1 () ln( 1) fx xx 中, 10 ln 1 0 () x xx ，得 1 x 且 0 x ，故 排除D.综 上，符 合的 只有 选 项 B. 故选 B. 11 考点：1 、 函数 图 象 ；2、 对数函 数的 性质. 24. 已 知函 数 2 ( ) | ln | 1| f x x x 与 ( ) 2 g x x ，则 它们 所有交 点的 横坐 标之 和为 （ ） A0 B2 C4 D8 【答案 】C 【解析 】 考点：1 、 函数 的零 点；2 、函数 的性 质；3、 函数 图 象. 25. 已 知函 数 () fx 是定义
19、在R 上的偶函 数 ， 且在 区间0, ) 上单 调递增 ，若 实数b 满足 21 2 2 (log ) (log ) 3 (1) f b f b f ，则实 数b 的取值 范围 是 【答案 】 1 ,2 2 【解析 】 试题分 析： 依 题意， 由 21 2 2 (log ) (log ) 3 (1) f b f b f 得 22 2 (log ) ( log ) 3 (1) f b f b f ， 由 函数 () fx 是定义 在R 上的偶 函数 ， 2 3 (log ) 3 (1) f b f ，即 2 (log ) ( 1 ) f b f ，又 函数 () fx 在区间0, ) 上单
20、调递增 ， 2 1 log 1 b ，得 1 1 2 b ，故 填 1 ,2 2 . 考点：1 、 函数 的奇 偶性 ；2、函 数的 单调 性 3 、对 数 的运算. 26. 定 义域 为R 的偶函 数 ) (x f 满足对任 意 R x ，有 ) 1 ( ) ( ) 2 ( f x f x f ，且当 3 , 2 x 时， 12 18 12 2 ) ( 2 x x x f ， 若 函数 ) 1 | (| log ) ( x x f y a 在 ) , 0 ( 上至少 有三 个 零点 ， 则a 的取 值范 围 是 . 【答案 】 ) 3 3 , 0 ( 【解析 】 考点：1 、 函数 的图 象
21、与 性 质；2 、函 数的 零点 与图 象 交点之 间的 关系. 27. 已知 2 a ，函数 , 1, () log , 1, x a ax fx xx 则 (2) ff 等于 （ ） A 2 a B log 2 aC2 Dlog (log 2) aa【答案 】C 【解析 】 试题分 析 ： 因 为 2 a ， 函数 , 1, () log , 1, x a ax fx xx ， 所以 ， 由21 得 2 log 2 a f ， 因 为log 2 1 a ，所 以 log 2 (2) 2 a f f a ，故 选 C. 考点：1 、 分段 函数 的解 析 式；2 、对 数与 指数 的性 质.
22、 13 28. 若定 义在R 上的 函数 fx 当 且仅当 存在 有限 个非 零自 变量x ，使得 f x f x ，则 称 fx 为 类偶函 数， 那么 下列 函数 中，为 类偶 函数 的是 （ ） A 4cos f x x B 2 23 f x x x C. 21 x fx D 3 3 f x x x 【答案 】D 【解析 】 试题分 析 ：若 4cos f x x ， 对 任意 , x R f x f x 恒 成立 ， 故 选项A 错误.若 2 23 f x x x 或 21 x fx ，当 且仅 当 0 x 时， f x f x 成立， 故选 项 B，C 均 错误. 若 3 3 f x
23、 x x ，则 仅存在 3 x ，使 得 f x f x 成立， 故选 项D 正 确， 故 选 D. 考点：1 、 函数 的解 析式 ；2、新 定义 问题 的应 用. 29. 函数 ln 2 ln 1 f x x x x 的定义 域为 【答案 】 2 ,1 e 【解析 】 考点：1 、 函数 的定 义域 及 对数的 性质 ；2 、利 用导 数 研究函 数的 单调 性及 求函 数的最 值. 30. 若 函数 2 ( ) 1 f x x x 在 1,1 上有两 个不 同的零 点 ， 则 的取值 范围 为 （ ） A1, 2) B 2, 2 C( 2, 1 D 1,1 【答案 】C 【解析 】 试题
24、分 析 ： 函 数 2 ( ) 1 f x x x 在 1,1 上有 两 个不同 的零 点，则 2 1 yx （ 半圆 ） 与yx 有两个 不同 交点 ，同 一坐 标系内 画出 两曲 线的 图象 ，如图 ，由 图得12 即21 时符合 题 意， 的取值 范围 为( 2, 1 ，故 选C. 14 考点：1 、 零点 与函 数图 象 的关系 ；2 、数 形结 合思 想 的应用. 31. 函数 1 1 ln 5 2 x f x e x 的 定义 域为 （ ） A0 ) ， B ( 2 ， C. 0 2 ， D0 2) ， 【答案 】D 【解析 】 试题分 析： 因为 1 1 ln 5 2 x f x
25、 e x ，由 5 2 0 ln 5 2 0 10 x x x e 可得02 x ，所以 函数 1 1 ln 5 2 x f x e x 的 定义 域为0 2) ， ，故 选D. 考点：1 、 函数 的定 义域 ；2、对 数函 数与 指数 函数 的 性质. 32. 函数 fx 的图象 关于 y 轴 对 称，且 对任 意xR 都有 3 f x f x ，若当 3522 x ， 时， 1 2 x fx ，则 2017 f （ ） A 1 4 B 1 4C. 4 D4 【答案 】A 【解析 】 考点：1、函 数的解 析式 ；2、函 数的 奇偶 性与 周期 性. 15 33. 设 函数 1 1 log
26、 1 1 1 a x fx xx ， ， ，若 函数 2 g x f x bf x c 有三 个零点 1 x ， 2 x ， 3 x ，则 1 2 2 3 1 3 x x x x x x 等于 . 【答案 】 2 【解析 】 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 1 2 x y O考点：1 、 分段 函数 的图 象 和解析 式；2、 函数 零点 与 方程根 之间 的关 系及 数形 结合思 想的 应用. 34. 记 x 表示 不超 过x 的最大 整数， 如 1.3 1, 1.3 2 ，设函 数 f x x x ，若方 程 1 log a f x x 有且仅 有3 个实数 根， 则正
27、 实数a 的取值 范围 为（ ） A 3, 4 B 3, 4 C. 2,3 D 2,3 【答案 】B 【解析 】 试题分 析： 由题 意得 ， 11 f x x x ，所以方 程 1 log a f x x 有且仅有3 个实数 根，即 1 log a x x x 有且仅 有3 个实数 根， 即函 数 1 y x x 与 log a yx 的图象 有三 个不 同的 交点， 必 有 1, a 分别 作出 两函 数图 象， 如图所 示， 要使 函数 1 y x x 与 log a yx 的图象有 三个 不同 的交 点， 则 log 3 1 a 且log 4 1 a ，解得34 a ，故选 B. 16
28、 考点：1 、 方程 的根 与图 象 交点的 关系 ；2 、新 定义 问 题 及数 形结 合思 想. 35. 如 图所 示， 液体 从一 圆锥形 漏斗 漏入 一圆 柱形 桶中， 开始 时， 漏斗 盛满 液体， 经 过 3 分 钟漏 完 已知 圆柱中 液面 上升 的速 度是 一个常 量，H 是圆 锥形 漏斗 中液面 下落 的距 离 ， 则H 与下落时 间t （分） 的函 数 关系表 示的 图象 只可 能是 （ ） 【答案 】A 【解析 】 考点 ：1 、 函数 的图 象；2 、阅读 能力 、建 模能 力及 选择题 的排 除法. 36. 已 知函 数 32 3 () 32 ax ax x fx ，
29、 2 3 2 ( ) 2 g x a x ax x a （aR ） ， 在 同 一直角 坐标 系中 ，函 数 ( ) fx 与 () gx 的图像 不可 能的 是（ ） 【答案 】B 【解析 】 17 试题分 析 ： 2 , 2 a f x ax x B 选项中 ， 由 gx 的 图象可 知 0 a ， 此 时 2 2 a f x ax x 的判 别式 2 1 2 0 a ，图象 与x 轴有两 个交 点，不 符合 题意 ，故 选 B. 考点： 二次 函数 的图 象. 37. 函数 () fx 是偶函 数， 且在 (0, ) 内是增 函数 ， ( 3) 0 f ，则不 等式 ( ) 0 xf x
30、 的解集 为（ ） A | 3 0 3 x x x 或 B | 3 0 3 x x x 或 C | 3 3 x x x 或 D | 3 0 3 x x x 或0 【答案 】B 【解析 】 考点： 函数 的奇 偶性 与单 调性. 38. 函数 5 3 2 24,0 10 () 2 126,10 20 x x x fx x 的零点 不可 能在 下列哪 个区 间上 （ ） A (1, 4) B (3,7) C. (8,13) D (11,18) 【答案 】B 【解析 】 试题分 析： 当 10 0 x 时 ) (x f 单调 递增 ， 又 0 ) 3 ( f ， 所以 10 0 x 有唯一 零点 3
31、 x ，故 B 不 正确 ， 故选 B. 考点： 函数 的零 点. 39. 设 区间 , qp 的长 度为pq ，其 中pq .现 已知 两个 区间 2 4ln ,ln mm 与ln , 4ln 10 mm 的长 度 相等， 则 1xx e me 的最小 值为 （ ） A 3 2e B 3 2 2e 或 3 2e C. 3 2 2e D 3 2 2e 或 2 2e 【答案 】A 【解析 】 18 试题分 析： 根据 题意 可得： , ln 10 ln 4 ln 4 ln 2 m m m m 化简得 0 ) 5 )(ln 2 (ln m m ，当 2 ln m 是 2 4ln ,ln mm 无意
32、 义， 故不 成立 ，所 以 5 ln m ， 5 e m ， 6 1 1 5 1 1 x x x x x x e e me e e e e 63 22 ee ，故 选A. 考点： 函数 与方 程. 40. 高 三学 生在 新的 学期 里，刚 刚搬 入新 教室 ，随 着楼层 的升 高， 上下 楼耗 费的精 力增 多， 因此 不满 意度 升高， 当教 室在 第n 层楼时 ， 上下 楼造 成的 不满 意度 为n ，但 高处 空气 清新 ，嘈 杂音较 小 ， 环境 较为 安静 ， 因此 随 教室 所在 楼层 升高 ，环境 不满 意度 降低 ，设 教室在 第n 层时楼 ，环 境不 满意度 为 8 n ，则同 学们 认为 最适宜 的教 室应 在 （ ） A2 楼 B3 楼 C4 楼 D8 楼 【答案 】B 【解析 】 试题分 析： 总的 不 满 意度 ： n n y 8 ，由 对勾 函数 的性 质可 知，当 3 n 时， 其值 最小 ，故 选 B. 考点： 根据 实际 问题 选择 函数类 型. 41. （ 原创 ）已 知函 数 f x x R 是单调函 数， 且 32 3 3 2 14 f f x x x x 对xR 恒成 立， 则 0 1 2 f f f （ ） A0 B 6 C.12 D 18 【答案 】D 【解析 】 考点： 函数 的性 质.
