1、高中数学立体几何常考证明题汇总THINKER苏绽1、已知四边形 是空间四边形， 分别是边 的中点ABCD,EFGH,ABCD（1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若 BD= ，AC=2，EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。23证明：在 中， 分别是 的中点ABD,EH,ABD1/,2EHBD同理， 四边形 是平行四边形。1/,2FG/FGFG(2) 90 30 考点：证平行（利用三角形中位线） ，异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形 中， ， 是 的中点。ABCD,ABDEA求证：（1） 平面 CDE;（2）平面 平面 。 E证明：（1） CABA同理
2、， DBE又 平面CEABCDE（2）由（1）有 平面又 平面 ， 平面 平面ABAB考点：线面垂直，面面垂直的判定AHGFEDCBAEDB CThinker：think another possible23、如图，在正方体 中， 是 的中点，1ABCDE1A求证： 平面 。1/E证明：连接 交 于 ，连接 ，O 为 的中点， 为 的中点E1AAC 为三角形 的中位线 O1/E又 在平面 内， 在平面 外BD1BD 平面 。 1/ACE考点：线面平行的判定4、已知 中 , 面 , ,求证： 面 B90ASABCSADSBC证明： 又 面 面 CD又 面 ,SCADBASB考点：线面垂直的判定5
3、、已知正方体 ， 是底 对角线的交点.1CDO求证：() C1O面 ；(2) 面 B11证明：（1）连结 ，设 ，连结A1A 是正方体 是平行四边形1BD1A 1C1AC 且 又 分别是 的中点，O 1C1AO 且, 1O是平行四边形 1O面 ， 面 C 1O面 1, 1ABABD1ABD（2） 面 1!又 ， 1AD 面 1即同理可证 ， 又1C面 1考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定A1ED1C1B1DCBASDCBAD1ODBAC1B1A1CNMPCBA6、正方体 中，求证：（1） ；（2） .ABCDACBD平 面 BAC平 面考点：线面垂直的判定7、正方体 AB
4、CDA1B1C1D1中(1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C；(2)若 E、F 分别是 AA1，CC 1的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD证明：(1)由 B1BDD 1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形， B 1D1BD，又 BD 平面 B1D1C，B 1D1 平面 B1D1C，BD平面 B1D1C同理 A1D平面 B1D1C而 A1DBDD，平面 A1BD平面 B1CD(2)由 BDB 1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1中点 G，AEB 1G从而得 B1EAG ，同理 GFADAGDF B 1EDFDF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD考点：线面平行的判定（
5、利用平行四边形）8、四面体 中， 分别为 的中点， 且 ，ACD,BEF,ADC2FAC，求证： 平面 90B证明：取 的中点 ，连结 ， 分别为 的中点，G,BEG1/，又 ，在 中，12/F12EG22F ， ，又 ，即 ，EBDAC90BDCAC 平面 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图 是 所在平面外一点， 平面 ， 是 的中点， 是 上的点，P,PPBNAB3AN（1）求证： ；（2）当 ， 时，求 的长。MB90AB24C证明：（1）取 的中点 ，连结 ， 是 的中点，Q,NM ， 平面 ， 平面 /QCA 是 在平面 内的射影 ，取 的中点 ，连结 PBD
6、A1AB1BC1CD1DGEFThinker：think another possible4， ，又 ， 来源:学科网PD,ABPDA3NBND ， ，由三垂线定理得/QNMA（2） ， ， ， 平面 .90,121QMPAB ，且 ，M12C考点：三垂线定理10、如图，在正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点.求证：平面1ABDEFGABD1C平面 .1DEFG证明： 、 分别是 、 的中点， 又 平面 ， 平面 平面 四边形 为平行四边形， 1B1DE1DEGB又 平面 ， 平面 平面DEGB， 平面 平面1F1F考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体 中， 是
7、 的中点.1ACDE1A（1）求证： 平面 ；1/BE（2）求证：平面 平面 .证明：（1）设 ，ACO 、 分别是 、 的中点， EO11ACEO又 平面 ， 平面 ， 平面1BDEBBD（2） 平面 ， 平面 ，AC1又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面1ADACEBD1AC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） ，面面垂直的判定12、已知 是矩形， 平面 ， ， ，BDPB24P为 的中点EC（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角E证明：在 中， ，A2AAE 平面 ， 平面 ，PCD又 ， 平面P（2） 为 与平面 所成的角D在 ， ，在 中，Rt42Rt2在 中
8、， ，EE03考点：线面垂直的判定,构造直角三角形13、 如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边PABCDAB06DaPAD三角形，且平面 垂直于底面 （1）若 为 的中点，求证： 平面 ；GGP（2）求证： ；（3）求二面角 的大小证明：（1） 为等边三角形且 为 的中点，ABABGA又平面 平面 ， 平面PDCD（2） 是等边三角形且 为 的中点， P且 ， ， 平面 ，G平面 ，P（3）由 ， ，ABB又 ， ，DCG为二面角 的平面角P在 中， ，Rt045考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图 1,在正方体 中
9、， 为 的中点，AC 交 BD 于点 O，求证： 平面1ABDM1C1AMBD证明：连结 MO， ，DB ，DBAC ， ， 1M11ADB平面 ，而 平面 DB COO设正方体棱长为 ，则 ， a213Aa234a在 Rt 中， ，194211MA AOMOM DB=O， 平面 MBD1A考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图，在三棱锥 BCD中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE于 求证： AH平面 BCD证明：取 AB的中点 ，连结 CF， DF ， ACBFAB ， D又 ， 平面 CDF 平面 CDF， 又 ， ， CBEABThi
10、nker：think another possible6 平面 ABE， CDAH ， ， ，AHBECDE 平面 BCD考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，A 1C平面 BC1DD1 C1 A1 B1 D C A B 证明：连结 AC AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影BD BD111同 理 可 证 平 面考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB 、SC，且ASB= ASC=60 ，BSC=90，求证：平面 ABC平面 BSC证明SB=SA=SC ，ASB= ASC=60AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连AO、SO，则 AOBC，SOBC，AOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC= 2a，SO=2a，AO2=AC2OC 2=a21a2= a2，SA 2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC平面 BSC考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
