1、2018 年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）计算 的结果是 2 （4 分）已知集合 A=1，2，m，B=3，4，若 AB=3，则实数 m= 3 （4 分）已知 ，则 = 4 （4 分）若行列式 ，则 x= 5 （4 分）已知一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ，则x+y= 6 （4 分）在 的二项展开式中，常数项等于 7 （5 分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具） ，先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 8 （5
2、 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，若点（n ，S n） （n N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则 an= 9 （5 分）在ABC 中，若 sinA、sinB 、sinC 成等比数列，则角 B 的最大值为 10 （5 分）抛物线 y2=8x 的焦点与双曲线 y2=1 的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 11 （5 分）已知函数 ，x R，设 a0，若函数g（ x）=f（x+）为奇函数，则 的值为 12 （5 分）已知点 C、D 是椭圆 上的两个动点，且点 M（0，2） ，若，则实数 的取值范围为 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13
3、 （5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限14 （5 分）给出下列函数：y=log 2x；y=x 2；y=2 |x|；y=arcsinx 其中图象关于 y 轴对称的函数的序号是（ ）A B C D15 （5 分） “t0” 是“函数 f（x ）=x 2+txt 在（， +）内存在零点” 的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件16 （5 分）设 A、B、C 、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 =0， =0， =0，用 S1、S 2、S 3 分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则 S1+S2+
4、S3 的最大值是（ ）A B2 C4 D8三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17 （14 分）如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开（1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18 （14 分）如图，已知圆锥的侧面积为 15，底面半径 OA 和 OB 互相垂直，且 OA=3，P 是母线 BS 的中点（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）
5、19 （14 分）已知函数 的定义域为集合 A，集合 B=（a ，a+1） ，且BA（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数20 （16 分）设直线 l 与抛物线 ：y 2=4x 相交于不同两点 A、B，O 为坐标原点（1）求抛物线 的焦点到准线的距离；（2）若直线 l 又与圆 C：（ x5） 2+y2=16 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；（3）若 ，点 Q 在线段 AB 上，满足 OQAB，求点 Q 的轨迹方程21 （18 分）若数列 A：a 1，a 2，a n（n3）中 （1in）且对任意的 2k n1，a k+1+ak
6、12a k 恒成立，则称数列 A 为 “U数列”（1）若数列 1，x，y，7 为“U 数列”，写出所有可能的 x、y；（2）若“U数列”A：a 1，a 2，a n 中，a 1=1，a n=2017，求 n 的最大值；（3）设 n0 为给定的偶数，对所有可能的“U 数列”A：a 1，a 2， ，记，其中 maxx1，x 2，x s表示 x1，x 2，x s 这 s个数中最大的数，求 M 的最小值2018 年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）计算 的结果是 1 【解答】解：当 n+
7、， 0， =1，故答案为：12 （4 分）已知集合 A=1，2，m，B=3，4，若 AB=3，则实数 m= 3 【解答】解：集合 A=1，2，m，B=3，4，AB=3，实数 m=3故答案为：33 （4 分）已知 ，则 = 【解答】解： ， = 故答案为： 4 （4 分）若行列式 ，则 x= 2 【解答】解： ，22 x14=0 即 x1=1x=2故答案为：25 （4 分）已知一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ，则x+y= 6 【解答】解：一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ，由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 ，解得 x=4，y=2，x+y=6故答
8、案为：66 （4 分）在 的二项展开式中，常数项等于 160 【解答】解：展开式的通项为 Tr+1= x6r（ ） r=（ 2） r x62r令 62r=0 可得 r=3常数项为（2） 3 =160故答案为：1607 （5 分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具） ，先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 【解答】解：基本事件共 66 个，点数和为 4 的有（1，3） 、 （2，2） 、 （3，1）共 3 个，故 P= = 故答案为： 8 （5 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，若点（n ，S n） （n N*）在函数y=lo
9、g2（x+1）的反函数的图象上，则 an= 2 n1 【解答】解：由题意得 n=log2（S n+1）s n=2n1n2 时，a n=snsn1=2n2n1=2n1，当 n=1 时，a 1=s1=211=1 也适合上式，数列a n的通项公式为 an=2n1；故答案为：2 n19 （5 分）在ABC 中，若 sinA、sinB 、sinC 成等比数列，则角 B 的最大值为 【解答】解：在ABC 中，sinA、sinB 、sinC 依次成等比数列，sin 2B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b 2=ac，由余弦定理得：cosB= = = （当且仅当 a=c 时取等号） ，则 B 的范围为（
10、0， ，即角 B 的最大值为 故答案为： 10 （5 分）抛物线 y2=8x 的焦点与双曲线 y2=1 的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点 F（ 2，0）与双曲线 y2=1 的左焦点重合，a 2+1=4，解得 a= ，双曲线的渐近线方程为 y= ，这条双曲线的两条渐近线的夹角为 ，故答案为： 11 （5 分）已知函数 ，x R，设 a0，若函数g（ x）=f（x+）为奇函数，则 的值为 【解答】解：函数 ，= ，=s ，函数 g（x ）=f（x+）= 为奇函数，则： （kZ） ，解得： ，故答案为：12 （5 分）已知点 C、D 是椭圆 上的
11、两个动点，且点 M（0，2） ，若，则实数 的取值范围为 【解答】解：假设 CD 的斜率存在时，设过点 M（ 0，2）得直线方程为y=kx+2，联立方程 ，整理可得（1+4k 2）x 2+16kx+12=0，设 C（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则=（16k） 24（ 1+4k2）120，整理得 k2，x1+x2= ， x1x2= ， （*）由 ，可得，x 1=x2 代入到（*）式整理可得 = =，由 k2 ，可得 4 ，解可得 3 且 1，当 M 和 N 点重合时，=1，当斜率不存在时，则 D（0，1） ，C （0 ， 1） ，或 D（0，1） ，C （0，1） ，则 =或 =
12、3实数 的取值范围 故答案为： 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解： = ，复数 对应的点的坐标为（1， 2） ，位于第三象限故选：C14 （5 分）给出下列函数：y=log 2x；y=x 2；y=2 |x|；y=arcsinx 其中图象关于 y 轴对称的函数的序号是（ ）A B C D【解答】解：y=log 2x 的定义域为（ 0，+） ，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；y=x 2；是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件y=2 |x|是偶函数，图象
13、关于 y 轴对称，满足条件y=arcsinx 是奇函数，图象关于 y 轴不对称，不满足条件，故选：B15 （5 分） “t0” 是“函数 f（x ）=x 2+txt 在（， +）内存在零点” 的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【解答】解：t0=t 2+4t0 函数 f（x）=x 2+txt 在（ ，+）内存在零点，函数 f（ x）=x 2+txt 在（，+）内存在零点=t 2+4t0t0 或 t 4“t0”是“函数 f（x）=x 2+txt 在（，+）内存在零点 ”的充分非必要条件故选：A16 （5 分）设 A、B、C 、D 是半径为 1 的球面上的四
14、个不同点，且满足 =0， =0， =0，用 S1、S 2、S 3 分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是（ ）A B2 C4 D8【解答】解：设 AB=a，AC=b，AD=c ，因为 AB，AC，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以 a2+b2+c2=4R2=4 所以 SABC +SACD +SADB = （ab+ac+bc ） （a 2+b2+c2）=2即最大值为：2故选：B三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17 （14 分）如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行
15、于一边的篱笆隔开（1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，它的面积 y=x（l3x） ；由 x0，且 l3x0，可得函数的定义域为（ 0， l） ；（2）y=x（l 3x）= 3x（ 13x） （ ） 2= ，当 x= 时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为 l3x= l，最大面积为 18 （14 分）如图，已知圆锥的侧面积为 15，底面半径 OA 和 OB 互相垂直，且 OA=3，P 是母线 BS 的中点（1）求圆锥
16、的体积；（2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）【解答】 （本题满分（14 分） ，第 1 小题满分（7 分） ，第 2 小题满分 7 分）解：（1）由题意，OASB=15，解得 BS=5， （2 分）故 （4 分）从而体积 （7 分）（2）如图，取 OB 中点 H，连结 PH、AH 由 P 是 SB 的中点知 PHSO，则APH（或其补角）就是异面直线 SO 与 PA 所成角（10 分）SO平面 OAB，PH平面 OAB，PH AH在OAH 中，由 OAOB ，得 ，（11 分）在 RtAPH 中，AHP=90 O， ， （12 分）则 ，异面直线 SO 与
17、 PA 所成角的大小 （14 分）19 （14 分）已知函数 的定义域为集合 A，集合 B=（a ，a+1） ，且BA（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数【解答】解：（1）令 ，解得1x1，所以 A=（ 1，1） ，因为 BA，所以 ，解得1a 0 ，即实数 a 的取值范围是1，0；（2）证明：函数 f（x）的定义域 A=（ 1，1） ，定义域关于原点对称，f（x）=ln =ln（ ） 1=ln =f（x） ，而 ， ，所以 ，所以函数 f（x）是奇函数但不是偶函数20 （16 分）设直线 l 与抛物线 ：y 2=4x 相交于不同两点 A、B，O 为坐标
18、原点（1）求抛物线 的焦点到准线的距离；（2）若直线 l 又与圆 C：（ x5） 2+y2=16 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；（3）若 ，点 Q 在线段 AB 上，满足 OQAB，求点 Q 的轨迹方程【解答】解：（1）根据题意，抛物线 的方程为 y2=4x，则 p=2，故抛物线 的焦点到准线的距离为 2；（2）设直线 l：x=my+b当 m=0 时，x=1 和 x=9 符合题意；当 m0 时，A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）的坐标满足方程组 ，所以 y24my4b=0 的两根为 y1、y 2=16（m 2+b）0，y 1+y2=4m，所以 ，所以
19、线段 AB 的中点 M（2m 2+b，2m）因为 kABkCM=1， ，所以 ，得 b=32m2所以=16（m 2+b）=16（3 m2）0，得 0m 2 3因为 ，所以 m2=3（舍去）综上所述，直线 l 的方程为：x=1，x=9（3）设直线 AB：x=my+b，A （x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）的坐标满足方程组 ，所以 y24my4b=0 的两根为 y1、y 2=16（m 2+b）0，y 1+y2=4m，y 1y2=4b所以 ，得 b=0 或 b=4b=0 时，直线 AB 过原点，所以 Q（0，0） ；b=4 时，直线 AB 过定点 P（4，0）设 Q（ x，y） ，因为 OQ
20、 AB，所以 （x 0） ，综上，点 Q 的轨迹方程为 x24x+y2=021 （18 分）若数列 A：a 1，a 2，a n（n3）中 （1in）且对任意的 2k n1，a k+1+ak12a k 恒成立，则称数列 A 为 “U数列”（1）若数列 1，x，y，7 为“U 数列”，写出所有可能的 x、y；（2）若“U数列”A：a 1，a 2，a n 中，a 1=1，a n=2017，求 n 的最大值；（3）设 n0 为给定的偶数，对所有可能的“U 数列”A：a 1，a 2， ，记，其中 maxx1，x 2，x s表示 x1，x 2，x s 这 s个数中最大的数，求 M 的最小值【解答】解：（1
21、）x=1 时， ，所以 y=2 或 3；x=2 时， ，所以 y=4；x3 时， ，无整数解；所以所有可能的 x，y 为 ， 或 （2）n 的最大值为 65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+ak12a kak+1aka kak1对任意的 1in1，令 bi=ai+1ai，则 biZ 且 bkb k1（2k n1 ） ，故bk bk1+1 对任意的 2kn 1 恒成立 （* ）当 a1=1，a n=2017 时，注意到 b1=a2a11 1=0，得（2in1）即 bii1，此时 ana1=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）=bn1+bn2+b10+1+2+（n 2）= ，
22、 （*）即 ，解得：62n 65，故 n65另一方面，为使（*）取到等号，所以取 bi=i1（ 1i64） ，则对任意的2k 64，b kb k1，故数列a n为“U 数列” ，此时由（*）式得 ，所以 a65=2017，即 n=65 符合题意 综上，n 的最大值为 65 （3）M 的最小值为 ，证明如下：当 n0=2m（m2 ，m N*）时，一方面：由（*）式，b k+1bk1，b m+kbk=（b m+kbm+k1）+（b m+k1bm+k2）+（b k+1bk）m此时有：（a 1+a2m）（ am+am+1）=（ a2mam+1） （a ma1）=（ bm+1+bm+2+b2m1）（b 1+b2+bm1）=（ bm+1b1）+ （b m+2b2）+ +（b 2m+1bm1）m+m+m=m（m1） 即（a 1+a2m）（a m+am+1）+m（m 1）故因为 ，所以 ，另一方面，当 b1=1m，b 2=2m，b m1=1，b m=0，b m+1=1，b 2m1=m1 时，ak+1+ak12ak=（a k+1ak）（a kak1）=b kbk1=10取 am=1，则 am+1=1，a 1a 2a 3a m，a m+1a m+2a 2m，且此时 综上，M 的最小值为
