1、2018 年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）计算： = 2 （4 分）已知集合 A=x|0x 3，B=x|x 24，则 AB= 3 （4 分）已知a n为等差数列， Sn 为其前 n 项和若 a1+a9=18，a 4=7，则 S10= 4 （4 分）已知函数 f（x）=log 2（x +a）的反函数为 y=f1（x） ，且 f1（2）=1 ，则实数 a= 5 （4 分）已知角 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 ，则 cos2 等于 6 （4 分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为
2、 8 时，则其输出的结果是 7 （5 分）函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象在区间 0，2 上交点的个数是 8 （5 分）设直线 axy+3=0 与圆（x1） 2+（y 2） 2=4 相交于 A、B 两点，且弦 AB的长为 2 ，则 a= 9 （5 分）在ABC 中， A=90，ABC 的面积为 1，若 = ， =4 ，则的最小值为 10 （5 分）已知函数 f（ x）=x |2xa|1 有三个零点，则实数 a 的取值范围为 11 （5 分）定义 ，已知函数 f（x） 、g（x）的定义域都是 R，则下列四个命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）若 f（ x） 、g（x）
3、都是奇函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为奇函数；若 f（ x） 、g（x）都是偶函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为偶函数；若 f（ x） 、g（x）都是增函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为增函数；若 f（ x） 、g（x）都是减函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为减函数12 （5 分）已知数列a n的通项公式为 an=2qn+q（ q0，nN *） ，若对任意m，nN *都有 ，则实数 q 的取值范围为 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若 2i 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根（其中 i 为
4、虚数单位，p，qR） ，则 q 的值为（ ）A 5 B5 C3 D314 （5 分）已知 f（x ）是 R 上的偶函数，则“x 1+x2=0”是“f （x 1）f（x 2）=0”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件15 （5 分）若存在 x0，+）使 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） B （1，+） C （ ，1 D1，+）16 （5 分）已知曲线 C1：|y |x=2 与曲线 C2：x 2+y2=4 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是（ ）A （ ，1 0，1 ） B （ 1，1 C 1，1） D1，0（1，+）三
5、.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17 （14 分）在ABC 中， AB=6，AC=3 ， =18（1）求 BC 边的长；（2）求ABC 的面积18 （14 分）已知函数 （x0，常数 aR） （1）讨论函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当 a0 时，研究函数 f（x ）在 x（0 ，+）内的单调性19 （14 分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足2t 20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔 t 相关，当 10t20时电车为满载状态，载客量为 40
6、0 人，当 2t10 时，载客量会减少，减少的人数与（10t）的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 272 人，记电车载客量为 p（t） （1）求 p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为 （元） ，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20 （16 分）已知椭圆 E： =1（ab 0）经过点 ，其左焦点为，过 F 点的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 M（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 F 且与 l 垂直的直线交椭圆于 C、D 两点，若四边形 ACBD 的面积为 ，求直线 l 的
7、方程；（3）设 ， ，求证： 1+2 为定值21 （18 分）已知有穷数列a n共有 m 项（m2， mN*） ，且|an+1an|=n（1nm1，nN *） （1）若 m=5，a 1=1，a 5=3，试写出一个满足条件的数列a n；（2）若 m=64，a 1=2，求证：数列 an为递增数列的充要条件是 a64=2018；（3）若 a1=0，则 am 所有可能的取值共有多少个？请说明理由2018 年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）计算： = 【解答】解： = = ，故答案为：
8、 ，2 （4 分）已知集合 A=x|0x 3，B=x|x 24，则 AB= x |2x3 【解答】解：由已知得：B=x|x 2 或 x2，A= x|0x3，AB=x |0x3 x|x 2 或 x2=x |2x3为所求故答案为：x|2x33 （4 分）已知a n为等差数列， Sn 为其前 n 项和若 a1+a9=18，a 4=7，则 S10= 100 【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 1+a9=18，a 4=7， ，解得 d=2，a 1=1则 S10=10+ =100故答案为：1004 （4 分）已知函数 f（x）=log 2（x +a）的反函数为 y=f1（x） ，且 f1（2）=
9、1 ，则实数 a= 3 【解答】解：函数 f（x） =log2（x +a）的反函数为 y=f1（x） ，且 f1（2）=1 ，则：2= ，解得：a=3故答案为：35 （4 分）已知角 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 ，则 cos2 等于 【解答】解：角 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 ，可得：r=1 ，cos= ，cos2=2cos 21=2 1= 故答案为： 6 （4 分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为 8 时，则其输出的结果是 2 【解答】解：x=80，执行循环体，x=x3=5 3=2 0，继续执行循环体，x=x3=23=10，满足条件，退出循环体，故输出 y=0
10、.51=（ ）1=2故答案为：27 （5 分）函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象在区间 0，2 上交点的个数是 4 【解答】解：由于函数 y=sin2x 与 y=cosx 有交点，则：sin2x=cosx ，整理得：sinx= 或 cosx=0所以：在0，2范围内，x= ， ， ， ，故答案为：48 （5 分）设直线 axy+3=0 与圆（x1） 2+（y 2） 2=4 相交于 A、B 两点，且弦 AB的长为 2 ，则 a= 0 【解答】解：由于圆（x1） 2+（y 2） 2=4 的圆心 C（1，2） ，半径等于 2，且圆截直线所得的弦 AB 的长为 2 ，故圆心到直线 ax
11、y+3=0 的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，故答案为 09 （5 分）在ABC 中， A=90，ABC 的面积为 1，若 = ， =4 ，则的最小值为 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设 B（10x，0） ，C（0，10y ） ，若 = ， =4 ，则 M（ 5x，5y） ，N（2x，8y ） ，由题意ABC 的面积为 1，可得 50xy=1，=10x2+40y22 xy= ，当且仅当 x=2y= 时取等号故答案为： 10 （5 分）已知函数 f（ x）=x |2xa|1 有三个零点，则实数 a 的取值范围为 （2 ，+） 【解答】解：函数 f（x） =x|2xa|1 有三个零点，就
12、是 x|2xa|=1，即|2xa|=有三个解，令 y=|2xa|， y= ，可知 y= ，画出两个函数的图象，如图：x ，y= ，y= =2，解得 x= ，x= （舍去） ，此时切点坐标（ ，） ，代入 y=a2x 可得， a= =2 ，函数 f（ x）=x |2xa|1 有三个零点，则实数 a 的取值范围为（2 ，+） 故答案为：（2 ，+） 11 （5 分）定义 ，已知函数 f（x） 、g（x）的定义域都是 R，则下列四个命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）若 f（ x） 、g（x）都是奇函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为奇函数；若 f（ x） 、g（x）都是偶函数，则
13、函数 F（f（x ） ，g（x） ）为偶函数；若 f（ x） 、g（x）都是增函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为增函数；若 f（ x） 、g（x）都是减函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为减函数【解答】解： ，若 f（x） 、g（x）都是奇函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）不一定是奇函数，如y=x 与 y=x3，故是假命题；若 f（x） 、g（x）都是偶函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为偶函数，故是真命题；若 f（x） 、g（x）都是增函数，则函数 F（f（x ） ，g（x） ）为增函数，故是真命题；若 f（x） 、g（x）都是减函数，则函数 F（f
14、（x ） ，g（x） ）为减函数，故是真命题故答案为：12 （5 分）已知数列a n的通项公式为 an=2qn+q（ q0，nN *） ，若对任意m，nN *都有 ，则实数 q 的取值范围为 （ ，0） 【解答】解：由 an=2qn+q（q0，n N*） ，因为 a1=3q0，且对任意nN*， （ ，6）故 an0，特别地 2q2+q0，于是 q（ ，0） ，此时对任意 nN*，a n0当 q0 时，a 2n=|q|2n+qq ，a 2n1=2|q|2n1+qq，由指数函数的单调性知，a n的最大值为 a2=2q2+q，最小值为 a1=3q，由题意， 的最大值及最小值分别为 = 和 = 由 及
15、 6，解得 q0综上所述，q 的取值范围为（ ，0） ，故答案为：（ ，0） 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若 2i 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p，qR） ，则 q 的值为（ ）A 5 B5 C3 D3【解答】解：2i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的一个根，2+i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的另一个根，则 q=（2i） （2+i ）=|2i| 2=5故选：B14 （5 分）已知 f（x ）是 R 上的偶函数，则“x 1+x2=0”是“f （x 1）f（x 2）=0”的
16、（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）是 R 上的偶函数，“x 1+x2=0”“f（x 1）f（x 2）=0”，“f（x 1）f（x 2）=0”“x 1+x2=0”或“x 1=x2”，“x 1+x2=0”是“f（x 1）f（x 2）=0”的充分而不必要条件故选：A15 （5 分）若存在 x0，+）使 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） B （1，+） C （ ，1 D1，+）【解答】解：存在 x0，+）使 成立，2 xx2xm 1，2 xm2 xx1，mx ，x0，+） ，2 x1，mx 1实数 m 的取值范围是
17、（ 1，+） 故选：B16 （5 分）已知曲线 C1：|y |x=2 与曲线 C2：x 2+y2=4 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是（ ）A （ ，1 0，1 ） B （ 1，1 C 1，1） D1，0（1，+）【解答】解：由 x=|y|2 可得，y0 时，x=y2；y0 时，x=y 2，函数 x=|y|2 的图象与方程 y2+x2=4 的曲线必相交于（0，2） ，所以为了使曲线 C1：|y|x=2 与曲线 C2：x 2+y2=4 恰好有两个不同的公共点，则将 x=y2 代入方程 y2+x2=4，整理可得（1+）y 24y+44=0，当 =1 时，y=2 满足题意，曲线 C1：|
18、y|x=2 与曲线 C2：x 2+y2=4 恰好有两个不同的公共点，0，2 是方程的根， 0，即11 时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数 的取值范围是 1，1） 故选：C三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17 （14 分）在ABC 中， AB=6，AC=3 ， =18（1）求 BC 边的长；（2）求ABC 的面积【解答】解：（1） =18，由于：AB=6，AC=3 ，所以：BC 2=AB2+AC22ABACcosA，解得：BC=3 （2）在ABC 中，BA=6 ， AC=3 ，BC=3 ，则：cosA= = ，所以：sinA= ，则： = 18 （
19、14 分）已知函数 （x0，常数 aR） （1）讨论函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当 a0 时，研究函数 f（x ）在 x（0 ，+）内的单调性【解答】解：（1）当 a=0 时，函数 f（x）=1（x 0）满足 f（ x）=f（x） ，此时 f（ x）为偶函数；当 a0 时，函数 f（a）=0，f（ a）=2，不满足 f（x ）=f（x） ，也不满足 f（x）=f（x ） ，此时 f（ x）为非奇非偶函数；（2）当 a0 时，若 x（0，a） ，则 ， 为减函数；若 x（a，+） ，则 ， 为增函数；故 f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+）上为增函数；19 （14 分）松江
20、有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足2t 20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔 t 相关，当 10t20时电车为满载状态，载客量为 400 人，当 2t10 时，载客量会减少，减少的人数与（10t）的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 272 人，记电车载客量为 p（t） （1）求 p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为 （元） ，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）= （k
21、 为常数） ，p（2）=400k（10 2） 2=272，k=2 p（t）= p（6）=4002（106 ） 2=368；（2）由 ，可得Q= ，当 2t10 时，Q=180 （12t+ ） ，当且仅当 t=5 时等号成立；当 10t 20 时，Q=60 + 60+90=30 ，当 t=10 时等号成立当发车时间间隔为 5 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为 60 元20 （16 分）已知椭圆 E： =1（ab 0）经过点 ，其左焦点为，过 F 点的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 M（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 F 且与 l 垂直的直线交椭圆于 C、D
22、两点，若四边形 ACBD 的面积为 ，求直线 l 的方程；（3）设 ， ，求证： 1+2 为定值【解答】解：（1）由题意可得：c= ，则 a2=b2+c2=b2+3，将 代入椭圆方程： ，解得： b2=1，a 2=4，椭圆的 E 的方程： ；（2）设直线 l：y=k（x + ） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 0，y 0） ，则D（x 1， y1） ，联立 ，整理得：（1+4k 2）x 2+8 k2x+12k24=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，|AB|= = ，由直线 CD 的斜率为 ，将 k 转化成 ，同理|CD|= ，四边形 ACBD 的面积 S= |AB
23、|CD|= = ，2k 45k2+2=0，解得：k 2=2，k 2= ，k= 或 k= ，由 k0 ，k= 或 k= ，直线 AB 的方程为 x y+ =0 或 xy+ =0；（3） ， ，得 x1=1（ x1） ， x2=2（ x2） ， 1=， 2= ，1+2=（ + ）= =8，1+2 为定值，定值为821 （18 分）已知有穷数列a n共有 m 项（m2， mN*） ，且|an+1an|=n（1nm1，nN *） （1）若 m=5，a 1=1，a 5=3，试写出一个满足条件的数列a n；（2）若 m=64，a 1=2，求证：数列 an为递增数列的充要条件是 a64=2018；（3）若
24、a1=0，则 am 所有可能的取值共有多少个？请说明理由【解答】解：（1）有穷数列a n共有 m 项（m 2，m N*） ，且|an+1an|=n（1nm1，nN *） m=5，a 1=1，a 5=3，则满足条件的数列a n有： 1，2，4，7，3 和 1，0，2，1，3证明：（2）必要性若a n为递增数列，由题意得：a2a1=1，a 3a2=2， ，a 64a63=63，a 64a1= =2016，a 1=2，a 64=2018充分性由题意|a n+1an|=n，1n 63，n N*，a 2a11，a 3a22，a 64a6363，a 64a12016，a 642018，a 64=2018，
25、a n+1an=n，1n63，nN *，a n是增数列，综上，数列a n为递增数列的充要条件是 a64=2018解：（3）由题意得 a2a1=1，a 3a2=2，a mam1=（m1） ，假设 am=b1+b2+b3+bm1，其中， bii，i， （i N*，1im1） ，则（a m） min=12（m 1）= 若 an 中有 k 项 ， ， ， 取负值，则有 am=（a m） max（ + + + ） ， （*）a m 的所有可能值与（a m） max 的差必为偶数，下面用数学归纳法证明 an 可以取到 与 之间相差 2 的所有整数，由（* ）知，只需从 1，2 ，3， ，m 1 中任取一项
26、或若干项相加，可以得到 2从 1 到 的所有整数值即可，当 m=2 时，成立，当 m=3 时，从 1，2 中任取一项或两项相加，可以得到从 1，2，3 中任取一项或若干项相加，可以得到从 1 到 3 的所有整数，结论成立，假设 m=k（ k3，kN *）结论成立，即从 1，2，3， ，k1 中任取一项或若干项相加，可以得到从 1 到 的所有整数值，则当 m=k+1 时，由假设，从 1，2，3 ，k 1 中任取一项或若干项相加，可以得到从 1 到 的所有整数值，用 k 取代 1，2，3，k1 中的 k，可得 ，用 k 取代 1，2，3 ， ，k 1 中的 k2，可得 ，将 1，2，3 ， ，k1，k 全部相加，可得 ，故命题成立，a m 所有可能的取值共有： = 个
