1、2018 年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）设全集 U=1，2，3，4，5，若集合 A=3，4，5 ，则 UA= 2 （4 分）若 ，则 = 3 （4 分）方程 log2（2x）+log 2（3 x）=log 212 的解 x= 4 （4 分） 的二项展开式中的常数项的值为 5 （4 分）不等式 的解集为 6 （4 分）函数 的值域为 7 （5 分）已知 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 ，则 在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8 （5 分）若数列a n的前 n 项和 （ n
2、N*） ，则 = 9 （5 分）若直线 l：x+y=5 与曲线 C：x 2+y2=16 交于两点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则 x1y2+x2y1 的值为 10 （5 分）设 a1、a 2、a 3、a 4 是 1，2，3，4 的一个排列，若至少有一个i（i=1，2 ，3 ，4 ）使得 ai=i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 11 （5 分）已知正三角形 ABC 的边长为 ，点 M 是ABC 所在平面内的任一动点，若 ，则 的取值范围为 12 （5 分）双曲线 绕坐标原点 O 旋转适当角度可以成为函数 f（x）的图象，关于此函数 f（x ）有如下四个命题：f（ x）
3、是奇函数；f（ x）的图象过点 或 ；f（ x）的值域是 ；函数 y=f（x）x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若数列a n（ nN*）是等比数列，则矩阵 所表示方程组的解的个数是（ ）A0 个 B1 个 C无数个 D不确定14 （5 分） “m0”是“函数 f（x）= |x（mx+2）|在区间（0，+）上为增函数”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件15 （5 分）用长度分别为 2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断） ，组成共顶点的长方体
4、的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A258cm 2 B414cm 2 C416cm 2 D418cm 216 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 ，且 f（x 1）=f（x+1） ，则函数 在区间 1，5上的所有零点之和为（ ）A4 B5 C7 D8三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17 （14 分）如图所示的圆锥的体积为 ，底面直径 AB=2，点 C 是弧 的中点，点 D 是母线 PA 的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小18 （14 分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分
5、拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 x 台机器人的总成本 p（x）=+x+150 万元（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图） ，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q（m）= （单位：件） ，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19 （14 分）设函数 f（x）=sin（x+ ） （0， ） ，已知角 的终边经过点 ，点 M（ x1，y 1） 、N
6、（x 2，y 2）是函数 f（x）图象上的任意两点，当|f（x 1）f （x 2）|=2 时，|x 1x2|的最小值是 （1）求函数 y=f（x）的解析式；（2）已知ABC 面积为 ，角 C 所对的边 ， ，求ABC的周长20 （16 分）设点 F1、F 2 分别是椭圆 （t0）的左、右焦点，且椭圆 C 上的点到点 F2 的距离的最小值为 ，点 M、N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且向量 与向量 平行（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 时，求F 1MN 的面积；（3）当 时，求直线 F2N 的方程21 （18 分）设 d 为等差数列a n的公差，数列b n的前 n 项和 Tn，满足（
7、nN *） ，且 d=a5=b2，若实数 mPk=x|ak2xa k+3（kN *，k 3） ，则称 m 具有性质 Pk（1）请判断 b1、b 2 是否具有性质 P6，并说明理由；（2）设 Sn 为数列 an的前 n 项和，若S n2an是单调递增数列，求证：对任意的 k（k N*， k3） ，实数 都不具有性质 Pk；（3）设 Hn 是数列T n的前 n 项和，若对任意的 nN*，H 2n1 都具有性质 Pk，求所有满足条件的 k 的值2018 年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4
8、 分）设全集 U=1，2，3，4，5，若集合 A=3，4，5 ，则 UA= 1，2 【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=3，4，5， UA=1，2 故答案为：1，22 （4 分）若 ，则 = 【解答】解： ， = 故答案为： 3 （4 分）方程 log2（2x）+log 2（3 x）=log 212 的解 x= 1 【解答】解：方程 log2（2x）+log 2（3 x）=log 212， ，即 ，解得 x=1故答案为：14 （4 分） 的二项展开式中的常数项的值为 84 【解答】解：二项展开式的通项= ，由 ，得 r=3 的二项展开式中的常数项为 故答案为：845 （4 分）
9、不等式 的解集为 0，1）（1，2 【解答】解：由题意得：，解得：0x1 或 1x2，故答案为：0，1）（1，26 （4 分）函数 的值域为 1，3 【解答】解： = sinx+cosx+1=2sin（x+ ）+1，sin （x + ） 1，1 ，f（ x）=2sin（x+ ）+1 1，3故答案为：1，37 （5 分）已知 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 ，则 在复平面内所对应的点所在的象限为第 一 象限【解答】解： ，设 z=a+bi，则 z2i（1+ i）=0，即（a +bi）2i1i=0，则 2ai2b1i=0，2b 1+（2a1）i=0，则 ，则 ，z= i，则 = +
10、i，则 在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一8 （5 分）若数列a n的前 n 项和 （ nN*） ，则 = 2 【解答】解：数列a n的前 n 项和 （nN *） ，可得 n=1 时，a 1=S1=3+2+1=0；当 n2 时，a n=SnSn1=3n2+2n+1+3（n 1） 22n+21=6n+5，则 = = （ 2+ ）= 2+0=2故答案为：29 （5 分）若直线 l：x+y=5 与曲线 C：x 2+y2=16 交于两点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则 x1y2+x2y1 的值为 16 【解答】解：直线 l：x+y=5 与曲线 C：x 2+y2=16 交
11、于两点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则： ，所以：2x 210x+9=0，则：x 1+x2=5， ，则：x 1y2+x2y1=x1（5x 2）+x 2（5 x1） ，=5（x 1+x2）2x 1x2，=259，=16故答案为：1610 （5 分）设 a1、a 2、a 3、a 4 是 1，2，3，4 的一个排列，若至少有一个i（i=1，2 ，3 ，4 ）使得 ai=i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4 是 1，2，3，4 的一个排列，则所有的排列有 A44=24 个，假设不存在 i（i=1 ，2，3，4）使得 a
12、i=i 成立，则 a1 可以在第 2、3、4 位置，有3 种情况，假设 a1 在第二个位置，则 a1 可以在第 1、3、4 位置，也有 3 种情况，此时 a3、a 4 只有 1 种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有 1 种情况，则不存在 i（i=1 ，2，3， 4）使得 ai=i 成立的情况有 33=9 种，则至少有一个 i（i=1 ，2， 3，4）使得 ai=i 成立排列数有 249=15 个；故答案为：1511 （5 分）已知正三角形 ABC 的边长为 ，点 M 是ABC 所在平面内的任一动点，若 ，则 的取值范围为 0，6 【解答】解：以 A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
13、 A（0，0 ） ，B（ ，0） ，C（ ， ） ， ，不妨设 M（cos，sin ） ， + + =（cos ，sin）+（ cos，sin）+（ cos， sin）= （3cos， 3sin） ，| + + |2=（ 3cos） 2+（ 3sin） 2=9（2 cossin）=1818sin（+ ） ，1 sin（+ ）1，018 18sin（+ ）36 ， 的取值范围为0，6，故答案为：0，612 （5 分）双曲线 绕坐标原点 O 旋转适当角度可以成为函数 f（x）的图象，关于此函数 f（x ）有如下四个命题：f（ x）是奇函数；f（ x）的图象过点 或 ；f（ x）的值域是 ；函数 y
14、=f（x）x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 【解答】解：双曲线 关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数 f（x ）的图象关于原点对称，即有 f（ x）为奇函数，故 对；由双曲线的顶点为（ ，0） ，渐近线方程为 y= x，可得 f（ x）的图象的渐近线为 x=0 和 y= x，图象关于直线 y= x 对称，可得 f（ x）的图象过点 ，或 ，由对称性可得 f（x）的图象按逆时针 60旋转位于一三象限；按顺时针旋转 60位于二四象限；故对；f（x）的图象按逆时针旋转 60位于一三象限，由图象可得顶点为点 ，或 ，不是极值点，则 f（x）的值域不是 ；f（x）的图象按顺时针旋转 60位于二
15、四象限，由对称性可得 f（x）的值域也不是 故不对；当 f（x）的图象位于一三象限时， f（x）的图象与直线 y=x 有两个交点，函数 y=f（x）x 有两个零点；当 f（x）的图象位于二四象限时， f（x）的图象与直线 y=x 没有交点，函数 y=f（x）x 没有零点故错故答案为：二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若数列a n（ nN*）是等比数列，则矩阵 所表示方程组的解的个数是（ ）A0 个 B1 个 C无数个 D不确定【解答】解：根据题意，矩阵 所表示方程组为 ，又由数列a n（n N*）是等比数列，则有 = = = ，则方程组 的解有无数个；故
16、选：C14 （5 分） “m0”是“函数 f（x）= |x（mx+2）|在区间（0，+）上为增函数”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【解答】解：m0，函数 f（x ）=|x（mx +2） |=|mx2+2x|，f（ 0）=0，f （x ）在区间（0，+）上为增函数 ”；函数 f（x ）=|x（mx +2） |=|mx2+2x|在区间（0，+）上为增函数，f（0）=0，mR，“m 0”是“ 函数 f（x ）= |x（mx+2）|在区间（0，+）上为增函数”的充分非必要条件故选：A15 （5 分）用长度分别为 2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连
17、接（只允许连接，不允许折断） ，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A258cm 2 B414cm 2 C416cm 2 D418cm 2【解答】解：设长方体的三条棱分别为 a，b，c，则长方体的表面积 S=2（ ab+bc+ac）（a+b） 2+（ b+c） 2+（a+c） 2，当且仅当 a=b=c 时上式“=”成立由题意可知，a，b，c 不可能相等，故考虑当 a，b，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为 8，8 ，9，用 2、6 连接，3、5 连接各为一条棱，第三条棱为 9 组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为 2（88+89+89）=416（c
18、m 2） 故选：C16 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 ，且 f（x 1）=f（x+1） ，则函数 在区间 1，5上的所有零点之和为（ ）A4 B5 C7 D8【解答】解：函数 ，且 f（x 1）=f（x+1） ，函数的周期为 2，函数 ，的零点，就是 y=f（x）与 y= 图象的交点的横坐标，y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移 2 个单位，得到函数 y=f（x）在1，5 上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图） ，去掉端点后关于（2，3）中心对称又y= =3+ 关于（ 2，3）中心对称，故方程 f（x ）=g（x）在区间1，5上的根就是函数 y=f（x ）
19、和 y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为 x1，x 2，x 3，其中 x1 和 x3 关于（2，3）中心对称，x 1+x3=4，x 2=1，故 x1+x2+x3=5故选：B三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17 （14 分）如图所示的圆锥的体积为 ，底面直径 AB=2，点 C 是弧 的中点，点 D 是母线 PA 的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小【解答】解：（1）圆锥的体积为 ，底面直径 AB=2， ，解得 PO= ，PA= =2，该圆锥的侧面积 S=rl=12=2（2）圆锥的体积为 ，底
20、面直径 AB=2，点 C 是弧 的中点，点 D 是母线 PA 的中点PO平面 ABC，OCAB，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0， 1，0） ，P（0， 0， ） ，D （0， ， ） ，B（0 ，1，0 ） ，C （1，0， 0） ，=（0，1， ） ， =（ 1， ， ） ，设异面直线 PB 与 CD 所成角为 ，则 cos= = = ，= 异面直线 PB 与 CD 所成角为 18 （14 分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 x 台机器人的总成本 p（x）=
21、+x+150 万元（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图） ，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q（m）= （单位：件） ，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本 p（x）= +x+150 万元，可得每台机器人的平均成本 y=2当且仅当 ，即 x=300 时，上式等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买 300 台；（2）引进机器人后
22、，每台机器人的日平均分拣量 q（m）=，当 1m30 时，300 台机器人的日平均分拣量为 160m（60m）=160m2+9600m，当 m=30 时，日平均分拣量有最大值 144000当 m30 时，日平均分拣量为 480300=144000300 台机器人的日平均分拣量的最大值为 144000 件若传统人工分拣 144000 件，则需要人数为 人日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%19 （14 分）设函数 f（x）=sin（x+ ） （0， ） ，已知角 的终边经过点 ，点 M（ x1，y 1） 、N（x 2，y 2）是函数 f（x）图象上的任意两点
23、，当|f（x 1）f （x 2）|=2 时，|x 1x2|的最小值是 （1）求函数 y=f（x）的解析式；（2）已知ABC 面积为 ，角 C 所对的边 ， ，求ABC的周长【解答】解：（1）已知角 的终边经过点 ，且 ，则：= ，点 M（ x1，y 1） 、N（x 2，y 2）是函数 f（x）图象上的任意两点，当|f（ x1）f（x 2）|=2 时，|x 1x2|的最小值是 则：T=，所以：= ，所以： ；（2）由于： =sin（ ）= ，且 0C，解得：C= ，ABC 面积为 ，所以： ，解得：ab=20由于：c 2=a2+b22abcosC，c=2 ，所以：20=（a+b） 23ab，解得
24、：a+b=4 ，所以： 20 （16 分）设点 F1、F 2 分别是椭圆 （t0）的左、右焦点，且椭圆 C 上的点到点 F2 的距离的最小值为 ，点 M、N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且向量 与向量 平行（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 时，求F 1MN 的面积；（3）当 时，求直线 F2N 的方程【解答】解：（1）点 F1、F 2 分别是椭圆 （t0）的左、右焦点，a= t，c=t，椭圆 C 上的点到点 F2 的距离的最小值为 ，a c= tt=2 2，解得 t=2，椭圆的方程为 + =1，（2）由（1）可得 F1（2，0） ，F 2（2，0） ，点 M、 N 是椭圆 C 上位
25、于 x 轴上方的两点，可设 N（2 cos，2sin） ， =（2 cos+2，2sin） ， =（2 cos2，2sin） ， ，（2 cos+2） （2 cos2）+4sin 2=0，解得 cos=0，sin=1 ，N（0，2） ， =（2 ，2） ，k = =1，向量 与向量 平行，直线 F1M 的斜率为 1，直线方程为 y=x2，联立方程组 ，解得 x=0，y=2（舍去） ，或 x= ，y= ，M（ ， ） ，|F 1M|= = ，点 N 到直线直线 y=x2 的距离为 d= =2 ，F 1MN 的面积= |F1M|d= 2 = ，（3）向量 与向量 平行， = ， ，（1）| |=
26、，即 1，设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，（x 1+2）=x 22，y 2=y1，x 2=x1+2（+1） + =1，x 22+2y22=8，x 1+2（+1） 2+22y12=122+8+4+4（+1）x 1=8，4 （+1 ）x 1=（13） （ +1） ，x 1= = 3，y 12=4 ，| |2=（x 1+2） 2+y12=（ 3+2） 2+4 = ，| |= ，（1） = ， 22 1=0解得 =2+ ，或 =2 （舍去）x 1= 3= 3=1 ，y 12=4 =2 = = ，y 1= ，k = = ，直线 F2N 的方程为 y0= （x2） ，即为 x+ y2=
27、021 （18 分）设 d 为等差数列a n的公差，数列b n的前 n 项和 Tn，满足（nN *） ，且 d=a5=b2，若实数 mPk=x|ak2xa k+3（kN *，k 3） ，则称 m 具有性质 Pk（1）请判断 b1、b 2 是否具有性质 P6，并说明理由；（2）设 Sn 为数列 an的前 n 项和，若S n2an是单调递增数列，求证：对任意的 k（k N*， k3） ，实数 都不具有性质 Pk；（3）设 Hn 是数列T n的前 n 项和，若对任意的 nN*，H 2n1 都具有性质 Pk，求所有满足条件的 k 的值【解答】解：（1） （nN *） ，可得 n=1 时，T 1+ =b
28、1=T1，解得 b1= ，T2+ =b2= +b2+ =b2，T3+ =b3= +b2+b3+ ，即 b2+2b3= ，T4+ =b4= +b2+b3+b4+ ，即 b2+b3= ，解得 b2= ， b3= ，同理可得 b4= ，b 5= ，b6= ，b 7= ，b 2n1= ，d=a5=b2，可得 d=a1+4d= ，解得 a1= ，d= ，a n= ，P6=x|a4x a 9（k N*，k3 ）=x|0x ，则 b1 不具有性质 P6，b 2 具有性质 P6；（2）证明：设 Sn 为数列 an的前 n 项和，若S n2an是单调递增数列，可得 Sn+12an+1S n2an，即为 ，化为
29、4+62n 对 n 为一切自然数成立，即有 4+62，可得 1，又 Pk=x|ak2xa k+3（kN *，k3） ，且 a1= ，d0，可得 Pk 中的元素大于 1，则对任意的 k（kN *，k 3） ，实数 都不具有性质 Pk；（3）设 Hn 是数列T n的前 n 项和，若对任意的 nN*，H 2n1 都具有性质 Pk，由于 H1=T1=b1= ，H 3=T1+T2+T3= ，H 5=T1+T2+T3+T4+T5= ，H7= +0 = ， ， H2n1=H2n3+b2n1， （n2） ，当 k=3 时，P 3=x|a1xa 6=x| x ，当 k=4 时，P 4=x|a2xa 7=x| x ，当 k=5 时，P 5=x|a3xa 8=x| x1，当 k=6 时，P 3=x|a4xa 9=x|0x ，显然 k=5，6 不成立，故所有满足条件的 k 的值为 3，4
