1、2018 年上海市普陀区中考数学一模试卷一 、 选 择 题 ： （ 本 大 题 共 6 题 ， 每 题 4 分 ， 满 分 24 分 ） 下 列 各 题 的 四 个 选 项 中 ，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ） Ay=ax 2+bx+c B y=x（ x 1）C Dy=（x1） 2x 2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x1）=x 2x 是二次函数；C、y= 不是二次函数；D、y=（x1） 2x 2=2x+1 为一
2、次函数 故选：B【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键2. 在 RtABC 中，C=90，AC=2，下列结论中，正确的是（ ） AAB=2sinA BAB=2cosA CBC=2tanA D BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案【解答】解：C=90，AC=2， cosA= = ， 故 AB= ，故选项 A，B 错误；AtanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确； 则选项 D 错误故选：C【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 锐 角 三 角 函 数 关 系 ， 正 确 将 记 忆 锐 角 三 角 函 数 关 系 是 解题关
3、键3. 如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 EDBC 的是（ ）B C D【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可【 解答】解：A当 时，能判断 EDBC；B. 当 时，能判断 EDBC；C. 当 时，不能判断 EDBC；D. 当 时，能判断 ED BC； 故选：C【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 ， 如 果 一 条 直 线 截 三 角 形 的 两 边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 已知 ，下列说法中，不正确的是（ ）A
4、B 与 方向相同C D【 分 析 】 根 据 平 行 向 量 以 及 模 的 定 义 的 知 识 求 解 即 可 求 得 答 案 ， 注 意 掌 握 排 除 法在选择题中的应用【 解答】解：A、错误应该是 5 = ；B、正确因为 ，所以 与 的方向相同；C、正确因为 ，所以 ；D、正确因为 ，所以| |=5| |； 故选：A【 点 评 】 本 题 考 查 了 平 面 向 量 ， 注 意 ， 平 面 向 量 既 有 大 小 ， 又 由 方 向 ， 平 行 向 量 ， 也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量零向量和任何向量平行5. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， F 是边 AD 上的一点
5、， 射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果 ，那么 的值是（ ）A B C D【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AECD，EAFCDF， ， ， ，AFBC，EAFEBC， = ， 故选：D【 点 评 】 此 题 考 查 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 综 合 运 用 了 平 行 四 边 形 的 性 质 和 相似三角形的性质是解题关键6. 如 图 ， 已 知 AB 和 CD 是 O 的 两 条 等 弦 OM AB， ON CD， 垂 足 分 别 为点 M、 N，BA、DC 的 延 长 线 交 于 点 P，联 结 OP下列四个
6、说法中： ；OM=ON；PA=PC；BPO=DPO，正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 RtOMBRtOND，RtOPMRtOPN 即可解决问题【解答】解：如图连接 OB、OD；AB=CD， = ，故正确OMAB，ONCD，AM=MB，CN=ND，BM=DN，OB=OD，RtOMBRtOND，OM=ON，故正确，OP=OP，RtOPMRtOPN，PM=PN，OPB=OPD，故正确，AM=CN，PA=PC，故正确， 故选：D【 点 评 】 本 题 考 查 垂 径 定 理 、 圆 心 角 、 弧 、 弦 的 关 系 、 全 等 三 角 形 的 判 定 和
7、 性 质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型二填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7 如 果 = ， 那么 = 【分析】 利用比例的性质由 = 得到 = ， 则可设 a=2t， b=3t， 然后把 a=2t，b=3t 代入 中进行分式的运算即可【解答】解： = ， = ，设 a=2t，b=3t， = = 故答案为 【 点 评 】 本 题 考 查 了 比 例 的 性 质 ： 常 用 的 性 质 有 ： 内 项 之 积 等 于 外 项 之 积 ； 合 比性质；分比性质；合分比性质；等比性质8已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段
8、 c 是 线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 6 厘米【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负【 解 答 】 解 ： 根 据 比 例 中 项 的 概 念 结 合 比 例 的 基 本 性 质 ， 得 ： 比 例 中 项 的 平 方 等于两条线段的乘积所 以 c2=49， 解 得 c=6（线段是正数，负值舍去） ，c=6cm，故 答案为：6【 点 评 】 本 题 考 查 比 例 线 段 、 比 例 中 项 等 知 识 ， 解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 基 本 概 念 ， 属于中考常考题型9化简： = 4 +7 【分析】根据屏幕绚丽的加法法则
9、计算即可【解答】解： ： = 4 +6 =4 +7 ，故答案为 ；【 点 评 】 本 题 考 查 平 面 向 量 的 加 减 法 则 ， 解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 平 面 向 量 的 加 减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则10 在直角坐标系平面内， 抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 下降 的（填“上升”或“下降”）【 分 析 】 由 抛 物 线 解 析 式 可 求 得 其 开 口 方 向 ， 再 结 合 二 次 函 数 的 增 减 性 则 可 求 得答案【解答】解：在 y=3x 2+2x 中，a=30，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分
10、 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 的 性 质 ， 利 用 二 次 函 数 的 解 析 式 求 得 抛 物 线 的 开口方向是解题的关键11 二次函数 y=（x1） 23 的图象 与 y 轴的交点坐标是 （0，2） 【 分 析 】 求 自 变 量 为 0 时 的 函 数 值 即 可 得 到 二 次 函 数 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 坐 标 【解答】解 ： 把 x=0 代 入 y=（x1） 23 得 y=13=2， 所 以 该 二 次 函 数 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 （0， 2） ，故
11、答案为（0，2） 【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ， 在 y 轴 上 的 点 的 横 坐 标 为 012 将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 y=2（x+3） 2+1 【 分 析 】 由 于 抛 物 线 平 移 前 后 二 次 项 系 数 不 变 ， 然 后 根 据 顶 点 式 写 出 新 抛 物 线 解析式【解答】解：抛物线 y=2x 2 平移，使顶点移到点 P（3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3） 2+1故答案为：y=2（x+3） 2+1【点评】本 题
12、考 查 了 二 次 函 数 图 象 与 几 何 变 换 ： 由 于 抛 物 线 平 移 后 的 形 状 不 变 ， 故 a 不 变 ， 所 以 求 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 通 常 可 利 用 两 种 方 法 ： 一 是 求 出 原抛 物 线 上 任 意 两 点 平 移 后 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 出 解 析 式 ； 二 是 只 考 虑 平移 后 的 顶 点 坐 标 ， 即 可 求 出 解 析 式 13 在直 角坐 标平 面内 有一 点 A（ 3，4 ） ， 点 A 与 原点 O 的 连线 与 x 轴 的正半轴夹角为，那么角的余弦值是 【分析】利用锐角三角
13、函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解【解答】解 ： 在 直 角 坐 标 平 面 内 有 一 点 A（3，4） ， OA= =5，cos= 故答案为： 【 点 评 】 本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 、 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 、 坐 标 与 图 形 性 质 以 及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握14 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=AC， 点 D、 E 分 别 在 边 BC、 AB 上 ， 且 ADE=B，如果 DE：AD=2：5，BD=3，那么 AC= ， 【分析】根据ADE=B，EAD=DAB，得出AEDABD，利用相似三角形的性质解答即可【
14、解答】解：ADE=B，EAD=DAB，AEDABD， ，即 ， AB= ，AB=AC， AC= ，故答案为： ，【 点 评 】 本 题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 关 键 是 要 懂 得 找 相 似 三 角 形 ， 利用相似三角形的性质求解15 如 图 ， 某 水 库 大 坝 的 横 断 面 是 梯 形 ABCD， 坝 顶 宽 AD=6 米 ， 坝 高 是 20 米，背水坡 AB 的 坡 角 为 30， 迎 水 坡 CD 的 坡 度 为 1： 2，那么坝底 BC 的长度等于 （46+20 ） 米 （结果保留根号）【 分 析 】 过 梯 形 上 底 的 两 个 顶 点
15、 向 下 底 引 垂 线 AE、 DF， 得 到 两 个 直 角 三 角 形 和一 个 矩 形 ， 分 别 解 Rt ABE、 Rt DCF 求得线段 B E、 CF 的 长 ， 然 后 与EF 相加即可求得 BC 的长【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 作 AE BC， DF BC， 垂 足 分 别 为 点 E， F， 则 四 边 形 ADFE 是矩形由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，B=30，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 RtABE 中，B=30，BE= AE=20 米在 RtCFD 中， = ，CF=2DF=40 米，BC=BE+EF+FC=20 +6+40=46
16、+20 （米） 所以坝底 BC 的长度等于（46+20 ）米 故答案为（46+20 ） 【 点 评 】 此题考查了解直角三角形的应用坡 度 坡 角 问 题 ， 难 度 适 中 ， 解 答 本 题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义16 已知 RtABC 中， C=90， AC=3， BC= ， CD AB， 垂足为点 D， 以点 D 为圆心作 D， 使得点 A 在D 外， 且点 B 在D 内 设D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是 【 分 析 】 先 根 据 勾 股 定 理 求 出 AB 的 长 ， 进 而 得 出 CD 的 长 ， 由 点 与 圆 的 位 置 关系即可得
17、出结论【解答】解：RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC= ， AB= =4CDAB，CD= ADBD=CD 2，设 A D=x， BD=4 x 解 得 x=点 A 在圆外，点 B 在圆内，r 的范围是 ，故答案为： 【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 点 与 圆 的 位 置 关 系 ， 熟 知 点 与 圆 的 三 种 位 置 关 系 是 解 答 此题的关键17 如图， 点 D 在ABC 的边 BC 上， 已知点 E、 点 F 分别为ABD 和ADC 的重心， 如 果 BC=12， 那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4 【 分 析 】 连 接 AE 并 延 长 交 BD
18、于 G， 连 接 AF 并 延 长 交 CD 于 H， 根 据 三 角 形的重心的概念、相似三角形的性质解答【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，点 E、F 分别是ABD 和ACD 的重心，DG= BD，DH= CD，AE=2GE ，AF=2HF，BC=12，GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= 12=6，AE=2GE，AF=2HF，EAF=GAH，EAFGAH， = = ，EF=4，故答案为：4【 点 评 】 本 题 考 查 了 三 角 形 重 心 的 概 念 和 性 质 ， 三 角 形 的 重 心 是 三 角 形 中 线 的 交点
19、 ， 三 角 形 的 重 心 到 顶 点 的 距 离 等 于 到 对 边 中 点 的 距 离 的 2 倍 18 如图 ，ABC 中 ，AB=5，AC=6，将ABC 翻 折， 使得 点 A 落 到边 BC 上的点 A 处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F，如果 AFAB，那么 BE= 【 分 析 】 设 BE=x， 则 AE=5 x=AF=AF， CF=6 （ 5 x） =1+x， 依 据 ACFBCA，可得 = ，即 = ，进而得到 BE= 【解答】解：如图，由折叠可得，AFE=AFE，AFAB，AEF=AFE，AEF=AFE，AE=AF，由折叠可得，AF=AF，设 BE=x，则 A
20、E=5x=AF=AF，CF=6（5x）=1+x，AFAB，ACFBCA， = ，即 = ， 解得 x= ，BE= ，故答案为： 【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 折 叠 问 题 以 及 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 的 运 用 ， 折 叠 是一 种 对 称 变 换 ， 它 属 于 轴 对 称 ， 折 叠 前 后 图 形 的 形 状 和 大 小 不 变 ， 对 应 边 和对应角相等三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （10 分）计算： 45【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案 【解答】解：原式= = = 【点评】此题主要考查了特殊角的三角
21、函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （10 分 ） 已 知 一 个 二 次 函 数 的 图 象 经 过 A（ 0， 3） ， B（ 1， 0） ， C（ m，2m+3） ，D（1，2）四 点 ， 求 这 个 函 数 解 析 式 以 及 点 C 的 坐 标 【分析】设一般式 y=ax2+bx+c，把 A、B、D 点的坐标 代入得 ，然后 解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c，把 A（0，3） ，B（1 ，0） ，D（1，2）代入得 ， 解得 ，抛物线的
22、解析式为 y=2x 2+x3，把 C（m，2m+3）代入得 2m2+m3=2m+3，解得 m1= ，m 2=2，C 点坐标为（ ，0）或（2，7 ） 【 点 评 】 本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 的 解 析 式 ： 在 利 用 待 定 系 数 法 求 二 次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解21 （10 分 ）如图，已知
23、O 经 过 ABC 的 顶 点 A、B ， 交 边 BC 于 点 D，点A 恰为 的中点，且 BD=8，AC=9，sinC= ，求O 的半径【分析】如 图 ， 连 接 OA 交 BC 于 H首 先 证 明 OABC， 在 RtACH 中 ， 求出 AH， 设 O 的 半 径 为 r， 在 RtBOH 中 ， 根 据 BH2+OH2=OB2， 构 建 方 程 即 可解 决 问 题 ；【解答】解：如图，连接 OA交 BC 于 H点 A 为 的中点，OABD，BH=DH=4，AHC=BHO=90，sinC= = ，AC=9，AH=3，设O 的半径为 r，在 RtBOH 中，BH 2+OH2=OB2，
24、4 2+（r3） 2=r2，r= ，O 的半径为 【 点 评 】 本 题 考 查 圆 心 角 、 弧 、 弦 的 关 系 、 垂 径 定 理 、 勾 股 定 理 、 锐 角 三 角 函 数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题22 （10 分 ）下面是一位同学的一道作图题：已 知 线 段 a、b、c（如图） ， 求 作 线 段 x， 使 a：b=c：x他的作法如下：（ 1） 、 以 点 O 为 端 点 画 射 线 OM，ON（ 2） 、 在 OM 上 依 次 截 取 OA=a，AB=b（ 3） 、 在 ON 上 截 取 OC=c（ 4） 、联结 AC，过点 B 作 BD
25、AC，交 ON 于点D 所以：线段 CD 就是所求的线段 x试将结论补完整这位同学作图的依据是 平行于三角形一边的直线截其它两边 （或两边的延长 线 ），所得对应线段成比例如果 OA=4，AB=5， ，试用向量 表示向量 【分析】根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ， 所 得 对 应 线段成比例”可得；先证OACOBD 得 = ，即 BD= AC，从而知 = = =【解答】解：根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x， 故答案为：CD； 这 位 同 学 作 图 的 依 据 是 ： 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截
26、 其 它 两 边 （或 两 边 的 延 长线） ，所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ， 所 得 对 应线段成比例；OA=4、AB=5，且 BDAC，OACOBD， = ，即 = ，BD= AC， = = = 【 点 评 】 本题主要考查作图复 杂 作 图 ， 解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 平 行 线 分 线 段 成比例定理及向量的计算23 （ 12 分 ） 已 知 ： 如 图 ， 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC 和 BD 相 交 于 点 E， AD=DC，DC2=DEDB，求证：（ 1） BCEADE；（ 2） ABBC=B
27、DBE【分析】 （ 1） 由 DAC= DCA， 对 顶 角 AED= BEC， 可 证 BCEADE（2）根据相似三角形判定得出ADEBDA，进而得出BCEBDA， 利用相似三角形的性质解答即可【解答】证 明 ： （1）A D=DC，DAC=DCA，DC 2=DEDB， = ，CDE=BDC，CDEBDC，DCE=DBC，DAE=EBC，AED=BEC，BCEADE，（2）DC 2=DEDB，AD=DCAD 2=DEDB，同法可得ADEBDA，DAE=ABD=EBC，BCEADE，ADE=BCE，BCEBDA， = ，ABBC=BDBE【 点 评 】 本 题 考 查 了 相 似 三 角 形
28、的 判 定 与 性 质 关 键 是 要 懂 得 找 相 似 三 角 形 ， 利用相似三角形的性质求解24 （12 分 ）如 图 ， 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2+2ax+c（其 中 a、 c 为 常 数 ， 且 a 0） 与 x 轴 交 于 点 A， 它 的 坐 标 是 （ 3， 0） ， 与 y轴交 于 点 B，此 抛 物 线 顶 点 C 到 x 轴 的 距 离 为 4（1） 求抛物线的表达式；（2） 求CAB 的 正 切 值 ；（3） 如 果 点 P 是 抛 物 线 上 的 一 点 ， 且 ABP= CAO， 试 直 接 写 出 点 P 的
29、 坐 标 【 分 析 】 （1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的 解 析 式 为 y=a（x+1 ） 2+4，将点（3，0）代 入 求 得 a 的 值 即 可 ；（2） 先 求 得 A、B、C 的 坐 标 ， 然 后 依 据 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得 到 BC、AB、AC 的 长 ， 然 后 依 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 证 明 ABC=90， 最 后 ， 依 据 锐 角 三角函数的定义求解即可；（3） 记 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 D 先 求 得 D（ 1， 0） ， 然 后 再 证 明 DBO=CAB，从而
30、可证明CAO=ABD，故 此 当 点 P 与 点 D 重 合 时 ， ABP=CAO；当 点 P 在 AB 的 上 时 过 点 P 作 PE AO， 过 点 B 作 BF AO， 则PEBF先证明EPB=CAB，则 tanEPB= ，设 BE=t，则 PE=3t，P（ 3t， 3+t） ， 将 P（ 3t，3+t ） 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 可 求 得 t 的 值 ， 从而 可 得 到 点 P 的 坐 标 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为 x= =1 a0，抛物线开口向下又抛物线与 x 轴有交点，C 在 x 轴的上方，抛物线的顶点坐标为（1，4） 设抛物线的解析式为 y=a（x
31、+1） 2+4，将点（3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=1，抛物线的解析式为 y=x 22x+3（ 2） 将 x=0 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得 ：y=3，B（0，3 ） C（1，4 ） 、B（0，3） 、A（3，0 ） ，BC= ， AB=3 ， AC=2 ，BC 2+AB2=AC2，ABC=90tanCAB= = （ 3） 如 图 1 所 示 ： 记 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 D点 D 与点 A 关于 x=1 对称，D（1，0） tan DBO= 又 由 （2）可知：tanCAB= DBO=CAB 又OB=OA=3，BAO=ABOCAO=ABD当
32、点 P 与点 D 重合时，ABP=CAO，P （1，0） 如 图 2 所 示 ： 当 点 P 在 AB 的 上 时 过 点 P 作 PEAO，过 点 B 作 BFAO， 则 PEBFBFAO，BAO=FBA 又 CAO= ABP，PBF= CAB 又PEBF，EPB=PBF，EPB=CAB tan EPB= 设 BE=t，则 PE=3t，P（3t，3+t） 将 P（3t， 3+t） 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得 ： y=x 22x +3 得 ： 9t2+6t+3=3+t， 解得 t=0（舍去）或 t= P（ ， ） 综上所述，点 P 的坐标为 P（1，0 ）或 P（ ， ） 【点评】
33、本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应 用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键25 （14 分 ）如 图 1， BAC 的 余切 值为 2， AB=2 ， 点 D 是 线段 AB 上 的一动 点 （ 点 D 不 与 点 A、 B 重 合 ） ， 以 点 D 为 顶 点 的 正 方 形 DEFG 的 另 两 个 顶 点 E、F 都 在 射 线 AC 上 ， 且 点 F 在 点 E 的 右 侧 ， 联 结 BG， 并 延 长 BG， 交 射线 EC 于 点 P（ 1） 点 D 在运动时
34、 ， 下列的线 段和角中， 是始终保 持不变的量（ 填序号） ；AF；FP；BP；BDG；GAC；BPA；（ 2） 设 正 方 形 的 边 长 为 x， 线 段 AP 的 长 为 y， 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ，并 写 出 定 义 域 ；（ 3） 如果PFG 与 AFG 相 似 ， 但 面 积 不 相 等 ， 求 此 时 正 方 形 的 边 长 【 分 析 】 （ 1） 作 BMAC 于 M， 交 DG 于 N， 如 图 ， 利 用 三 角 函 数 的 定 义 得 到=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得 （2t） 2+t2=（2 ） 2， 解 得t=2，即
35、 BM=2，AM=4，设 正 方 形 的 边 长 为 x， 则 AE=2x，AF=3x，由 于tan GAF= = ， 则可判断GAF 为定值； 再利用 DGAP 得到BDG= BAC， 则 可 判 断 BDG 为 定 值 ； 在 RtBMP 中 ， 利 用 勾 股 定 理 和 三 角 函 数 可判 断 PB 在 变 化 ，BPM 在 变 化 ，PF 在 变 化 ；（ 2） 易 得 四 边 形 DEMN 为 矩 形 ， 则 NM=DE=x，证明BDGBAP，利用 相 似 比可 得 到 y 与 x 的 关 系 式 ；（ 3） 由于AFG=PFG=90，PFG 与 AFG 相 似 ， 且 面 积
36、不 相 等 ， 利 用相 似 比 得 到 PF= x， 讨 论 ： 当 点 P 在 点 F 点 右 侧 时 ， 则 AP= x， 所 以= x，当点 P 在点 F 点左侧时，则 AP= x，所以 = x，然后分别 解方程即可得到正方形的边长【解答】解 ： （1）作 BMA C 于 M，交 DG 于 N，如 图 ， 在 RtABM 中，cotBAC= =2，设 BM=t，则 AM=2t，AM 2+BM2=AB2， （ 2t） 2+t2=（ 2 ） 2，解得 t=2，BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在 RtADE 中，cotDAE= =2，AE=2x，AF=3x，在 RtGAF 中，ta
37、nGAF= = = ，GAF 为 定值；DGAP，BDG=BAC，BDG 为定值；在 RtBMP 中，PB= ， 而 PM 在 变 化 ，PB 在变化，BPM 在变化，PF 在变化，所以BDG 和GAC 是始终保持不变的量； 故答案为；（ 2） 易 得 四 边 形 DEMN 为 矩 形 ， 则 NM=DE=x，DGAP，BDGBAP， = ，即 = ，y= （1x2）（ 3） AFG=PFG=90，PFG 与 AFG 相 似 ， 且 面 积 不 相 等 ， = ，即 = ，PF= x，当点 P 在点 F 点右侧时，AP= x， = x， 解得 x= ，当点 P 在点 F 点左侧时，AP=AFPF=3x x= x， = x， 解得 x= ，综上所 述，正方形的边长为 或 【 点 评 】 本 题 考 查 了 相 似 形 综 合 题 ： 熟 练 掌 握 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 、 正 方 形 的 性质和相似三角形的判定与性质
