1、第 1 页（共 17 页）2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）1 （4 分）已知集合 A=1，2，5，B=2，a，若 AB=1，2，3，5，则 a= 2 （4 分）抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 3 （4 分）不等式 0 的解是 4 （4 分）若复数 z 满足 iz=1+i（i 为虚数单位） ，则 z= 5 （4 分）在代数式（x ） 7 的展开式中，一次项的系数是 （用数字作答）6 （4 分）若函数 y=2sin（x ）+1（ 0）的最小正周期是 ，则 = 7 （5 分）若函数 f
2、（x ） =xa 的反函数的图象经过点（ ， ） ，则 a= 8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27cm3，则该几何体的侧面积为 cm 29 （5 分）已知函数 y=f（ x）是奇函数，当 x0 时，f （x）=2 xax，且 f（2）=2，则 a= 10 （5 分）若无穷等比数列a n的各项和为 Sn，首项 a1=1，公比为 a ，且 Sn=a，则 a= 11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法 （用数字作答）12
3、（5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E若 =6，| |=2，则 AC= 第 2 页（共 17 页）二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（ ）A B C D14 （5 分）设 a，bR，若 ab ，则（ ）A Blgalgb Csin asin b D2 a2 b15 （5 分）已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d 0”是“S4+S62S 5”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16 （5 分）直线 x=2 与双曲线 y2=1 的渐近
4、线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若 =a +b （a，bR，O 为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）Aa 2+b21 B|ab|1 C|a+b |1 D|a b|2三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，A 1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1B 与 B1D1 所成角的大小18 （14 分）已知 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1第 3 页（共 17 页）（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的
5、值；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B ，C 所对的边，若 a= ，b= ，且f（ ） = ，求边 c 的值19 （14 分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长 50%记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （nN*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元） ，且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求
6、f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由20 （16 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： +y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是 F1，F 2，直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 A，B 两点（1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF 1F2 是直角三角形，求 a 的值；（2）若 k=1，且OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系；（3）若 a=2，且 kOAkOB= ，求证：OAB 的面积为定值21 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x 2（x 1x 2） ，都有|f（
7、x 1）f （x 2）|k|x 1x2|成立，则称函数 f（x）在其定义域 D 上是“k 利普希兹条件函数”（1）若函数 f（x）= ， （1x4）是“k 利普希兹条件函数 ”，求常数 k 的最小值；（2）判断函数 f（x）=log 2x 是否是“2 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若 y=f（x） （x R ）是周期为 2 的“1 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x1，x 2，都有第 4 页（共 17 页）|f（ x1）f（x 2）|1 第 5 页（共 17 页）2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满
8、分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）1 （4 分）已知集合 A=1，2，5，B=2，a，若 AB=1，2，3，5，则 a= 3 【解答】解：集合 A=1，2，5，B=2，a，AB=1，2，3，5，a=3故答案为：32 （4 分）抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 （1，0） 【解答】解：抛物线 y2=4x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程，p=2焦点坐标为：（1，0 ）故答案为：（1，0）3 （4 分）不等式 0 的解是 （1，0） 【解答】解：不等式 0，即 x（x +1）0，求得 1x 0，故答案为：（1，0） 4 （4 分）若复数 z 满足 iz=1+i（
9、i 为虚数单位） ，则 z= 1 i 【解答】解：由 iz=1+i，得 z= =1i故答案为：1i第 6 页（共 17 页）5 （4 分）在代数式（x ） 7 的展开式中，一次项的系数是 21 （用数字作答）【解答】解：（x ） 7 的展开式的通项为 =，由 73r=1，得 r=2，一次项的系数是 故答案为：216 （4 分）若函数 y=2sin（x ）+1（ 0）的最小正周期是 ，则 = 2 【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数 y=2sin（ x ）+1（ 0）的最小正周期是T= =，解得 =2故答案为：27 （5 分）若函数 f（x ） =xa 的反函数的图象经过点（ ， ） ，
10、则 a= 【解答】解：若函数 f（x ）=x a 的反函数的图象经过点（ ， ） ，则：（ ， ）满足 f（x） =x，所以： ，解得： ，故答案为： 8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27cm3，则该几何体的侧面积为 18 cm 2【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是第 7 页（共 17 页）圆柱体，设正方形的边长为 acm，则圆柱体的体积为V=a2a=27，解得 a=3cm；该圆柱的侧面积为 S=233=18cm2故答案为：189 （5 分）已知函数 y=f（ x）是奇函数，当 x0 时，f （x）=2 xax，且
11、 f（2）=2，则 a= 【解答】解：函数 y=f（x ）是奇函数，当 x0 时，f （x）=2 xax，x0 时，f（x）=2 xa（ x） ，f（ x）= 2xax，f（ 2）=2，f（ 2）=2 22a=2，解得 a= 故答案为： 10 （5 分）若无穷等比数列a n的各项和为 Sn，首项 a1=1，公比为 a ，且 Sn=a，则 a= 2 【解答】解：无穷等比数列a n的各项和为 Sn，首项 a1=1，公比为 a ，且 Sn=a，可得 =a，即有 =a，即为 2a25a+2=0，第 8 页（共 17 页）解得 a=2 或 ，由题意可得 0|q|1，即有 0|a |1，检验 a=2 成立
12、；a= 不成立故答案为：211 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不同的选法 （用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分 3 种情况讨论：、选出志愿者服务队的 4 人中有 1 名女生，有 C53C31=30 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况，此时有 3012=360 种不同的选法，、选出志愿者服务队的 4 人中有 2 名女生，有 C52C32=30 种选法，这 4
13、人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况，此时有 3012=360 种不同的选法，、选出志愿者服务队的 4 人中有 3 名女生，有 C51C33=5 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况，此时有 512=60 种不同的选法，则一共有 360+360+60=780；故答案为：78012 （5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E若 =6，| |=2，则 AC= 4 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，第 9 页（共 17 页）设 B（a ，0） ，
14、C （a，0） ，E（0，b ） ，ABC=，由| |=2，知 A（a+2cos，2sin） ， =（ a2cos，b2sin） ，=（2a，0） ， =2a（a2cos）+0=2a 24acos=6，a 22acos=3；又 =（ 2a2cos，2sin） ， =（2a2cos） 2+（2sin） 2=4a28acos+4=4（a 22acos）+4=43+4=16，| |=4，即 AC=4故答案为：4二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（ ）A B C D第 10 页（共 17 页）【解答】解：根据 叫做二阶行列式，它的算法是：ad
15、 bc，由题意得， =adbc故选 B14 （5 分）设 a，bR，若 ab ，则（ ）A Blgalgb Csin asin b D2 a2 b【解答】解：由 ab，利用指数函数的单调性可得：2 a2 b再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出 A，B，C 不正确故选：D15 （5 分）已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d 0”是“S4+S62S 5”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：S 4+S62S 5，4a 1+6d+6a1+15d2（5a 1+10d） ，21d20d ，d
16、0，故“d0”是“S 4+S62S 5”充分必要条件，故选：C16 （5 分）直线 x=2 与双曲线 y2=1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若 =a +b （a，bR，O 为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）Aa 2+b21 B|ab|1 C|a+b |1 D|a b|2第 11 页（共 17 页）【解答】解：双曲线 y2=1 的渐近线为：y= x把 x=2 代入上述方程可得：y=1不妨取 A（2，1） ，B（2，1） =a +b =（2a +2b，ab ） 代入双曲线方程可得： （a b） 2=1，化为 ab= =ab ，化为： |a+b|1故选：C三、解答
17、题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，A 1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1B 与 B1D1 所成角的大小【解答】解：（1）长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA 1平面 ABCD，AC= =2 ，A 1CA 是 A1C 与底面 ABCD 所成的角，A 1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，A 1CA=60，AA 1=ACtan60=2 =2 ，第 12 页（共 17 页）S 正方形 ABCD=ABBC=22=4，四棱锥 A
18、1ABCD 的体积：V= = = （2）BD B1D1，A 1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成角（或所成角的补角） BD= ，A 1D=A1B= =2 ，cosA 1BD= = = A 1BD=arccos 异面直线 A1B 与 B1D1 所成角是 arccos 18 （14 分）已知 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的值；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B ，C 所对的边，若 a= ，b= ，且f（ ） = ，求边 c 的值【解答】解：f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1= sin2x+co
19、s2x=2sin（2x+ ）（1）当 2x+ = 时，即 x= （kZ） ，f （x）取得最大值为 2；（2）由 f（ ）= ，即 2sin（A + ）=可得 sin（A+ ）=第 13 页（共 17 页）0A A A = 或A= 或当 A= 时，cosA= =a= ，b= ，解得：c=4当 A= 时，cosA= =0a= ，b= ，解得：c=219 （14 分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基
20、础上增长 50%记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （nN*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元） ，且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由【解答】解：（1）由题意知，第 1 年至此后第 n（n N*）年的累计投入为8+2（n 1）=2n+6（千万元） ，第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计净收入为 + + + = （千万元） 第 14 页（共 17 页）f（ n）= （2n+6）= 2n7（千万元） （2）方法一：f（n+1
21、 ） f（n）= 2（n +1）7 2n7= 4，当 n3 时，f（n +1）f（n）0，故当 n4 时，f （n）递减；当 n4 时，f（n +1）f（n）0，故当 n4 时，f （n）递增又 f（1）= 0，f （7）= 5 21= 0，f（8）= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利；方法二：设 f（x）= 2x7（x 1） ，则 f（x ）= ，令 f（x）=0，得 = =5，x4从而当 x1，4）时，f （x ）0，f（x）递减；当 x（4，+）时，f （x）0 ，f（x）递增又 f（1）= 0，f （7）= 5 21= 0，
22、f（8）= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利20 （16 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： +y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是 F1，F 2，直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 A，B 两点（1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF 1F2 是直角三角形，求 a 的值；（2）若 k=1，且OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系；（3）若 a=2，且 kOAkOB= ，求证：OAB 的面积为定值第 15 页（共 17 页）【解答】解：（1）M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF 1F
23、2 是直角三角形，MF 1F2 为等腰直角三角形，OF 1=OM，当 a1 时， =1，解得 a= ，当 0a1 时， =a，解得 a= ，（2）当 k=1 时，y=x +m，设 A（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，由 ，即（1+a 2）x 2+2a2mx+a2m2a2=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=（x 1+m） （x 2+m）=x 1x2+m（x 1+x2）+m 2= ，OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形， =0，x 1x2+y1y2=0， + =0，a 2m2a2+m2a2=0m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当 a=2 时，x 2+4y2
24、=4，设 A（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，k OAkOB= ， = ，x 1x2=4y1y2，第 16 页（共 17 页）由 ，整理得， （1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= + +m2= ， =4 ，2m 24k2=1，|AB|= = =2 =O 到直线 y=kx+m 的距离 d= = ，S OAB = |AB|d= = = =121 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x 2（x 1x 2） ，都有|f
25、（x 1）f （x 2）|k|x 1x2|成立，则称函数 f（x）在其定义域 D 上是“k 利普希兹条件函数”（1）若函数 f（x）= ， （1x4）是“k 利普希兹条件函数 ”，求常数 k 的最小值；（2）判断函数 f（x）=log 2x 是否是“2 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若 y=f（x） （x R ）是周期为 2 的“1 利普希兹条件函数”，证明：对任意的第 17 页（共 17 页）实数 x1，x 2，都有|f（ x1）f（x 2）|1 【解答】解：（1）若函数 f（x ）= ， （1x4）是“k 利普希兹条件函数”，则对于定义域1，4上任意两个 x1
26、，x 2（x 1x 2） ，均有|f （x 1）f（x 2）|k|x 1x2|成立，不妨设 x1x 2，则 k = 恒成立1x 2x 14， ，k 的最小值为 （2）f（x ）=log 2x 的定义域为（0，+） ，令 x1= ，x 2= ，则 f（ ） f（ ）=log 2 log2 =1（2）=1，而 2|x1x2|= ，f（x 1） f（x 2）2 |x1x2|，函数 f（x ）=log 2x 不是“2 利普希兹条件函数”证明：（3）设 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，在一个周期0，2内f（a）=M，f（b）=m，则|f（ x1）f（x 2）|M m=f（a）f（b）|a b|若|a b|1 ，显然有|f （x 1）f（x 2）|a b|1若|a b|1 ，不妨设 ab，则 0b +2a1，|f（ x1）f（x 2）|M m=f（a）f（b+2）|a b2|1综上，|f（x 1）f （x 2）| 1
