1、2.2 函数的单调性与最值,-2-,-3-,知识梳理,考点自测,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,-4-,知识梳理,考点自测,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做函数y=f(x)的单调区间.,增函数 减函数,区间D,-5-,知识梳理,考点自测,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,-6-,知识梳理,考点自测,1.函数单调性的常用结论:,上升,大于,小于,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,
2、-9-,知识梳理,考点自测,2.下列函数中,在区间(-1,1)内为减函数的是 ( ) A. B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x,D,-10-,知识梳理,考点自测,3.(2017全国,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+),D,解析:由题意可知x2-2x-80,解得x4.故定义域为(-,-2)(4,+),易知t=x2-2x-8在(-,-2)内单调递减,在(4,+)内单调递增.因为y=ln t在t(0,+)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为
3、(4,+).故选D.,-11-,知识梳理,考点自测,2,2,-12-,考点一,考点二,考点三,证明或判断函数的单调性 例1讨论函数f(x)=x+ (a0)在(0,+)内的单调性.,-13-,考点一,考点二,考点三,-14-,考点一,考点二,考点三,思考判断函数单调性的基本方法有哪些? 解题心得1.判断函数单调性的四种方法: (1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法. 2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法: (1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断. (2)可导函数可以利用导数证明. 3.复合函数单调性的判断方法: 复合函数y=f(g(x)的单调性,应
4、根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.,-15-,考点一,考点二,考点三,因为-10,x1-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 即函数f(x)在(-1,1)内是减函数; 当a0时,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 即函数f(x)在(-1,1)内是增函数.,-16-,考点一,考点二,考点三,求函数的单调区间 例2求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y= (x2-3x+2); (3)函数f(x)=(3-x2)ex.,画出函数图象如图所示,由图知函数的单调递增区间为(-,-1和0,1
5、,单调递减区间为-1,0和1,+).,-17-,考点一,考点二,考点三,-18-,考点一,考点二,考点三,思考求函数的单调区间有哪些方法? 解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法: (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,-19-,考点一,考点二,考点三,B,C,B,-20-,考点一,考点二,考点三,(2)f(x)=ln x
6、+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).令g(x)=-x2+2x,当x(0,1)时,g(x)单调递增,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递增;当x(1,2)时,g(x)单调递减,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递减.故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D,选C.,-21-,考点一,考点二,考点三,-22-,考点一,考点二,考点三,函数单调性的应用(多考向) 考向1 利用函数的单调性求函数的值域
7、或最值 例3(2017福建厦门质检)函数 在区间-1,1上的最大值为 .,3,思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?,-23-,考点一,考点二,考点三,考向2 利用函数的单调性比较大小,A,思考如何利用函数的单调性比较大小?,-24-,考点一,考点二,考点三,考向3 利用函数的单调性解不等式 例5已知f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为 .,(-,-10,+),答案:因为f(x)是R上的增函数, 所以1-ax-x22-a,a-1,1. (*) (*)式可化为(x-1)a+x2+10对a-1,1恒
8、成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1,思考如何解与函数有关的不等式?,-25-,考点一,考点二,考点三,考向4 利用函数的单调性求参数的值(或范围) 例6(2017北京西城区5月模拟)已知函数f(x)=x|x|,若存在x1,+),使得f(x-2k)-k0,则k的取值范围是( ),D,思考如何利用函数的单调性求参数的值或范围?,-26-,考点一,考点二,考点三,解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解. 2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用
9、函数的单调性解决. 3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意m,n应在定义域内取值. 4.利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.,-27-,考点一,考点二,考点三,D,C,B,-28-,考点一,考点二,考点三,-29-,考点一,考点二,考点三,-30-,考点一,考点二,考点三,1.函数单调性判定的常用方法:图象法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性. 2.求函数值域或最值的常用方法: (1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值. (2)图象法:先作出函数
10、在给定区间上的图象,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值. (3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解. (4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值. (5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.,-31-,考点一,考点二,考点三,(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值. 3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解. 4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注: (1)抓住对变量所在区间的讨论. (2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系. (3)弄清最终结果取并还是取交.,-32-,考点一,考点二,考点三,1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误. 2.不同的单调区间之间不能用符号“”连接.,
