1、 2 2函数的单调性与最值 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间D上是或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做函数y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间D 2 函数的最值 f x M f x0 M f x M f x0 M 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y 的单调递减区间是 0 0 2 对于函数f x x D 若x1 x2 D 且 x1 x2 f
2、x1 f x2 0 则函数f x 在D上是增函数 3 函数y x 是R上的增函数 4 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 5 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 0 6 函数y 的最大值为1 题型一函数单调性的判断 例1 1 判断函数f x a 0 在x 1 1 上的单调性 解析 思维升华 题型一函数单调性的判断 例1 1 判断函数f x a 0 在x 1 1 上的单调性 解设 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 解析 思维升华 题型一函数单调性的判断 例1 1 判断函数f x a 0 在x 1 1 上的单调性 x2 x1 0 x1x2 1 0 又
3、a 0 f x1 f x2 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 解析 思维升华 题型一函数单调性的判断 例1 1 判断函数f x a 0 在x 1 1 上的单调性 对于给出具体解析式的函数 证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法 可以利用定义 基本步骤为取值 作差或作商 变形 定号 下结论 求解 可导函数则可以利用导数解之 解析 思维升华 例1 2 求函数y 的单调区间 解析 思维升华 例1 2 求函数y 的单调区间 由u x2 x 6 0 得x 3或x 2 u x2 x 6在 3 上是减函数 解析 思维升华 例1 2 求函数y 的单调区间 解析 思维升华 例1 2 求函数y 的单调区间
4、 解析 思维升华 复合函数y f g x 的单调性规律是 同则增 异则减 即y f u 与u g x 若具有相同的单调性 则y f g x 为增函数 若具有不同的单调性 则y f g x 必为减函数 跟踪训练1 1 判断函数f x x a 0 在 0 上的单调性 解设x1 x2是任意两个正数 且0 x1 x2 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 跟踪训练1 1 判断函数f x x a 0 在 0 上的单调性 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 2 求函数y x2 4x 3 的单调区间 解令u x2 4x 3 原函数可以看作y u与u x2 4x 3的复合函数 令u
5、x2 4x 3 0 则x3 函数y x2 4x 3 的定义域为 1 3 又u x2 4x 3的图象的对称轴为x 2 且开口向上 u x2 4x 3在 1 上是减函数 在 3 上是增函数 2 求函数y x2 4x 3 的单调区间 而函数y u在 0 上是减函数 y x2 4x 3 的单调递减区间为 3 单调递增区间为 1 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 当a 0时 f
6、x 2x 3 在定义域R上是单调递增的 故在 4 上单调递增 当a 0时 二次函数f x 的对称轴为x 因为f x 在 4 上单调递增 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 D 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 已知函数的单调性确定参数的值或范围
7、要注意以下两点 若函数在区间 a b 上单调 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 解析 答案 思维升华 D 解析 答案 思维升华 由已知条件得f x 为增函数 解析 答案 思维升华 由已知条件得f x 为增函数 解析 答案 思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点 若函数在区间 a b 上单调 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 解析 答案 思维升华 跟踪训练2 1 若f x x2 2ax与g x 在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围
8、是 A 1 0 0 1 B 1 0 0 1 C 0 1 D 0 1 解析由f x x2 2ax在 1 2 上是减函数可得 1 2 a a 1 跟踪训练2 1 若f x x2 2ax与g x 在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 A 1 0 0 1 B 1 0 0 1 C 0 1 D 0 1 故0 a 1 D 2 已知f x 是R上的增函数 则实数a的取值范围为 A 1 B 4 8 C 4 8 D 1 8 解析因为f x 是R上的增函数 答案B 题型三利用函数的单调性求最值 解析 思维升华 例3已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 1
9、 求f 1 的值 2 证明 f x 为减函数 题型三利用函数的单调性求最值 例3已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 解 1 令x1 x2 0 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 解析 思维升华 2 证明 f x 为减函数 证明 2 任取x1 x2 0 由于当x 1时 f x 0 题型三利用函数的单调性求最值 例3已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 解析 思维升华 2 证明 f x 为减函数 即f x1 f x2 0 因此f x1 f
10、 x2 所以函数f x 在区间 0 上是减函数 题型三利用函数的单调性求最值 例3已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义 结合题目所给性质和相应的条件 对任意x1 x2在所给区间内比较f x1 f x2 与0的大小 或与1的大小 有时根据需要 需作适当 解析 思维升华 2 证明 f x 为减函数 题型三利用函数的单调性求最值 例3已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 的变形 如x1 x2 或x1 x2 x1 x2
11、等 解析 思维升华 2 证明 f x 为减函数 解析 思维升华 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解 f x 在 0 上是减函数 f x 在 2 9 上的最小值为f 9 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 思维升华 f 9 2f 3 2 即f x 在 2 9 上的最小值为 2 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 思维升华 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 思维升华 求函数最值的常用方法 单调性法 基本不等式法 配方法 图象法 导数法 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 思维升华 解析易知f x 在 a b 上为减函数 6 方法与技巧 1 利用定义证明或判断函数单调性的步骤 1 取值 2 作差 3 定量 4 判断 2 判断单调性的常用方法 定义法 图象法 导数法 失误与防范 1 区分两个概念 函数的单调区间 和 函数在某区间上单调 前者指函数具备单调性的 最大 的区间 后者是前者 最大 区间的子集 2 若函数在两个不同的区间上单调性相同 则这两个区间要分开写 不能写成并集 例如 函数f x 在区间 1 0 上是减函数 在 0 1 上是减函数 但在 1 0 0 1 上却不一定是减函数如函数f x
