1、抛物线及其标准方程,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （注意：F不在I上） 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。,抛物线的定义,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,想一想？,抛物线标准方程的推导,回顾求曲线方程的一般步骤是：,1、建立直角坐标系，设动点为(x,y),2、写出适合条件的x,y的关系式,3、列方程,4、化简,5、（证明）,设焦点到准线的距离为常数P(P0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？,抛物线标准方程的推导,试一试？,K,K,设KF= p,设动点M的坐标为（x，y）,由抛物线的定义可知，,解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直
2、线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,抛物线标准方程的推导,( p 0),方程 y2 = 2px（p0）叫做 抛物线的标准方程,其中 p 为正常数，它的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离,抛物线的标准方程,但是，对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴,抛物线的标准方程,抛物线的标准方程还有哪些形式?,想一想？,抛物线的标准方程,其它形式的抛物线的焦点与准线呢？,向右,向左,向上,向下,抛物线方程,左右型,标
3、准方程为 y2 =+ 2px (p0),开口向右: y2 =2px(x 0),开口向左: y2 = -2px(x 0),标准方程为 x2 =+ 2py (p0),开口向上: x2 =2py (y 0),开口向下: x2 = -2py (y0),抛物线的标准方程,上下型,例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,课堂练习,注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式,例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）,（2）准线方程 是
4、x =,（3）焦点到准线的距离是2,解：y2 =12x,解：y2 =x,解：y2 =4x或y2 = -4x或x2 =4y或x2 = -4y,1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程,2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解,由例1.和例2.反思研究,先定位，后定量,例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：1）设抛物线的标准方程为x2 =2py，把A（-3，2）代入，得p=,2）设抛物线的标准方程为y2 =
5、 -2px，把A（-3，2）代入， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,课堂练习,3。抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法,2。抛物线的标准方程与其焦点、准线,4。注重数形结合的思想,1。抛物线的定义,课堂小结,5。注重分类讨论的思想,例4:已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？,课后练习,抛物线的简单几何性质,抛物线y2=2px(p0)的简单几何性质：,(1) 范围,（2）对称性,因为 p0，由方程可知x0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,以-y代y，方程
6、不变，所以抛物线关于x轴对称我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,x0，yR,关于x轴对称,抛物线y2=2px(p0)的简单几何性质：,（3）顶点,在方程中，当y=0时x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，e=1,（4）离心率,原点,e=1,（0，0）,x轴,e=1,（0，0）,（0，0）,（0，0）,x轴,y轴,y轴,e=1,e=1,e=1,x0,四种抛物线的标准方程的几何性质的对比,x0,y0,y0,填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什
7、么特点？,（1）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；,（2）抛物线只有 条对称轴， 对称中心；,（3）抛物线只有 个顶点、 个焦点、 条准线；,（4）抛物线的离心率是确定的，其值为 ,半,1,无,1,1,1,1,例1 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形,则将M点代入得： 2 = 2p2 解得：p=2因此所求方程为：y2=4x,列表：,描点及连线：,o,0 1 2 3 4 5 ,0 0.25 1 2.25 4 6.25 ,解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p0）,在抛物线的标准方程y2=2px(p0)中，
8、令x= , 则y=p。,o,F,p,-p,抛物线的通径及简单画法,o,F,p,-p,这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线的两交点坐标分别为 ( , p),( ,-p ),连接这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.这就是抛物线方程中2p的几何意义。,例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图），光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置,解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直径。,设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).由已知可得点A的坐标为（40，30
9、）,代入方程得,302=2p40，解得p=,所以所求抛物线的标准方程为y2= x， 焦点坐标为（ ，0）,解:如图826,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为(x1,y1)和x2,y2),则,即线段AB关于x 轴对称,因为x轴垂直于AB,且,Aox=30,练习,1求适合下列条件的抛物线方程。 顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4) 顶点在原点，焦点是F(0,5) 顶点在原点，准线是x=4 焦点是F(0,-8)，准线是y=8,答案： y2= x；x2=20y；y2=-16x；x2=-32y,2一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度 是2.2m，求拱形的抛物线方程,提示：在隧道的横断面上，以拱顶为原点，拱高所在的直线为y轴（向上），建立直角坐标系。,答案：x2=-1.1y,
