1、- 1 -2.2 抛物线的简单性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为 y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标 x 的取值范围是_，抛物线在 y 轴的_侧，当 x 的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做_(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用 e 表示，其值为_(5)抛物
2、线的焦点到其准线的距离为_，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离为 ，焦点到顶点的距离为_p22抛物线的焦点弦设抛物线 y22px(p0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x0，y 0)，则有以下结论(1)以 AB 为直径的圆与准线_(2)|AB|_(焦点弦长与中点坐标的关系)(3)|AB|x 1x 2_.(4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2_，y 1y2_.一、选择题1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3)，它的方程是( )Ax 2 y 或 y2 x92 43By 2 x 或 x2 y92 43Cy
3、2 x92Dx 2 y432若抛物线 y22px (p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( )A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列- 2 -D既不成等比数列也不成等差数列3椭圆 1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那x212 y23么|PF 1|是|PF 2|的( )A7 倍 B5 倍C4 倍 D3 倍4设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( )Ay 24x By 28xCy 24x
4、 Dy 28x5设直线 l1：y2x，直线 l2经过点 P(2,1)，抛物线 C：y 24x，已知 l1、 l2与 C 共有三个交点，则满足条件的直线 l2的条数为( )A1 B2 C3 D46过抛物线 y2ax (a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则 等于( )1p 1qA2a B. C4a D.12a 4a题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于 A，B两点，若 P(2，2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_8已知 F 是抛物线 C：y
5、 24x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点为M(2,2)，则ABF 的面积等于_9过抛物线 x22py (p0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线分别交于 A、B两点(点 A 在 y 轴的左侧)，则 _.|AF|FB|三、解答题10设抛物线 ymx 2 (m0)的准线与直线 y1 的距离为 3，求抛物线的标准方程- 3 -11已知抛物线 y22px (p0)的一条焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m，n 两部分求证： 1m为定值1n能力提升12设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 ，
6、那么|PF|等于( )3A4 B8 C8 D163 313.已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点(1)若|AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值- 4 -1抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离2抛物线的焦点弦可以借助于直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解，还要结合抛物线的定义22 抛物线的简单性质知识梳理1(1)x0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22(1)相切 (2)2(x 0 ) (3)p (4) p 2p2 p24作业设计1 B 由题意知所求抛物线
7、开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程2 A 设三点为 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)，则 y 2px 1，y 2px 2，y 2px 3，21 2 23- 5 -因为 2y y y ，所以 x1x 32x 2，2 21 23即|P 1F| |P 3F| 2 ，p2 p2 (|P2F| p2)所以|P 1F|P 3F|2|P 2F|.3 A 设 PF1的中点为 A，因为 A 在 y 轴上，所以 OA 为F 1PF2的中位线，即有|PF 2|2|AO|，因为 F2(3,0)，P 点坐标为 ，(3， 32)即|PF 2| .|PF 1|4 7 7|PF
8、2|.32 3 32 324 B y 2ax 的焦点坐标为 ，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2 ，令(a4， 0) (x a4)x0 得 y .a2 4，a 264，a8.12 |a|4 |a|25 C 点 P(2,1)在抛物线内部，且直线 l1与抛物线 C 相交于 A，B 两点，过点 P的 直线 l2在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意满足条件的直线 l2共有 3条6 D 可采用特殊值法，设 PQ 过焦点 F 且垂直于 x 轴，则(a4， 0)|PF|px P ，a4 a4 a4 a2|QF|q ， .a2 1p 1q 2a 2a 4a7y 24x解析 设抛物线方程为 y2
9、ax.将 yx 代入 y2ax，得 x0 或 xa， 2.a4.a2抛物线方程为 y24x.82解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y 4x 1，y 4x 2.21 2(y 1y 2)(y1y 2)4(x 1x 2)x 1x 2， 1.y1 y2x1 x2 4y1 y2直线 AB 的方程为 y2x2，即 yx.将其代入 y24x，得 A(0,0)、B(4,4)|AB|4 .又 F(1,0)到 yx 的距离为 ，222S ABF 4 2.12 22 29.13解析 抛物线 x22py (p0)的焦点为 F ，则直线 AB 的方程为 y x ，(0，p2) 33 p2由Erro
10、r!消去 x，得 12y220py3p 20，解得 y1 ，y 2 .p6 3p2- 6 -由题意可设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知 .|AF|FB|y1 p2y2 p2p6 p23p2 p2 1310解 由 ymx 2 (m0)可化为 x2 y，1m其准线方程为 y .14m由题意知 2 或 4，14m 14m解得 m 或 m .18 116则所求抛物线的标准方程为 x28y 或 x216y.11证明 (1)当 ABx 轴时，mnp， .1m 1n 2p(2)当 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 所在的方程为：yk ，(xp2)设 A(x1，y 1)，
11、B(x 2，y 2)，|AF|m，|BF|n，m x 1，n x 2.p2 p2将直线 AB 的方程代入抛物线方程得k2x2(k 2p2p)x 0.k2p24Error! .1m 1n m nmn x1 x2 px1x2 p2x1 x2 p24 2p综上可知 为定值 .1m 1n 2p12.B 如图所示，直线 AF 的方程为 y (x2)，与准线方程 x2 联立得 A(2,43)3设 P(x0,4 )，代入抛物线 y28x，得 8x048，x 06，3|PF|x 028，选 B.13解 由 y24x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)分别
12、过 A、B 作准线的垂线，垂足为 A、B.(1)由抛物线的定义可知，|AF|x 1 ，p2- 7 -从而 x1413.代入 y24x，解得 y12 .3点 A 的坐标为(3,2 )或(3，2 )3 3(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)与抛物线方程联立Error!，消去 y，整理得 k2x2(2k 24)xk 20，因为直线与抛物线相交于 A、B 两点，则 k0，并设其两根为 x1，x 2，则 x1x 22 .4k2由抛物线的定义可知，|AB|x 1x 2p4 4.4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，所以|AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.
